高中數(shù)學(xué)概率與隨機(jī)變量講義及例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率與隨機(jī)變量1.概率隨機(jī)事件的概率1、必然事件：一般地，把在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱相對于條件S的確定事件。4、隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例。7、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與

2、運(yùn)算（1）包含。對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作。不可能事件記作。（2）相等。若，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生。P(AB)P(A)P(B);（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生。P(A·B)P(A)·P(B)（5）事件A與事件B互斥：為不可能事件，即，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中并不會同時(shí)發(fā)生。（6）事件A與事件B互為對立事件：為不可能事件，為必然事件，即事件A與事件B在

3、任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生。2、概率的幾個基本性質(zhì)（1）.（2）必然事件的概率為1.（3）不可能事件的概率為0. .（4）事件A與事件B互斥時(shí)，P(AB)=P(A)+P(B)概率的加法公式。（5）若事件B與事件A互為對立事件，則為必然事件，.古典概型1、基本事件：基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時(shí)間的和。2、古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。具有這兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型。3、公式：幾何概型1、幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的

4、概率模型。2、幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計(jì)算公式：以下歸納5個常見考點(diǎn)：考點(diǎn) 1 考查等可能事件概率計(jì)算。在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果有m個，那么。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計(jì)n算公式。例 1從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點(diǎn) 2 考查互斥事件至少有一個發(fā)生與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個發(fā)生的事件為A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(

5、A)+P(B)計(jì)算。事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的事件為AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計(jì)算。例 2.設(shè)甲、乙、丙三臺機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125，（）求甲、乙、丙每臺機(jī)器在這個小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；（）計(jì)算這個小時(shí)內(nèi)至少有一臺需要照顧的概率。考點(diǎn) 3 考查對立事件概率計(jì)算。必有一個發(fā)生的兩個互斥事件A、B叫做互為對立事件。用概率的減法公式P(A)=1-P(A)計(jì)算其概率。例

6、3(2005 福建卷文）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為。（）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點(diǎn) 4 考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算。若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則此試驗(yàn)叫做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為 P，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=。例 4某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2。從使用之

7、日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換。（）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（）當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）考點(diǎn) 5 考查隨機(jī)變量概率分布與期望計(jì)算。解決此類問題時(shí)，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的法公式去計(jì)算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率知識解決 實(shí)際問

8、題的能力。例 5某地最近出臺一項(xiàng)機(jī)動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率。2.隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母、等表示.隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，

9、這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，取每一個值（1，2，）的概率P（）=，則稱下表.PP1P2為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：（1），1，2，;（2）=1.常見的離散型隨機(jī)變量的分布列：（1）二項(xiàng)分布次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，1，2，n，并且，其中，隨機(jī)變量的分布列如下：01P稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .（2） 幾何分布 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)

10、所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.隨機(jī)變量的概率分布為：123kPpqp（3）超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時(shí)，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.離散型隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.離散型隨機(jī)變量的方差

11、：；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.基本性質(zhì)：；.(4)若B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ; 如果隨機(jī)變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即有，求出，而P（ab）的計(jì)算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有.比如則必然小于0，如右圖. 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若則的分布函數(shù)通常用表示，且有. 近五年高考真題（2009年）18.(本題滿分12分)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（I） 取出的3件產(chǎn)品

12、中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(9/10)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。(31/120)（2010年）18（本題滿分12分）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響。（）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率(40/243)（）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(8/81)（）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求

13、的分布列。（2011年）16(本小題滿分13分)學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個白球，個黑球，乙箱子里裝有個白球，個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出個球，若摸出的白球不少于個則獲獎（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）()求在次游戲中，() 摸出個白球的概率；(1/5)() 獲獎的概率；(7/10)()求在次游戲中，獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望(7/5)（2012年）16（本小題滿分13分）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(8/27)（）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(1/9)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.(148