山東大學物理實驗誤差分析詳解

1、物理實驗中心物理實驗中心 普通物理實驗室普通物理實驗室緒論與實驗的誤差及數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識緒緒 論論一、物理實驗課程的地位、作用和任務(wù)u 地位: 獨立課程，不能補考只能重修。u 總成績總成績=平時成績平時成績+論文成績論文成績, 平時成績平時成績=操作操作+數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理+討論匯報討論匯報 u 作用: 實驗方法、實驗技能、數(shù)據(jù)處理、書面報告實驗方法、實驗技能、數(shù)據(jù)處理、書面報告整理訓(xùn)練，也是對獨立工作能力、合作能力的培整理訓(xùn)練，也是對獨立工作能力、合作能力的培養(yǎng)。養(yǎng)。u 任務(wù): 1. 通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學習物理實驗基礎(chǔ)知識。

2、學習物理實驗基礎(chǔ)知識。 2培養(yǎng)和提高學生的科學實驗?zāi)芰?。培養(yǎng)和提高學生的科學實驗?zāi)芰Α?3培養(yǎng)與提高學生的科學實驗素養(yǎng)。培養(yǎng)與提高學生的科學實驗素養(yǎng)。 二、如何學好物理實驗課二、如何學好物理實驗課n做好物理實驗課的三個階段（環(huán)節(jié)）做好物理實驗課的三個階段（環(huán)節(jié)）1實驗前的預(yù)習 實驗課時間有限。實驗課時間有限。 實驗要提前設(shè)計方案、實驗要提前設(shè)計方案、原理的描述、公式、匯報提綱、記錄表格等。記錄表格等。 2課堂實驗課堂實驗n課堂實驗是實驗課的最重要的環(huán)節(jié)。課堂實驗是實驗課的最重要的環(huán)節(jié)。 實驗前：實驗前：按分組就位、不得動儀器，檢查儀器、材料是否完好、齊備（有問題及時報告）。 實驗中：實驗中：安

3、靜、分工合作+互換。 實驗后：實驗后：跟教師討論實驗通過后-整理、上交儀器-經(jīng)教師檢查確認后方可離開。3實驗報告1、數(shù)據(jù)記錄及其說明。數(shù)據(jù)記錄及其說明。2、數(shù)據(jù)處理及實驗結(jié)果。數(shù)據(jù)處理及實驗結(jié)果。n含有計算過程（公式含有計算過程（公式-帶入數(shù)據(jù)帶入數(shù)據(jù)-結(jié)果結(jié)果【含單位含單位】）、）、n實驗曲線、誤差分析。實驗曲線、誤差分析。3、實驗討論。實驗討論。三、學生實驗制度三、學生實驗制度u服從任課教師的安排。服從任課教師的安排。u按時上課：按時上課：遲到超過15分鐘、實驗后未經(jīng)任課教師檢查簽字而離開者，均按曠課論處。u請假：請假：病假-校醫(yī)院病假條；事假-院里蓋公章假條。 申請補課。u曠課：曠課：該

4、實驗以0分計。 u節(jié)假日：節(jié)假日：除學校統(tǒng)一安排補課外，所缺實驗跳過不補。u專用實驗本：專用實驗本：測量原始數(shù)據(jù)等。u實驗小組（學號順序）：實驗小組（學號順序）：在相應(yīng)編號的儀器上做實驗、整個學期中不得更換。學生實驗制度（續(xù)）學生實驗制度（續(xù)）u愛護儀器：愛護儀器：實驗前不動儀器，實驗中安全注意事項，數(shù)據(jù)簽字后整理儀器。損壞要賠償。u儀器安全注意事項：儀器安全注意事項：各種光學器件表面嚴禁用手或其它物品接觸光學表面，領(lǐng)用的小儀器實驗后要上交。u實驗不得抄襲：實驗不得抄襲：雷同者均判為零分。u值日：值日：打掃實驗室。序號實驗名稱1單擺測重力加速度 2實驗二十七 密立根油滴法3實驗二十六 金屬絲楊

5、氏模量4實驗八 熱敏電阻溫度系數(shù)5實驗四 液體黏度系數(shù)的測定6實驗十一 示波器的原理與使用7實驗七 固體導(dǎo)熱系數(shù)的測定8導(dǎo)體電阻率測定 9霍爾效應(yīng) 10光纖傳感器工作特性研究 11等厚干涉 12邁氏干涉儀 本學期十個實驗的順序本學期十個實驗的順序?qū)嶒炐蛱柤胺块g號：實驗序號及房間號：一、單擺測重力加速度二、仿真實驗【油滴實驗】三、測定金屬絲楊氏模量四、熱敏電阻溫度系數(shù)五、液體黏度六、示波器使用722室724室734室734室723室719室七、不良導(dǎo)體導(dǎo)熱系數(shù)八、導(dǎo)體電阻率測定九、霍爾效應(yīng)十、光纖傳感器工作特性研究十一、等厚干涉十二、邁氏干涉儀731室725室731室728室736室736室第一

6、章第一章 實驗的誤差及數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識實驗的誤差及數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：1.1 測量、誤差的基本知識測量、誤差的基本知識1.2 不確定度的基本概念不確定度的基本概念1.3 1.4 1.5 實驗數(shù)據(jù)處理的一般方法實驗數(shù)據(jù)處理的一般方法1.6 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)1.11.1 測量、誤差的基本知識測量、誤差的基本知識 n一、測量與誤差 測量就是將待測量與選做標準單位的物理量進行比較，得到此物理量的測量值。測量值必須包括:數(shù)值和單位數(shù)值和單位，如測量課桌的長度為1.2534m。 誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)測量的分類：測量的分類：按測量

7、方式通?？煞譃椋喊礈y量方式通?？煞譃椋褐苯訙y量由儀器直接讀出測量結(jié)果的由儀器直接讀出測量結(jié)果的叫做直接測量叫做直接測量 如：用米尺測量課桌的長度，電壓表測如：用米尺測量課桌的長度，電壓表測量電壓等量電壓等間接測量由直接測量結(jié)果經(jīng)過公式計由直接測量結(jié)果經(jīng)過公式計算才能得出結(jié)果的叫做間接測量算才能得出結(jié)果的叫做間接測量 如：測量單擺的振動周期如：測量單擺的振動周期T T，用公式，用公式誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 誤差定義：測量值誤差定義：測量值x x，真值（客觀實在值）為真值（客觀實在值）為a a，則測量誤則測量誤差為：差為： 不可知的不可知的真值就是與給

8、定的特定量的定義相一致的量值?？陀^存在真值就是與給定的特定量的定義相一致的量值。客觀存在的、但不可測得的（測量的不完善造成的、但不可測得的（測量的不完善造成）?？芍恼嬷担嚎芍恼嬷担篴.a.理論真值理論真值-理論設(shè)計值、理論公式表達值等理論設(shè)計值、理論公式表達值等 如三角形內(nèi)角和如三角形內(nèi)角和180180度；度；b.b.約定約定( (實用實用) )真值真值-指定值指定值, ,最佳值等，最佳值等， 如阿伏加德羅常數(shù)如阿伏加德羅常數(shù), , 算術(shù)平均值當真值等。算術(shù)平均值當真值等。誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)二、誤差分類二、誤差分類按其性質(zhì)和原因可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類按其性質(zhì)

9、和原因可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類在重復(fù)測量條件下對同一被測量進行無限多在重復(fù)測量條件下對同一被測量進行無限多次測量結(jié)果的平均值減去真值次測量結(jié)果的平均值減去真值 來源：來源：儀器、裝置誤差；儀器、裝置誤差；測量環(huán)境誤差；測量環(huán)境誤差；測量理論或方法誤差；測量理論或方法誤差；人員誤差人員誤差-生理或心理特點所造成的誤差。生理或心理特點所造成的誤差。標準器誤差標準器誤差；儀器安裝調(diào)整不妥儀器安裝調(diào)整不妥, ,不水平、不不水平、不垂直、偏心、零點不準等，如天平不等臂垂直、偏心、零點不準等，如天平不等臂, ,分分光計讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線光計讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線 理論公式為近似理

10、論公式為近似或?qū)嶒灄l件達不或?qū)嶒灄l件達不到理論公式所規(guī)到理論公式所規(guī)定的要求定的要求 溫度、濕度、光照，電磁場等溫度、濕度、光照，電磁場等 特點：特點：可預(yù)知性，可修正?？深A(yù)知性，可修正。anx)(誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)系統(tǒng)誤差分類系統(tǒng)誤差分類: :a.a.定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差-其大小和符號恒定不變。其大小和符號恒定不變。 例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準確等。確等。 b.b.變值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差-呈現(xiàn)規(guī)律性變化?？赡茈S時間呈現(xiàn)規(guī)律性變化?？赡茈S時間, ,隨隨位置變化。例如分光計刻度盤中心與望遠鏡轉(zhuǎn)軸中位置變化。例

11、如分光計刻度盤中心與望遠鏡轉(zhuǎn)軸中心不重合，存在偏心差心不重合，存在偏心差 發(fā)現(xiàn)的方法發(fā)現(xiàn)的方法 (2)2)理論分析法理論分析法- - 理論公式和儀器要求的使用條件理論公式和儀器要求的使用條件 規(guī)律性變化規(guī)律性變化( (一致變大一致變大變小變小)-)-定存在著系統(tǒng)誤定存在著系統(tǒng)誤差差 (1)(1)數(shù)據(jù)分析法數(shù)據(jù)分析法- - 觀察觀察 隨測量次序變化隨測量次序變化xxxii(3)對比法對比法 a.a.實驗方法實驗方法 b.b.儀器儀器 c.c.改變測量條件改變測量條件 誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)處理處理: : 任何實驗儀器、理論模型、實驗條件，都不可能理想 a. a. 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根

12、源消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源( (原因原因) ) b. b. 選擇適當?shù)臏y量方法選擇適當?shù)臏y量方法 單擺單擺g=(9.8000.002)m/s2；自由落體自由落體g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系統(tǒng)誤差其一存在系統(tǒng)誤差 如兩個電表接人同一電路，對比兩個如兩個電表接人同一電路，對比兩個表的讀數(shù)，如其一是標準表，可得另表的讀數(shù)，如其一是標準表，可得另一表的修正值。一表的修正值。 某些物理量的方向、某些物理量的方向、參數(shù)的數(shù)值、甚至換參數(shù)的數(shù)值、甚至換人等人等 誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)1)1)交換法交換法-如為了消除天平不等臂而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差如為了消除天平不等臂而產(chǎn)生的系

13、統(tǒng)誤差 2)2)替代法替代法-如用自組電橋測量電阻時如用自組電橋測量電阻時 3)3)抵消法抵消法-如測量楊氏模量實驗中，取增重和減重時如測量楊氏模量實驗中，取增重和減重時讀數(shù)的平均值；霍爾效應(yīng)測磁場時改變電流和磁場的讀數(shù)的平均值；霍爾效應(yīng)測磁場時改變電流和磁場的方向方向各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強的針對性，各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強的針對性， 都是些經(jīng)驗型、具體的處理方法都是些經(jīng)驗型、具體的處理方法! ! 1)1)半周期法半周期法-如分光計的讀數(shù)盤相對如分光計的讀數(shù)盤相對180180設(shè)置兩個游設(shè)置兩個游標，任一位置用兩個游標讀數(shù)的平均值標，任一位置用兩個游標讀數(shù)的平均值圖中角度讀數(shù)為

14、：游標1讀數(shù): 295+13=29513游標2讀數(shù): 115+12=11512分光計 讀數(shù)方法示意圖誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)2 2隨機誤差：測量結(jié)果減去同一條件下對被測量進行隨機誤差：測量結(jié)果減去同一條件下對被測量進行無限多次測量結(jié)果的平均值無限多次測量結(jié)果的平均值 來源：測量過程中一些隨機的未能控制的可變因素或不確來源：測量過程中一些隨機的未能控制的可變因素或不確定的因素；被測對象本身的不穩(wěn)定性引起的。定的因素；被測對象本身的不穩(wěn)定性引起的。特點：個體而言是不確定的特點：個體而言是不確定的; ; 但其總體服從一定的統(tǒng)但其總體服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。計規(guī)律。處理：不可修正，但可減小之，也

15、可用統(tǒng)計方法計算。處理：不可修正，但可減小之，也可用統(tǒng)計方法計算。)(nxxi誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)3 3粗大誤差粗大誤差 ：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差來源：使用儀器的方法不正確，粗心大意讀錯、記錯、來源：使用儀器的方法不正確，粗心大意讀錯、記錯、算錯數(shù)據(jù)、或?qū)嶒灄l件突變等原因造成的（壞值）。算錯數(shù)據(jù)、或?qū)嶒灄l件突變等原因造成的（壞值）。處理：實驗測量中要盡力避免過失錯誤；處理：實驗測量中要盡力避免過失錯誤； 在數(shù)據(jù)處理中要盡量剔除壞值。在數(shù)據(jù)處理中要盡量剔除壞值。實驗中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉實驗中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉 -很多驚

16、世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！很多驚世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)精確度：用于表述測量結(jié)果的好壞的名詞精確度：用于表述測量結(jié)果的好壞的名詞1 1精密度：表示測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度。精密度：表示測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度。 即是指在規(guī)定條件下對被測量進行多次測量時，所得結(jié)即是指在規(guī)定條件下對被測量進行多次測量時，所得結(jié)果之間符合的程度，簡稱為精度。果之間符合的程度，簡稱為精度。2. 2. 正確度：表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。正確度：表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。 它反映了在規(guī)定條件下，測量結(jié)果中所有系統(tǒng)誤差的它反映了在規(guī)定條件下，測量結(jié)果中所有系統(tǒng)誤差

17、的綜合。綜合。3.3.準確度：表示測量結(jié)果與被測量的準確度：表示測量結(jié)果與被測量的“真值真值”之間的一致之間的一致程度。程度。 它反映了測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合。稱精它反映了測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合。稱精確度。確度。xxiax )()(axxxaxii誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)a)a)正確度高正確度高, , 精密度低精密度低( (b)b)精密度高，精密度高， 正確度低正確度低( (c)c)精密度、精密度、正確度和準確度皆高正確度和準確度皆高正確理解正確理解“精密度、正確度、準確度精密度、正確度、準確度”意義意義誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)誤差的表示形式：誤差的

18、表示形式：a.a.絕對誤差：絕對誤差：b.b.相對誤差相對誤差: :ax - 不可得不可得理論定義理論定義通常取多次重復(fù)測量的算術(shù)平均值作為最佳（真）值通常取多次重復(fù)測量的算術(shù)平均值作為最佳（真）值xxvii殘差（實用）殘差（實用）理論定義理論定義%100aE- 不可得不可得%100%100 xxxxvEii實用實用測量結(jié)果的優(yōu)劣，在不同測量比較時，要用相對誤差表示。測量結(jié)果的優(yōu)劣，在不同測量比較時，要用相對誤差表示。例如，測量例如，測量1010m m長相差長相差1 1mmmm與測量與測量lmlm長相差長相差1 1mmmm，兩者絕對兩者絕對誤差相同，而相對誤差不同。誤差相同，而相對誤差不同。誤

19、誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)三、隨機誤差的分布規(guī)律與特性三、隨機誤差的分布規(guī)律與特性分布規(guī)律的估計分布規(guī)律的估計經(jīng)驗分布曲線經(jīng)驗分布曲線 f(vi)-vi 測量列測量列 xi ， n容量容量對大量數(shù)據(jù)處理時，往往對對大量數(shù)據(jù)處理時，往往對vi取一個單位取一個單位v(盡量小盡量小)，考，考慮慮vi落在第一個落在第一個v，第二個第二個v，第三個第三個v -的的f(vi)，-經(jīng)經(jīng)驗分布曲線驗分布曲線xxviif(vi)-vi出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率正態(tài)分布正態(tài)分布均勻分布均勻分布三角分布三角分布i (單位)-0.2-0.10.00.10.2出現(xiàn)次數(shù)91939218f (i)0.10.20.40.20

20、.1正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律: :大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布(高斯分布高斯分布)規(guī)律規(guī)律 特點特點：1）有界性）有界性.2）單峰性）單峰性. 3）對稱性）對稱性.4）抵償性）抵償性.可以通過多次測量，利用其統(tǒng)計規(guī)律達到互相抵償隨機誤可以通過多次測量，利用其統(tǒng)計規(guī)律達到互相抵償隨機誤差，找到真值的最佳近似值差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估計值或最近真值又叫最佳估計值或最近真值)。niinn101lim誤誤 差差 理理 論論 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)222)(21)(axexf1.3 1.3 測量結(jié)果隨機誤差的估算測量結(jié)果隨機誤差的估算1直接測量中隨機誤差的估算 (1)多次測量的算

21、術(shù)平均值 在相同條件下對一物理量進行了在相同條件下對一物理量進行了n次獨立的直接測量，所次獨立的直接測量，所得得n個測量值為個測量值為x1，x2，xn，稱其為測量列，稱其為測量列，niinaxnx1)(1算術(shù)平均值殘差：測量值與算數(shù)平均值之差。常說的誤差很多時候殘差：測量值與算數(shù)平均值之差。常說的誤差很多時候是指殘差。是指殘差。 隨隨 機機 誤誤 差差 計計 算算 ax 不可得不可得 定義：定義：隨隨 機機 誤誤 差差 計計 算算 (2)(2)多次測量結(jié)果的隨機誤差多次測量結(jié)果的隨機誤差( (標準誤差標準誤差) ) niixaxn12)(1標準差(n為有限次為有限次)()(1112實用niix

22、xxn隨機誤差的分散性，任一測量結(jié)果的誤差落隨機誤差的分散性，任一測量結(jié)果的誤差落在在-x，x 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為68.3%。 測量列的標準誤差測量列的標準誤差x 隨隨 機機 誤誤 差差 計計 算算 算數(shù)平均值的標準誤差：算數(shù)平均值的標準誤差： niixxxxnnn12)() 1(1平均值的標準差 的意義與的意義與xx的意義相似，它表示測量量的算數(shù)的意義相似，它表示測量量的算數(shù)平均值與真值的誤差落在平均值與真值的誤差落在- - ， 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為68.3%68.3%。顯然。顯然 3.141592.717292.717294.510504.510503.215503.21

23、5506.378506.37850ll7.6914997.6914997.6917.691相對誤差相對誤差-兩位，如兩位，如E E=0.0010023=0.0010023修約為修約為0.11%0.11%絕對誤差絕對誤差-一位，當為一位，當為1 1或或9 9時，可以保留兩位。時，可以保留兩位。如：如：0.001230.00123寫為寫為0.00130.0013，0.09620.0962寫為寫為0.100.10。擬舍的第一位數(shù)字為擬舍的第一位數(shù)字為5，其后無數(shù)字或皆為其后無數(shù)字或皆為0 保留末位為奇數(shù)保留末位為奇數(shù), , 加加1 1，保留末位為偶數(shù)保留末位為偶數(shù), , 不不變變 二、有效數(shù)字的運算

24、規(guī)則二、有效數(shù)字的運算規(guī)則有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算2. 有效數(shù)字運算規(guī)則有效數(shù)字運算規(guī)則:規(guī)則規(guī)則: 準確數(shù)字與準確數(shù)字的運算結(jié)果仍為準確數(shù)字，準準確數(shù)字與準確數(shù)字的運算結(jié)果仍為準確數(shù)字，準確數(shù)字與非準確數(shù)字或非準確數(shù)字與非準確數(shù)字的運算確數(shù)字與非準確數(shù)字或非準確數(shù)字與非準確數(shù)字的運算結(jié)果為非準確數(shù)字。運算結(jié)果只保留一位非準確數(shù)字。結(jié)果為非準確數(shù)字。運算結(jié)果只保留一位非準確數(shù)字。(1)加減法加減法 結(jié)果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字中非準確位數(shù)值結(jié)果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字中非準確位數(shù)值最大者相同最大者相同(2)乘除法乘除法 結(jié)果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有效數(shù)字

25、位數(shù)最少結(jié)果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同的相同(3)乘方開方乘方開方 結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同如如674.6-21.3542的結(jié)果取的結(jié)果取為為653.2如如23.4*26的結(jié)果取為的結(jié)果取為6.1*102 如如23.42的結(jié)果取為的結(jié)果取為548 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算(4)(4)對數(shù)對數(shù) 結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同(5)(5)三角函數(shù)三角函數(shù)以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用, 運算過程中可多保留位數(shù)。運算過程中可多保留位數(shù)。對大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法處理對大量數(shù)據(jù)用

26、統(tǒng)計方法處理.如如 ln23.4的結(jié)果取為的結(jié)果取為3.15 結(jié)果的位數(shù)與參數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與參數(shù)的位數(shù)相同有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算(1)加減法加減法求求N=X+Y+Z，其中其中X=(98.70.3)cm， Y=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法乘除法 求立方體體積求立方體體積V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 考慮標準差的例題：考慮標準差的例題：解解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (cm) 4 . 031

27、. 008. 0006. 03 . 0222222ZYXN所以所以 N=(119.3 0.4) (cm)所以所以 V=(5.6740.003)105 mm3 =219.866 mm3222222HBLVHVBVLV337104.56741768.27935.90455.22mmLHBV222222HBLvLBLHBH有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算(3)(3)指數(shù)指數(shù) 求求e ex x，已知：，已知：x x=7.85=7.850.050.05xxedxed/ )(385. 71013. 005. 0)(exeexx385. 710566. 2 eex故故 e ex x = =（2

28、.572.570.130.13）10103 3 (4)(4)三角函數(shù)三角函數(shù)- - 已知已知x = 38241，求求sinx sin38sin382424= 0.62114778 = 0.62114778 0003. 06011802438coscos)(sinxxx所以所以 sin3824= 0.6211 0.0003 0.0003 xdxxdcos/ )(sin(5)(5)對數(shù)對數(shù)- - 已知已知x = 65.48，求求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475d(lnx)/dx=1/x -d(lnx)/dx=1/x - (1nx) =x/ /x= 0.1/65.48=0.

29、002 所以所以 lnx = 4.182 0.002有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算必須指出，測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)取決于測量，而必須指出，測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)取決于測量，而不取決于運算過程。因此在運算時，尤其是使用計算不取決于運算過程。因此在運算時，尤其是使用計算器時，不要隨意擴大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認器時，不要隨意擴大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算3。測量最終結(jié)果的有效數(shù)字：。測量最終結(jié)果的有效數(shù)字：%100NENNNN單位 結(jié)果的標準誤差求出并修約后，測量量結(jié)果的最后結(jié)

30、果的標準誤差求出并修約后，測量量結(jié)果的最后位與標準誤差的對齊，測量量結(jié)果按位與標準誤差的對齊，測量量結(jié)果按“五下舍，五上入，五下舍，五上入，整五湊偶整五湊偶”的原則修約。的原則修約。如由公式求得的楊氏模量如由公式求得的楊氏模量 Y=2.182641011(kg/m2)， 求得標準誤差為求得標準誤差為 Y =0.02318641011(kg/m2)。則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為 Y=(2.180.03)1011(kg/m2) E=1.4% 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法l.5l.5 實驗數(shù)據(jù)處理的一般方法實驗數(shù)據(jù)處理的一般方法 實驗的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學運算，而是要以

31、一定的物理模型實驗的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學運算，而是要以一定的物理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理條件為依據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理、分析和歸為基礎(chǔ)，以一定的物理條件為依據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理、分析和歸納計算，得出明確的實驗結(jié)論。納計算，得出明確的實驗結(jié)論。一、一、 列表法列表法- - 記錄數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格記錄數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格要求(1)(1)表格設(shè)計合理表格設(shè)計合理; (2) (2)標題欄中寫明各物理量的符號和單位標題欄中寫明各物理量的符號和單位; (3) (3)表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字；表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字； (4) (4)實驗室給出的數(shù)據(jù)或查得的單項數(shù)據(jù)應(yīng)列在

32、表格的上部實驗室給出的數(shù)據(jù)或查得的單項數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格的上部 m (g)t1 (s)t2 (s)t3 (s)5.00 10.00 15.00 如： r =2.50cm , h = cm數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法二二 圖示法圖示法-將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直觀將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直觀地表示出來地表示出來優(yōu)點：物理量之間的變化規(guī)律；優(yōu)點：物理量之間的變化規(guī)律； 內(nèi)插法求值；內(nèi)插法求值； 外推法求值。外推法求值。缺點：三個及其以上的變量不適用；缺點：三個及其以上的變量不適用； 繪圖時易引入人為誤差。繪圖時易引入人為誤差。作圖步驟作圖步驟 ： 選用合適的坐標紙選用合適的坐

33、標紙 坐標軸的比例與標度坐標軸的比例與標度a.a. 用粗實線描出坐標軸用粗實線描出坐標軸(箭頭箭頭)，橫軸代表自變量，橫軸代表自變量,縱縱軸代表因變量，標明物理量名稱軸代表因變量，標明物理量名稱(或符號或符號)及單位。及單位。數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法b.b. 原則上，坐標中的最小格對應(yīng)測量值可靠數(shù)字的最后一原則上，坐標中的最小格對應(yīng)測量值可靠數(shù)字的最后一位，可根據(jù)情況選擇這一位的位，可根據(jù)情況選擇這一位的“1 1”、“2 2”或或“5 5”倍倍c.c. 坐標軸的起點不一定從零開始，標度用整數(shù)，不用測坐標軸的起點不一定從零開始，標度用整數(shù)，不用測量值。量值。 標實驗點標實驗點a.a.

34、以以“+”、“”、 “”、 “”等符號標出實驗等符號標出實驗點，測量數(shù)據(jù)落在所標符號的中心，大小適中。禁止用點，測量數(shù)據(jù)落在所標符號的中心，大小適中。禁止用“ ” b.b. 一條實驗曲線用同一種符號。一條實驗曲線用同一種符號。 連圖線（擬合線）連圖線（擬合線）a.a. 把點連成直線或光滑曲線；不要無限延長把點連成直線或光滑曲線；不要無限延長b.b. 要求數(shù)據(jù)點均勻地分布在圖線兩旁，連線要細而清晰要求數(shù)據(jù)點均勻地分布在圖線兩旁，連線要細而清晰數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法(5) 注解說明注解說明a.a. 圖形的意義、數(shù)據(jù)來源、所用公式等圖形的意義、數(shù)據(jù)來源、所用公式等b.b. 圖線的名稱、實

35、驗日期、實驗者等圖線的名稱、實驗日期、實驗者等圖解法圖解法-求直線的斜率和截距求直線的斜率和截距 (y=a+bx )在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠的點，如在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠的點，如P P1 1( (x x1 1，y y1 1) )和和P P2 2( (x x2 2，y y2 2)()(不同于實驗點不同于實驗點),),用不同于實驗點用不同于實驗點的符號表明的符號表明1212xxyyb斜率112121xxxyyya截距312123xxxyyya或三點法數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法圖示法舉例圖示法舉例 在剛體轉(zhuǎn)動實驗中，當保持塔輪半徑在剛體轉(zhuǎn)動實驗中，當保持塔輪半徑

36、r不變的情況下，懸掛砝不變的情況下，懸掛砝碼質(zhì)量碼質(zhì)量m與下落時間與下落時間t的關(guān)系為的關(guān)系為 1211221112CtKgrMtgrhImm與與1/t2成線性關(guān)系成線性關(guān)系m(g) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t(s) 21 t(10-3 s-2) 5.00 16.02 15.60 15.42 15.68 4.07 10.00 10.62 10.81 10.23 10.55 8.98 15.00 8.40 8.47 8.31 8.39 14.19 20.00 6.92 7.02 6.92 6.95 20.68 25.00 6.12 6.32 6.15 6.19 26.04 30

37、.00 5.74 5.64 5.73 5.70 30.74 35.00 5.14 5.28 5.16 5.19 37.08 其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 測出一組測出一組m 1/t2值值,作出它們關(guān)系曲線作出它們關(guān)系曲線,求出斜率求出斜率K1即可得到即可得到I1 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法OOO作圖：作圖：P27選坐標紙；選坐標紙；坐標軸的比坐標軸的比例與標度；例與標度；標實驗點；標實驗點；連圖線；連圖線；注解說明注解說明數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法求直線的斜率和截距求直線的斜率和截距在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端任取兩相距較遠的點，如在圖線上測量范圍內(nèi)靠近

38、兩端任取兩相距較遠的點，如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不同于實驗點不同于實驗點),),用不同于實驗點的用不同于實驗點的符號表明符號表明P P1 1、P P2 2，坐標為坐標為 P1（x1, y1）=(5.0010-3, 6.02)， P2(x2, y2)=(36.0010-3, 34.30) )(10123. 910)00. 500.36( 02. 630.3422312121sgxxyykC1=1.65（g） （延長與延長與Y 軸交點；由軸交點；由P1，P2的坐標值；取第三點。）的坐標值；取第三點。）數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法三三 逐差法逐差法 - 充分利用測量數(shù)據(jù)減小

39、測量誤差充分利用測量數(shù)據(jù)減小測量誤差兩個條件：兩個條件： 函數(shù)具有函數(shù)具有y=a+bx的線性關(guān)系的線性關(guān)系(或代換后是線性）或代換后是線性） 自變量自變量x是等間距變化的是等間距變化的,測量次數(shù)為偶數(shù)測量次數(shù)為偶數(shù)如如: 楊氏模量楊氏模量,牛頓環(huán)牛頓環(huán),表面張力系數(shù)等表面張力系數(shù)等數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法四四 線性回歸（方程法）線性回歸（方程法） 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗公式，既無人根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗公式，既無人為因素影響，也更為明確和快捷為因素影響，也更為明確和快捷, ,這個過程稱為回歸分析這個過程稱為回歸分析a.a. 函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知

40、的，利用測函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，利用測量的量的n n對對( (x xi i，y yi i) )值，確定系數(shù)的最佳估計值。值，確定系數(shù)的最佳估計值。b.b. 第二類問題是第二類問題是y y和和x x之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從n n對對( (x xi i，y yi i) )測量數(shù)據(jù)中尋找出它們之間的函數(shù)關(guān)系式。測量數(shù)據(jù)中尋找出它們之間的函數(shù)關(guān)系式。只討論第一類問題中的最簡單的函數(shù)關(guān)系，即一元線性方只討論第一類問題中的最簡單的函數(shù)關(guān)系，即一元線性方程的回歸問題程的回歸問題( (或稱直線擬合問題或稱直線擬合問題) ) 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法一元線

41、性回歸一元線性回歸若已知函數(shù)的形式若已知函數(shù)的形式(最佳經(jīng)驗最佳經(jīng)驗)為為 y=a+bx 實驗測得數(shù)據(jù)（實驗測得數(shù)據(jù)（xi，yi ）, i=1,2,n由由 n 對（對（xi，yi ）求求a，b 使使 (yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P20-21) 其中其中 y = y y = y( a + bx) 對應(yīng)于每一個對應(yīng)于每一個x值，值，觀測值觀測值 y和最佳經(jīng)驗公式的和最佳經(jīng)驗公式的 y 值之間存在一個偏差值之間存在一個偏差y 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法xbya22xxyxyxbniixnx11niiyny11iniiyxnyx11niixnx1221相關(guān)系數(shù)來判斷回歸分析的合理性相關(guān)系數(shù)來判斷回歸分析的合理性)(2222yyxxyxyx| - - 1， 線性回歸是合理的線性回歸是合理的; ; | - - 0， 不宜用線性回歸不宜用線性回歸. . 其中：其中：數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法例例3 用用X射線檢查合金鑄件，透視電壓射線檢查合金鑄件，透視電壓U與鑄件的厚度與鑄件的厚度x的數(shù)據(jù)如的數(shù)據(jù)如表，求表，求Ux的經(jīng)驗公式，并作相關(guān)性檢驗。的經(jīng)驗公式，并作相關(guān)性檢驗。 觀察可見，表中觀察可見，表中x x與與U U呈現(xiàn)比較顯著的