中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：幾何綜合題(含答案解析)

1、幾何綜合題1.ABC,AD是ZBAC的平分線,且ADAB過點(diǎn)C作AD的垂線,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)如圖1,假設(shè)/BAC=60n直接寫出NB和/ACB勺度數(shù)；假設(shè)AB=2,求AC和AH的長(zhǎng)；(2)如圖2,用等式表示線段AH與ABAC之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí).答案：(1)/B=75%/ACB=45%作 DELAC 交 AC 于點(diǎn) E.RtAADE 中,由 ZDAC=30rAD=2 可得 DE=1,AE=73.RtACDE 中,由 ZACD=45,DE=1,可得 EC=1.AC=事1.RtAACH 中,由/DAC=30、可得 AH=3.依依；2(2)線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系：2

2、AH=AB+AC 證實(shí)：延長(zhǎng) AB 和 CH 交于點(diǎn) F,取 BF中點(diǎn) G,連接易證ACHAAFH.AC=AF,HC=HF.GH/BC.AB=AD,ABDADB.ZAGHZAHG.AG=AH.ABAC=ABAF=2ABBF=2AB-BG)=2AG=2AH.2.正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為2,將射線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得射線與線段BD交于點(diǎn)M,作怎加于點(diǎn)E,點(diǎn) N 與點(diǎn)M關(guān)于直線 CE 對(duì)稱,連接 CN.(1)如圖 1,當(dāng) 0“45=時(shí),依題意補(bǔ)全圖 1.用等式表示/NCE 與/BAM之間的數(shù)量關(guān)系:GH.(2)當(dāng) 45Zo(90時(shí),探究/NCE 與/BAM之間的數(shù)量關(guān)系并加以證實(shí).(3)當(dāng)

3、0 口汽90時(shí),假設(shè)邊AD的中點(diǎn)為F,直接寫出線段EF長(zhǎng)的最大值.答案：(1)補(bǔ)全的圖形如圖 7 所示./NCE=2/BAM.(2)當(dāng) 45K90 時(shí),ZNCE=180-2ZBAM.證實(shí)：如圖 8,連接 CM,設(shè)射線 AM 與 CD 的交點(diǎn)為 H. 四邊形 ABCD 為正方形,ZBAD=ZADC=ZBCD=90,直線 BD 為正方形 ABCD 的對(duì)稱軸,點(diǎn) A 與點(diǎn)C 關(guān)于直線 BD 對(duì)稱. 射線 AM 與線段 BD 交于點(diǎn) M,/BAM=/BCM=a.Z1=Z2=90-a. CEXAM,ZCEH=90,/3+75=90.又/1+74=90,/4=Z5,/1=/3.Z3=Z2=90-ct. 點(diǎn)

4、 N 與點(diǎn) M 關(guān)于直線 CE 對(duì)稱,ZNCE=ZMCE=Z2+Z3=1802ZBAM.(3)21備用3.如圖,/AOB=60一點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE_LOB,交OB于點(diǎn)E,點(diǎn)D在/AOB內(nèi),且滿足/DPA=/OPE,DP+PE=6.(1)當(dāng)DP=PE時(shí),求DE的長(zhǎng)；(2)在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)DMM,使得ME答案：(1)作PF,DE交DE于F.PEBO,/AOB=60,OPE=30.DPA=OPE=30.EPD=120.DP-PE,DPPE=6,.PDE-30,PD=PE=3.DF=PDcos30=3V3.2DE=2DF=3j3.的值不變并證實(shí)你的判

5、斷(2)當(dāng)M點(diǎn)在射線OA上且?黃足OM=2j3時(shí),DM的值不變,始終為 1.理由如下:ME當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí),延長(zhǎng)EP到K使得PK=PD.DPA-/OPE,OPE二,KPA,KPA二,DPA.一KPM=/DPM.PK=PD,PM是公共邊,KPMADPM.MK=MD.作ML,OE于L,MN,EK于N.MO=2、3,MOL=60,.ML-MOsin60：=3.PEBO,MLOE,MNEK,.四邊形MNEL為矩形.EN=ML=3.EK二PEPK=PEPD=6,EN=NK.MNEK,MK二ME.ME=MK=MD,即RM=1ME當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),由上過程可知結(jié)論成立.4.如圖,在菱形ABCDK/DA

6、B60.,點(diǎn)E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) A,B不重合),連接CE將/ACE勺兩邊所在射線CECAl點(diǎn)C為中央,順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120.,分別交射線AD于點(diǎn)F,G.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)假設(shè)/ACE=,求/AFC的大小(用含“的式子表示)；(3)用等式表示線段AEAF與CG之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí).答案：(1)補(bǔ)全的圖形如下圖.月(2)解：由題意可知,/ECFWACG=120./FCG 之 ACE=a.四邊形 ABCD 是菱形,/DAB=60,/DAC=ZBAC=30:/AGC=30.*./AFC=a+30.(3)用等式表示線段 AE、AF 與 CG 之間的數(shù)量關(guān)系為AE+AF=J3CG.證實(shí)：作

7、 CH,AG 于點(diǎn) H.由(2)可知/BAC=ZDAC=/AGC=30.CA=CG.HG=1AG2/ACE=/GCF/CAE=/CGFACEAGCF.AE=FG在 RtHCG 中,HG=CGcos/CGHAG=屈CG 即 AF+AE=屈CG5.如圖,RtABC中,/ACB=90,CA=CB過點(diǎn)C在ABC7卜作射線CE且/BCE=口,點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接ADBDCD其中ADBD別交射線CE于點(diǎn)MN(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)當(dāng) a=30時(shí),直接寫出/CMA 勺度數(shù)；(3)當(dāng) 00a45.時(shí),用等式表示線段AMCN之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí).答案：(1)如圖;(2)45.；(3)結(jié)論：AM

8、=J2CN.證實(shí)：作 AGEC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.點(diǎn) B 與點(diǎn) D 關(guān)于 CE 對(duì)稱,.CE 是 BD 的垂直平分線.CB=CD./1=/2=a.CA=CB,.1.CA=CD./3=ZCAD.,.Z4=90,1,.1,.,/3=(180_/ACD)=-(180_90_ct_a)=45-a.221.Z5=Z2+Z3=a+45-a=45.,.Z4=90,CE 是 BD 的垂直平分線,1+/7=90,/1+/6=90./6=/7.AGEC, ./G=90=/8. 在BCN 和CAG 中,Q8=/G,J/7=/6,、BC=CA, .BCNCAGCN=AG. RtAAMG 中,/G=90,/5=45,A

9、M=.2AG.AM=.2CN.6.在正方形ABCd,M是BC邊上一點(diǎn),點(diǎn)P在射線AM上,將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AQ連接BP,DQ(1)依題意補(bǔ)全圖 1;(2)連接DP,假設(shè)點(diǎn)P,QD恰好在同一條直線上,求證：DP2+DQ2=2AB2;假設(shè)點(diǎn)P,Q,C恰好在同一條直線上,那么BP與AB的數(shù)量關(guān)系為：.答案：(1)補(bǔ)全圖形略(2)證實(shí)：連接BD,如圖2, 線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90.得到線段AQ,.AQ=AP,/QAP=90. 四邊形ABCD是正方形,.AD=AB,/DAB=90./1=/2.ADQ心ABP.DQ=BP,/Q=/3. .在RtAQAP中,/Q+/QPA=90,/

10、BPD=/3+/QPA=90. 在RtmPD中,DP2+BP2=BD2,22又DQ=BP,BD=2AB,22_2DP+DQ=2AB.BP=AB.7.如圖,在等腰直角ABC 中,/CAB=90,F 是 AB 邊上一點(diǎn),作射線 OF,過點(diǎn)B作BGLCF于點(diǎn)G,連接AG(1)求證：/ABG/ACF(2)用等式表示線段CGAGBG之間答案：(1)證實(shí)：ZCAB=90.BGCF 于點(diǎn) G,ZBGF=ZCAB=90./GFB=ZCFA/ABG=/ACF(2)CG=.2AG+BG.證實(shí)：在 CG 上截取 ChkBG,連接 AH,ABC 是等腰直角三角形,/CAB=90,AB=AC./ABG=/ACHAABG

11、ACHIAG=AH,/GAB=/HAC/GAH=90. AG2AH2=GH2.GH=.2AG.CG=CH+GH=,2AG+BG.8.如圖,在正方形ABCD,E是BC邊上一點(diǎn),連接AE延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F,使BF=BE過點(diǎn)F作 FHLAE于點(diǎn)H,射線FH分另交AB.k點(diǎn)MN,交對(duì)角線AC于點(diǎn)P,連接AF.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：/FAG/APF(3)判斷線段FM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證實(shí).答案：(1)補(bǔ)全圖如下圖.(2)證實(shí)二.正方形 ABCD,./BAC=ZBCA=45,/ABC=90,/PAH=45-/BAE.FHIAE.,/APF=45+ZBAE.BF=BEAF=AE/BAF=ZBA

12、E.FA(=45+/BAF.FA/APF.(3)判斷：FM=PN.證實(shí)：過 B 作 BQ/MN 交 CD 于點(diǎn) Q,MN=BQ,BQXAE. 正方形 ABCD, .AB=BC,ZABC=ZBCD=90. ./BAE=ZCBQABEiBCQAE=BQ.AEMN. /FAC：/APF,AF=FP. AF=AEAEFP.FP=MN.FM=PN.9.如下圖,點(diǎn) P 位于等邊4ABC的內(nèi)部,且/ACP=ZCBP.(1) /BPC 的度數(shù)為;(2)延長(zhǎng) BP 至點(diǎn) D,使得 PD=PC,連接 AD,CD.依題意,補(bǔ)全圖形；證實(shí)：AD+CD=BD;在(2)的條件下,假設(shè) BD 的長(zhǎng)為 2,求四邊形 ABCD

13、 的面積.解：(1)120.2 分(2)RM1 所示.在等邊4ABC中,/ACB=60 口ACPBCP=60.ACP=CBP,.CBPBCP=60.BPC=180-CBPBCP=120.ZCPD=180/BPC=60.PD=PC,.CDP為等邊三角形NACD+NACP=NACP+2BCP=60:ACD=BCP.在AACD和BCP中,fAC=BC,ACD二,BCP,CD=CP,AACDABCP(SAS).AD=BP. AD+CD=BP+PD=BD.4 分(3)如圖2,作BMAD于點(diǎn)M,BNXDC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N./ADBNADC-ZPDC=60工ADB=CDB=60.-ADB=CDB=60. .BM

14、=BN=BD=,3.2又由(2)得,AD+CD=BD=2,10.如圖 1,在等邊三角形 ABC 中,CD 為中線,點(diǎn) Q 在線段 CD 上運(yùn)動(dòng),將線段 QA 繞點(diǎn) Q 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) E 落在射線 BC 上,連接 BQ,設(shè)/DAQ=a(0“V60且井30).(1)當(dāng) 0“V30時(shí),在圖 1 中依題意畫出圖形,并求/BQE(用含的式子表示)；探究線段 CE,AC,CQ 之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證實(shí)；(2)當(dāng) 30VaV600 時(shí),直接寫出線段 CE,AC,CQ 之間的數(shù)量關(guān)系.S四邊形ABCD-SAABD+SABCD1.=AD|_BM21,-CDLBN二2ADCD23.收2二3.

15、7 分y-x+3設(shè)直線3與 x 軸,y 軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)B(0,3).0A=3遭,QB=3,NOAB=300備用圖解：1由wLQwJ3,作直線y二x如圖 13,當(dāng).D 與 x 軸相切時(shí),相應(yīng)的圓心Di滿足題意,其橫坐標(biāo)取到最大值.作5巳,*軸于點(diǎn)E1,可得D1E1/QB,D1E1AE10D的半徑為BQAQ1,.D1E1=1圖 13AE1=3QE1=QA-AE1=2.3,?XD1=23如圖 14,當(dāng).D 與直線y=J5x相切時(shí),相應(yīng)的圓心D2滿足題意,其橫坐標(biāo)取到最小值.作D2E2_Lx軸于點(diǎn)E2,那么D2E2,QA.設(shè)直線y=V3x與直線y=-火x+3的交點(diǎn)為3可得ZAQF=60,QFLAB.

16、那么39AF=QAcosZQAF=33=220D的半徑為 1,D2F=1A,點(diǎn)B,可得A33,22.7 分11.如圖,在等邊4ABC中,D,E分別是邊AC,BC上的點(diǎn),且CD=CE/DBC30,點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱,連接AF,FE,FE交BD于G.(1)連接DE,DF,那么DE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)假設(shè)ZDBC=,求ZFEC的大??；(用a的式子表示)(3)用等式表示線段BG,GF和FA之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí).(1)DE=DF;(2)解：連接DE,DF,:ABC是等邊三角形,.C=60.NDBC=a,BDC=120.點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱,AD2=AF-D2F=-5 分(3)畫圖見圖

17、15.圖 15DF二DC./BDF=/BDC=120j,FDC=1202：.由1知DE=DF.F,E,C在以D為圓心,八1八二FECFDC=60:.23BG=GF+FA.理由如下：連接BF,延長(zhǎng)AF,BD交于點(diǎn)H,VABC是等邊三角形,.NABC=NBAC=60,AB=BC=CA.點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱,BF=BC,/FBD=/CBD.BF-BA.BAF-BFA.設(shè)/CBD=u,WJABF=60-2：.BAF=60-：.FAD-：.FAD=/DBC.由2知/FEC=600+a.BGE=.FECDBC=60.丁./FGB=120,四邊形AFGB中：.HFG=60.AFGH是等邊三角形.FH=FG

18、,NH=60*.:CD-CE,.DA=EB.在AAHD與ABGE中,AHDu/BGE,HADGBE,AD=BE.DC為半徑的圓上.FGD=60.AFE=360,一/FAB-,ABG-/FGB=120.AAHD-ABGE.BG=AH.AH=HF+FA=GF+FA,.BG=GF+FA.12.如圖,在ABC 中,AB=AG/BAC=90,M 是 BC 的中點(diǎn),延長(zhǎng) AM 到點(diǎn) D,AE=AD,/EAD=90,CE 交 AB 于點(diǎn)F,CD=DF.(1)/CAD=度；(2)求/CDF 的度數(shù)；(3)用等式表示線段 CD 和 CE 之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí)解：(1)45(2)解：如圖,連接 DB.AB=AC,ZBAC=90./BAD=ZCAD=45.BAgACAD./DBA=/DCA,BD=CD.CD=DF,.BD=DF./DBA=ZDFB=/DCA/DFb/DFA=180：./DCA+ZDFA=180./BAG/CDF=180：./CDF=90:4 分(3)CE=(亞+1)CD.5 分證實(shí)： ZEAD=90,./EAF=ZDAF=45.AD=AE,.EAFDAF.6 分DF=EF由可知,CF=BC,BD 是 AC 邊上的高,點(diǎn) C 關(guān)于直線 BD 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) E,連接 BE(1)依題意補(bǔ)全圖形；假設(shè)/BAC=o(,求/DBE 的大小(用含 a 的式子表示)；(