高中數(shù)學(xué)數(shù)列PPT-(1)

1、數(shù)列求和數(shù)列求和介紹求一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的幾種方法：1 運(yùn)運(yùn) 用用 公公 式式 法法3 錯(cuò)錯(cuò) 位位 相相 減減 法法4 裂裂 項(xiàng)項(xiàng) 相相 消消 法法2 通通 項(xiàng)項(xiàng) 分分 析析 法（分組求和法）法（分組求和法）1.公式法：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 了解 了解n即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq1123(1)2nn n 22221123(1)(21)6nn nn23333(1)1232n nn例例1 1：若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)a,ba,b滿足：滿足： 求：求：分析分析：通過觀察

2、，看出所求得數(shù)列實(shí)際上就是等比通過觀察，看出所求得數(shù)列實(shí)際上就是等比數(shù)列其首項(xiàng)為數(shù)列其首項(xiàng)為a，公比為，公比為ab，因此由題設(shè)求出，因此由題設(shè)求出a,b，再用等比數(shù)列前再用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和項(xiàng)和公式求和2249462 0abab 23 2100 99a a b a ba b22(441)(961)0aabb解：由已知有1.3b 1解得a= ，222(31)0b即：（2a-1）2321 0 09 9aababab1 0 01()1aa ba b1 0 0111()261161 0 031(1) .56例例2 求和：求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：解：1，1/a,1/a

3、21/an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1，公比為，公比為1/a的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，原式原式=原因：原因：上述解法錯(cuò)誤在于，當(dāng)公比上述解法錯(cuò)誤在于，當(dāng)公比1/a=1即即a=1時(shí)，前時(shí)，前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式不再成立。不再成立。111111naa111nnnaaa例例2 求和：求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：當(dāng)a=1時(shí)，S 當(dāng)a1時(shí)，111111naSa1n ；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS在求等比數(shù)列前在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要特別項(xiàng)和時(shí)，要特別注意公比注意公比q是否為是否為1。當(dāng)。當(dāng)q不確定時(shí)不確定時(shí)要對要對q分分q=1和和q1兩種情況討論求兩種情況

4、討論求解。解。對策：對策：2.2.分組求和法分組求和法：若數(shù)列若數(shù)列 的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為 的形式，且數(shù)列的形式，且數(shù)列 可求出前可求出前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 則則1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc nc nbbscs na例例3.求下列數(shù)列的前求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和（1） 111112,4,6,248162nn 222221112 () ,() ,()nnxxxxxx解（解（1）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111

5、( 22)421212nnn111(1 )22nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x 當(dāng)時(shí)，1nx當(dāng)時(shí) ， S242242111()()2nnxxxnxxx242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx222224 (1)(1)(1)2 (1)(1)nnnnn xSxxn xxx 2112nnSaaan練習(xí)： （）求 2112nnSaaan解：212naaann當(dāng)a=1時(shí)S，12n nn21122nn0,n當(dāng)a1S時(shí)，1112naan nan當(dāng)a=0時(shí)S，

6、12n n 12223 543 523 5nnSn 解：122423 555nn111( 22)5531215nnnn51143) 1n(n 12223 543 523 5nnSn 求nnaAnBqCnnnaApBqC規(guī)律概括：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可分成兩項(xiàng)規(guī)律概括：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可分成兩項(xiàng)之和（或三項(xiàng)之和）則可用分組求和法：在之和（或三項(xiàng)之和）則可用分組求和法：在本章我們主要遇到如下兩種形式的數(shù)列本章我們主要遇到如下兩種形式的數(shù)列.其一：通項(xiàng)公式為：其一：通項(xiàng)公式為：其二：通項(xiàng)公式為：其二：通項(xiàng)公式為：例例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)分析分析：觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)

7、：觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11這時(shí)我們就能把數(shù)列的每一項(xiàng)裂成這時(shí)我們就能把數(shù)列的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)再求和，這種方法叫什么呢？兩項(xiàng)再求和，這種方法叫什么呢？裂項(xiàng)相裂項(xiàng)相消法消法113= （ -213111）1111()35235例例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通項(xiàng)解：由通項(xiàng)an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （ - + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=評：裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每評：

8、裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。有規(guī)律的抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。4.4.拆項(xiàng)相消法拆項(xiàng)相消法（或裂項(xiàng)法）：（或裂項(xiàng)法）：若數(shù)列若數(shù)列 的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式拆分為某數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差的形式即：式拆分為某數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差的形式即：或（或（ ）則可用如下方法求前）則可用如下方法求前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 . .111()nnnambb111()nnnambbnsnannaaaas32112321111111()()()nnmmmbbbbbbnb例例6、設(shè)、設(shè) 是公差是公差d 不為零的等差數(shù)列不為零的等差數(shù)列

9、 ， 滿足滿足 求：求： 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和na11nnnaab解:11nnnba a11nnnnaada a1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nna a它的拆項(xiàng)它的拆項(xiàng)方法你掌方法你掌握了嗎？握了嗎？ nb常見的拆項(xiàng)公式有：常見的拆項(xiàng)公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa1123n

10、an解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn1123nann練習(xí)：求的前 項(xiàng)和例例4、求和、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析這是一個(gè)等差數(shù)列這是一個(gè)等差數(shù)列n與一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列xn-1的對應(yīng)的對應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn n項(xiàng)這時(shí)等式的右邊是一個(gè)這時(shí)等式的右

11、邊是一個(gè)等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與一項(xiàng)和與一個(gè)式子的和，這樣我們個(gè)式子的和，這樣我們就可以化簡求值。就可以化簡求值。錯(cuò)位相減法相減例例4、求和、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解：解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=- nxn3.3.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 是公差為是公差為d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列（d d不等于零），數(shù)列不等于

12、零），數(shù)列 是公比為是公比為q q的等比數(shù)列的等比數(shù)列(q(q不不等于等于1 1），數(shù)列），數(shù)列 滿足：滿足： 則則 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng)和為：和為：na nbnnnca b nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b練習(xí)：練習(xí)：求和求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n答案：答案：Sn =3-2n+32n求和求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n111113523214822nnnn n1解：設(shè)S =12111132321822nnnn n11S =124相減得，111122221822nnn n111S =1224111122221

13、422nnn n1S =12111212422nnn 1=121111212221212nnn =1232nn=3本課小結(jié)：本課小結(jié)：數(shù)列求和的一般步驟：數(shù)列求和的一般步驟：等差、等比數(shù)列直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列直接應(yīng)用求和公式求和公式求和。求和。非等差、等比的數(shù)列，通過通項(xiàng)化歸的思非等差、等比的數(shù)列，通過通項(xiàng)化歸的思想設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，常用方法想設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，常用方法有有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、拆項(xiàng)并組法倒序相加法、錯(cuò)位相減法、拆項(xiàng)并組法不能轉(zhuǎn)化為等差、等比的數(shù)列，往往通過不能轉(zhuǎn)化為等差、等比的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和。求和。作業(yè)：1111(1).147(32)2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSx