微分方程模型在實(shí)際中的應(yīng)用淺析 2

1、 引 言微分方程（differential equation）指含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程，是常微分方程和偏微分方程的總稱。 在17-18世紀(jì)社會(huì)生產(chǎn)力發(fā)展的需求與科學(xué)數(shù)學(xué)化進(jìn)程的影響下，微積分本身進(jìn)一步深入發(fā)展并在力學(xué)、物理學(xué)、聲學(xué)和幾何學(xué)等方面廣泛應(yīng)用，刺激和推動(dòng)了一系列應(yīng)用分支的形成。微分方程理論正是在這一時(shí)代背景下產(chǎn)生的。 同期出現(xiàn)的還有微分幾何、變分法、無(wú)窮級(jí)數(shù)等，它們與微分方程理論相互影響，相互促進(jìn)。微分方程是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而成長(zhǎng)起來(lái)的一門(mén)歷史悠久的學(xué)科，從誕生之日起很快就顯示出它在應(yīng)用上的重要作用，特別是作為牛頓力學(xué)的得力助手，在天體力學(xué)和其它力學(xué)領(lǐng)域顯示出巨大

2、的功能。牛頓通過(guò)解微分方程證實(shí)了地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)橢圓；海王星的存在是天文學(xué)家先通過(guò)微分方程的方法推算出來(lái)，然后才實(shí)際觀測(cè)到的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，微分方程的應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入。時(shí)至今日，可以說(shuō)微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，也是整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中的重要組成部分。微分方程每一步進(jìn)展都離不開(kāi)其它數(shù)學(xué)分支的支援；反過(guò)來(lái)，微分方程進(jìn)一步發(fā)展，又推動(dòng)著其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。微分方程是一門(mén)十分有用又十分有魅力的學(xué)科，自 1693 年微分方程概念的提出到動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)足發(fā)展，常微分方程經(jīng)歷漫長(zhǎng)而又迅速的

3、發(fā)展，極大豐富了數(shù)學(xué)家園的內(nèi)容。隨著社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和需求，微分方程會(huì)有更大的發(fā)展，比如偏微分方程的迅速發(fā)展。有理由預(yù)測(cè)：隨著依賴數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其它學(xué)科的發(fā)展 ,微分方程還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展。 本文主要介紹以常微分方程作為工具，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題建立微分方程模型，然后求出微分方程的解，從而解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步了解微分方程在描述客觀世界中的作用。一、微分方程模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用141.經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)分析模型 3 模型基本假設(shè)有:(1)全社會(huì)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，可以是投資品，也可以是消費(fèi)品；（2）生產(chǎn)過(guò)程中只用兩種生產(chǎn)要素，即勞動(dòng)力和資本，且這兩種要素之間相互不能替代；（3）儲(chǔ)蓄是國(guó)民收入的函數(shù)；（4）不存在技術(shù)進(jìn)步

4、，也不存在資本折舊問(wèn)題；（5）生產(chǎn)規(guī)模報(bào)酬不變；（6）勞動(dòng)力按照一個(gè)固定不變的比率增長(zhǎng)。解：設(shè)S(t)為 t 時(shí)刻的儲(chǔ)蓄，I(t)為t時(shí)刻的投資，Y(t)為t時(shí)刻的國(guó)民收入，可以建立如下的簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型： ,上式中、均為正常數(shù)，為初期國(guó)民收入，0。 方程(1)表示儲(chǔ)蓄與國(guó)民收入成正比（ 稱為儲(chǔ)蓄率）， 方程(2)表示投資與國(guó)民收入的變化率成正比（稱為加速數(shù)）， 方程(3)表示儲(chǔ)蓄等于投資。 由前三個(gè)方程消去S(t)和I(t)，可得關(guān)于Y(t)的微分方程: ,即 ,兩邊同時(shí)積分得到 ,其通解為 ， （c為任意常數(shù)）由出初始條件 , 得，所以 。于是 。由0可知， 都是關(guān)于t的單增函數(shù)。 此模型

5、提出經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的決定性變量是資本或儲(chǔ)蓄的形成，一個(gè)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的能力依賴于一個(gè)經(jīng)濟(jì)的儲(chǔ)蓄能力，政府可以通過(guò)刺激資本積累、調(diào)節(jié)儲(chǔ)蓄水平來(lái)實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期增長(zhǎng)。2.市場(chǎng)均衡價(jià)格分析模型13模型：設(shè)某種商品，其價(jià)格主要由市場(chǎng)供求關(guān)系來(lái)決定，且該商品的市場(chǎng)價(jià)格 P= P( t)一般會(huì)隨時(shí)間的變化而變動(dòng),該商品的需求量，供給量，都只與該商品的價(jià)格P有關(guān)。解：設(shè)需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為： ，當(dāng)需求量與供給量相等時(shí)，即時(shí)，由(1)（2）式可得價(jià)格 （此時(shí)稱為該商品的均衡價(jià)格）。一般地，當(dāng)市場(chǎng)上該商品供過(guò)于求()時(shí)，價(jià)格將下跌；供不應(yīng)求()時(shí)，價(jià)格將上漲。因此，該商品的價(jià)格將隨著時(shí)間的變化而圍繞著均衡價(jià)格 上下波動(dòng)。

6、假設(shè)t時(shí)刻價(jià)格P(t )的變化率與t時(shí)刻的超額需求量 成正比，即設(shè) ， 其中K為正常數(shù)，反映了價(jià)格的調(diào)整速度。將（1）（2）代入（3）得 ，為一階可分離變量的微分方程，可化為： ， 分離變量得： ，兩邊同時(shí)積分，有： （為常數(shù)） ，解得： 。假設(shè)初始價(jià)格，代入上式得 ， 于是， ， 。該模型的結(jié)果說(shuō)明，實(shí)際價(jià)格最終趨向于均衡價(jià)格。3. 廣告效果分析模型模型：信息時(shí)代使廣告成為提升商品銷售量的一種強(qiáng)有力手段，因此有必要研究銷售量與廣告之間具有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系。下面借助微分方程來(lái)進(jìn)行研究。以銷售速度為研究對(duì)象，設(shè)s(t)為t時(shí)刻的產(chǎn)品銷售速度，認(rèn)為廣告對(duì)產(chǎn)品的銷售速度有直接的促進(jìn)作用并作以下假設(shè)：

7、 （i）在不考慮廣告作用的情況下，銷售速度具有自然衰減的性質(zhì)，即隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)品銷售速度在減少，滿足這一性質(zhì)的銷售速度:， 其中為衰減因子。 (ii)廣告會(huì)使產(chǎn)品的銷售速度增加，但增加具有一定限度，當(dāng)產(chǎn)品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷售速度將趨于極限值。這時(shí)無(wú)論采取哪種形式做廣告(不包括其他的促銷手段)，銷售速度都不會(huì)增加。當(dāng)銷售速度達(dá)到飽和水平后，廣告已不起作用，銷售速度隨時(shí)間增加而自然衰減。假設(shè)M為銷售飽和水平，即市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的最大容納能力，它對(duì)應(yīng)著銷售速度的上限。同樣為衰減因子， > 0且為常數(shù)。 (iii) 廣告的投入水平與產(chǎn)品的銷售速度有關(guān)，設(shè)A(t)為t時(shí)刻的廣告投入水平(以費(fèi)用表

8、示)，p為投入的響應(yīng)系數(shù)，即投入水平A(t)對(duì)銷售速度的影響力，p為常數(shù)。解：據(jù)以上假設(shè)，有： ，(1)式右邊的第一項(xiàng)反映出廣告投入對(duì)銷售速度的影響，顯然當(dāng)A(t)=0或s=M 時(shí)，都有 ，而(1)式右邊第二項(xiàng)表明銷售速度自然衰減的特征。 為確定A(t)的形式，假設(shè)選擇如下廣告策略： ，即在時(shí)間內(nèi)平均投入常數(shù)A 的資金來(lái)做廣告，在此條件下求解(1)式。 在時(shí)間段(0，)內(nèi)，假設(shè)已知用于廣告的總投入為a，那么單位時(shí)間投入，代人(1)式，有： ， ， ，令：，則有 ，其通解為： ，為積分常數(shù)。 由于初始時(shí)刻銷售速度，那么： .(3)當(dāng)時(shí)，根據(jù)(2)式，A=0，則(1)式便為： ，其解為： ， .

9、(4)結(jié)合(3)式和(4)式，在(2)式下，銷售速度廣告模型的解為： 。二、微分方程模型在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用21.自由落體運(yùn)動(dòng)模型9模型：在萬(wàn)有引力的作用下，一質(zhì)點(diǎn)從離地很高的地方從靜止開(kāi)始下落。假設(shè)相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，地球是固定的，且忽略空氣阻力等其它因素對(duì)質(zhì)點(diǎn)的影響，試求質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)距離的依賴關(guān)系；如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)離地心的距離為 ，那么質(zhì)點(diǎn)到達(dá)地面的時(shí)間是多少?解：取地心為原點(diǎn)，X表示質(zhì)點(diǎn)到地心的距離，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F按萬(wàn)有引力定律為： (m、M分別表質(zhì)點(diǎn)、地球的質(zhì)量)它在地面上就等于物體所受的重力，即其中R是地球的平均半徑。 由牛頓第二定律有： ，即 。 . (1）設(shè)，由于(1)式中a為向心加速

10、度，則 ，代入（1）式得一階微分方程： ，變量分離得： ，兩邊同時(shí)積分得： （C為常數(shù)），解得速度與距離的依賴關(guān)系： （為常數(shù)）。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)初始離地心的距離為，而初始時(shí)速度為0，則：，解得： ，則： ，即： ，分離變量得： ，積分有： ， ，由此可得：質(zhì)點(diǎn)到達(dá)地面的時(shí)間為： 。.(2)2.飛機(jī)安全降落模型1模型：飛機(jī)在跑道上下降時(shí)先要滑跑一段時(shí)間，飛機(jī)的尾部會(huì)張開(kāi)一幅降落傘， 目的是為了在機(jī)場(chǎng)跑道長(zhǎng)度不夠時(shí)，用此降落傘裝置作為飛機(jī)的減速器。張開(kāi)的減速傘，利用空氣對(duì)降落傘的阻力來(lái)減少飛機(jī)的滑行距離，從而使飛機(jī)在較短的跑道上也可以安全的著陸而不至于沖出跑道。利用此原理解決下面的問(wèn)題：把阻力系數(shù)為kg

11、h的減速降落傘設(shè)備安裝在質(zhì)量為9（T）的飛機(jī)上。已知該飛機(jī)降落的機(jī)場(chǎng)跑道長(zhǎng)為1500m，該飛機(jī)的著陸速度為700km每小時(shí)，忽略飛機(jī)所受的其它外力。那么在這樣的跑道長(zhǎng)度的情況下飛機(jī)能否安全著陸?解：由已知條件知道飛機(jī)降落到跑道上滑落過(guò)程中只受到降落傘所帶來(lái)的阻力，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有F=ma，這里的F是飛機(jī)滑跑過(guò)程中所受到的合力。設(shè)從飛機(jī)一開(kāi)始接觸跑道時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，且設(shè)飛機(jī)的滑跑距離函數(shù)為X（t)；飛機(jī)的質(zhì)量為m ；飛機(jī)滑跑過(guò)程中的阻力系數(shù)為k，加速度為a ；飛機(jī)的速度函數(shù)為,那么飛機(jī)所受合力，從而我們也可以得到：，由加速度a和速度的關(guān)系我們知道，所以我們有： 。判斷飛機(jī)是否能安全著陸就是要判

12、斷飛機(jī)停下時(shí)的滑行距離是否超過(guò)1500m,所以關(guān)鍵是求出滑行距離X（t)。由滑行距離和速度的關(guān)系有：，而且飛機(jī)剛接觸跑道時(shí)的滑行距離為0，滑行速度為700km/h ,即 ，現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了求以下兩個(gè)微分方程： .（1）， .（2）。（1）式求解得： ，兩邊同時(shí)積分得： （為常數(shù)）， (c為常數(shù)），代入初值條件可得 。下面對(duì)（2）式進(jìn)行求解：則有：，分離變量有： ，積分得： ，代入初值條件：得：，因此 ， 由此可得： 。 . (3)將已知數(shù)據(jù)代入(3)式可得，而1400m<1500m，所以飛機(jī)可以安全著陸。3.子彈穿鋼板模型模型：在子彈穿透一塊鋼板的過(guò)程中，若已知子彈穿透鋼板所用時(shí)間為，而

13、且子彈射入鋼板時(shí)的速度為，子彈穿出鋼板時(shí)的速度為，還已知子彈在鋼板內(nèi)的阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為k（k>0)，求鋼板的厚度。解：由已知可得，若設(shè)子彈的速度為，則子彈在鋼板內(nèi)所受的阻力為，若設(shè)子彈的質(zhì)量為m,加速度為a ,則由牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律得：F=ma。 又由于加速度可以表示為速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以：，從而有： . (1)，滿足初始條件：，解（1）式有： 。積分得： 為常數(shù)）， 解得： ， . (2)(2)式代入初值得：, 所以： 。 . (3)當(dāng)時(shí), 。那么鋼板厚度： 。 . (4) 三、微分方程模型在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用1.血液中酒精含量的模型10模型假設(shè)：（i）討論均以市場(chǎng)上常

14、見(jiàn)的啤酒為例，每瓶500 mL，其他酒類可折合成啤酒，并且酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的，即瞬間喝的；（ii）在任何情況下，個(gè)人體內(nèi)的血液體積不變，人體密度是均勻的，而且酒精進(jìn)入體液的時(shí)候馬上均勻分布，且血液和體液的酒精濃度是一樣的。 解：通過(guò)t時(shí)刻吸收的酒精量和排出的酒精量來(lái)建立變量間的關(guān)系式。體液中的酒精量通過(guò)胃腸吸收而得，但又隨著體液排出體外。() 設(shè)人在很短時(shí)間內(nèi)喝下M (mL)的酒，則可根據(jù)酒的濃度計(jì)算酒精的質(zhì)量，記為m (mg)；設(shè)酒精被吸收到體液中的速率與胃腸道中酒精質(zhì)量成正比，比例常數(shù)為，同時(shí)假設(shè)喝酒后t時(shí)刻腸胃中的酒精質(zhì)量為，由假設(shè)可得初值問(wèn)題： ， . (1)解得 ， （c為常數(shù)）

15、， （為常數(shù)）代入初值 得： 。 . （2）() 在t時(shí)間內(nèi)，吸收到體液中的酒精質(zhì)量約為，因此從0到t時(shí)刻吸收到體液中的酒精質(zhì)量約為。令體液中的酒精濃度在t時(shí)刻為mg100mL，又設(shè)單位時(shí)間內(nèi)體排除體外的體液與人體體液比例為 ，則從0到t時(shí)刻排出體外的酒精質(zhì)量為，而在t 時(shí)刻體液中酒精質(zhì)量為，所以在t時(shí)刻體液中酒精濃度為： ，. (3)(3)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得： ， 令，那么結(jié)合（2）式可得到關(guān)于的微分方程： ， . （4）方程 ，變形得： ，利用積分因子法求解： ， ， ,則有： ，代入初值得： ，所以： 。 . （5） 分析(5)式可知，函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增，且。表明開(kāi)始時(shí)體液內(nèi)

16、的酒精濃度以較快的速度增長(zhǎng)，在 時(shí)濃度達(dá)到最大值，之后濃度又逐漸降低。隨著時(shí)間的無(wú)限推移，體液中酒精的濃度越來(lái)越低，以至于最后完全消失。2.傳染病模型8模型：假設(shè)在t時(shí)刻傳染病人人數(shù)為，每天每個(gè)傳染病人有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)日接觸率）。若被考察傳染性疾病所在地在傳播期內(nèi)總?cè)藬?shù)N不變。解：模型1：將總?cè)藛T分為已感染者和易感染者（即還沒(méi)感染的人），設(shè)t時(shí)刻他們?cè)诳側(cè)藬?shù)中所占的比例分別為和（其中）。那么在t時(shí)刻已感染者人數(shù)為,而每天每個(gè)已感染者可使個(gè)健康者患病，所以每天共有個(gè)健康者被感染而患病，于是我們可以得到病人的變化率方程： ，記初始時(shí)刻，即t=0 時(shí)刻，病人人數(shù)為，那么有： ， .（1）解得

17、： ， .（2）和的圖形如下：由（1）式、（2）式及和的圖形可知：() 當(dāng)時(shí)， 達(dá)到最大值 ，該時(shí)刻為：。這時(shí)病人數(shù)量增加得最快，說(shuō)明傳染高峰的來(lái)臨，需要采取嚴(yán)格的措施加以控制。()當(dāng)時(shí)，這表明，最后所有人都會(huì)變成病人。顯然，這樣的結(jié)果是不符合實(shí)際情況的，所以要考慮病人被治愈或被隔離等情況。 模型2:有些傳染病，即使治愈后也還可以被感染又變成病人。因此在模型1的基礎(chǔ)上再假設(shè)每天被治愈人數(shù)占總病人數(shù)的（治愈率），則為平均傳染周期， 而模型改進(jìn)為： ， . （3）解(3)得 ： 。令，則是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，所以時(shí)： 。 . （4）分析(4)易知，是一個(gè)分界點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，病人比例越

18、來(lái)越小，最終趨于0；當(dāng)時(shí)，的減小或增加取決于的大小，隨的增大而增大。3.胰臟檢查模型11模型：正常胰臟每分鐘吸收染色的40，而常用醫(yī)療檢測(cè)手段，就是利用這個(gè)原理把示蹤染色注射到胰臟里去檢查其功能。一醫(yī)生給某人的胰臟注射了o3克染色，經(jīng)過(guò)30分鐘后該人胰臟中還剩下01克，問(wèn)此人的胰臟是否正常？解：在人胰臟功能正常的情況下，假設(shè)在胰臟中注射染色后t分鐘時(shí)人胰臟中的染色量表示為，那么胰臟每分鐘吸收的染色為，又由初始條件可知，故該模型可表示為：，分離變量得： ，兩邊同時(shí)積分得： 為常數(shù)）， ，代入初值條件，得：。所以： ，那么30分鐘后正常人剩余染色量為：。而由已知條件得知此人經(jīng)過(guò)30分鐘后還剩下0.

19、1克，所以此人胰臟不正常，應(yīng)及時(shí)接受治療。4、 微分方程模型在社會(huì)學(xué)中的應(yīng)用1、腐敗人數(shù)的預(yù)測(cè)模型15模型：由于某個(gè)官員因腐敗而被撤職時(shí)，一般又會(huì)牽連出一批的涉案分子。下面在已牽連出的涉案人數(shù)的基礎(chǔ)之上，通過(guò)建立一個(gè)微分方程模型，預(yù)測(cè)一下總的涉案人數(shù)。 設(shè)時(shí)間為t；涉案總?cè)藬?shù)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為，其中t=0時(shí)牽連的人數(shù)為，為腐敗事件所牽連的人數(shù)的最大值；牽連人數(shù)的增長(zhǎng)率為，為固有增長(zhǎng)率，即 時(shí)的牽連人數(shù)的增長(zhǎng)率；為追查過(guò)程中的阻力系數(shù)；為已被揪出的每個(gè)涉案人員每個(gè)月所供出的平均人數(shù)；為腐敗所牽連的人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占的比例，為t=O時(shí)刻腐敗所牽連的人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占的比例。 解：伴隨已經(jīng)牽連出的涉

20、案人數(shù)的增加，潛在的涉案人數(shù)在逐步減少。涉案總?cè)藬?shù)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為，而牽連人數(shù)的增長(zhǎng)率與有一定的函數(shù)關(guān)系。假設(shè)是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)，其上界為 。 由假設(shè)知，為x 的線性函數(shù)，設(shè)為斜率），則當(dāng) 時(shí)，人數(shù)增長(zhǎng)率為0，因此，故可確定出 ，那么牽連人數(shù)增長(zhǎng)率函數(shù)就可以表示為： 。 在不考慮困難程度和其他因素的影響時(shí)，建立如下的微分方程： , . （1）分離變量得：,可變形為： ,兩邊同時(shí)積分得： 為常數(shù)）,即： , ,代入初始值可得：，所以： ，解得： 。 . （2） 考慮追查過(guò)程中的其阻力時(shí)，建立如下的微分方程： , . （3）解得： 。 . （4）2、確定嫌疑犯模型5模型：一天下午一樁兇案發(fā)生在某

21、小鎮(zhèn)上，警方立即展開(kāi)調(diào)查。經(jīng)過(guò)反復(fù)排查，李某和張某被劃定為兩名犯罪嫌疑人?？墒莾扇硕嫁q解說(shuō)自己沒(méi)有殺人，都詳細(xì)說(shuō)了自己當(dāng)日下午活動(dòng)的具體情況。李某說(shuō)他下午一直在公司上班，4點(diǎn)30分左右接到 后才離開(kāi)。張某說(shuō)他下午一直在辦公室，直到5點(diǎn)下班后才離開(kāi)。經(jīng)警方調(diào)查，二人所說(shuō)都被證實(shí)，都沒(méi)說(shuō)謊。但從他們兩人上班地點(diǎn)到案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)都只需要10分鐘。法醫(yī)在下午6點(diǎn)到達(dá)兇案現(xiàn)場(chǎng)，立即測(cè)得此時(shí)死者的溫度為34度，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后再次測(cè)得尸體的溫度為32度。若室溫為常溫21度，現(xiàn)在分析兩人能否都排除嫌疑。解：若假設(shè)死者的體溫在t時(shí)刻為，那么由牛頓冷卻定律（一個(gè)高溫物體在外界溫度恒定的系統(tǒng)中自然冷卻時(shí)，冷卻的速率與它的溫

22、度和外界的溫度之差成正比）可以把該模型表示為： ，. （1）(1)的微分方程是一個(gè)一階線性非齊次的常微分方程，把它改寫(xiě)為： ， . （2）利用積分因子法求解(2)式： ，即： ，則有： ，所以： 為常數(shù)），解得： ，再由得： 即：c=13。再將，得： ，解得：，所以： 。 . （3）人的正常體溫約為37度，因此假設(shè)死者死亡時(shí)體溫為37度，那么T=37，所以死亡時(shí)間t滿足： ， . （4）解得： 小時(shí)。由此可以推斷出死者的死亡時(shí)間約為下午4:45左右，所以我們可以看出張某沒(méi)有作案時(shí)間，可以排除嫌疑，而李某不能被排除嫌疑。3、人口增長(zhǎng)模型6模型1：假設(shè):(1)總?cè)丝诘脑鲩L(zhǎng)率與當(dāng)時(shí)的人口數(shù)成正比，比

23、例系數(shù)為常數(shù)；(2)t時(shí)刻總?cè)丝跀?shù)量為N(t)，由于N(t)的數(shù)量很大，可視為時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，且在t=O時(shí)刻人口數(shù)量為。解： 時(shí)刻人口數(shù)量減去t時(shí)刻人口數(shù)量即為時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量的增長(zhǎng)量，那么： ，建立模型：， . （1）分離變量可得： ， 兩邊同時(shí)積分得： 為常數(shù)），為常數(shù)），代入初值條件：，得：，所以： 。 這種指數(shù)增長(zhǎng)模型的結(jié)論在地廣人稀的地方比較符合，且這個(gè)模型的結(jié)果與歐洲地區(qū)19世紀(jì)以前的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相吻合，從而說(shuō)明該模型的假設(shè)和模型本身具有一定的合理性。 但是該模型對(duì)于19世紀(jì)以后的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有較大差異，說(shuō)明模型存在一些不足，需要改進(jìn)。因?yàn)榘殡S著人口數(shù)量的增加，環(huán)境因素、自然資

24、源等對(duì)人口數(shù)量的影響作用也隨之加深明顯，所以人口的自然增長(zhǎng)率要改進(jìn)，使之更符合實(shí)際情況。模型2：在模型1的基礎(chǔ)之上，重新假設(shè):(1)人口的自然增長(zhǎng)率為關(guān)于總?cè)丝跀?shù)的函數(shù)，這里假設(shè)；(2)令自然資源和環(huán)境條件下所能容納的最大人口數(shù)量為 ，所以 ，從而得到,所以： ，從而模型轉(zhuǎn)化為： ， . （2）解得： 。此模型結(jié)果同19世紀(jì)到本世紀(jì)30年代為止的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)好，說(shuō)該模型比較符合實(shí)際。五、微分方程模型在其他方面的應(yīng)用1.通風(fēng)排二氧化碳模型4模型：經(jīng)測(cè)定某地下室內(nèi)空氣中含有0.2%的，該地下室容積為，現(xiàn)啟動(dòng)通風(fēng)設(shè)備，排出室內(nèi)空氣的同時(shí)以的速度輸入新鮮空氣，且已知新鮮空氣中含0.05%

25、的 ，問(wèn)三十分鐘后該地下室內(nèi)所含的百分比。解：假設(shè)地下室內(nèi)所含的百分比在t時(shí)刻為 ，則其的含量經(jīng)過(guò)時(shí)間后變?yōu)椋?，即： , 。分離變量得： ,且初始條件為：。兩邊同時(shí)積分得：,解得： 。 當(dāng)t=30分鐘，即1800秒，代入上式得： ，所以通風(fēng)30分鐘后，地下室內(nèi)的含量約為0.05%，也就是說(shuō)地下室內(nèi)基本上已經(jīng)都是新鮮空氣了。2、國(guó)民收入與債務(wù)模型12模型：在某段已知的時(shí)間內(nèi)，某地區(qū)的國(guó)民收入增長(zhǎng)率為，已知國(guó)民債務(wù)的增長(zhǎng)率為國(guó)民收入的 ，還已知t=0時(shí)刻，國(guó)民債務(wù)為0.1（億元），國(guó)民收入為5（億元），試分析國(guó)民債務(wù)和國(guó)民收入與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)國(guó)民收入為，那么我們可以得到： ，解得： 為

26、常數(shù)）。代入初值條件，得c=5，所以： 。 假設(shè)國(guó)民債務(wù)為，那么我們可以得到： ， ，解得： 。代入初值條件，得到：。所以國(guó)民債務(wù)的函數(shù)為：。3.體重變化模型7模型：某位女士每天攝入2500卡路里的食物，1200卡路里用于基本的新陳代謝，而且她在日常鍛煉中每公斤體重消耗16卡路里，剩余的熱量轉(zhuǎn)化為這位女士身體的脂肪（設(shè)10000卡可轉(zhuǎn)化為1kg脂肪）。星期四那天她飽餐了一頓，共攝入了3500卡的食物，星期天上午，這位女士的體重是57.1526kg。現(xiàn)在我們要建立一個(gè)預(yù)測(cè)體重隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型，并用它來(lái)預(yù)測(cè)估計(jì)：（a） 這位女士在星期六的體重；（b） 為了能不增重，她每天最多能攝入多少卡路里的

27、食物；（c） 在不進(jìn)食的情況下，她的體重在N周后會(huì)是多少；（d） 她每日的飲食應(yīng)如何安排才可以使她的體重在N周后減為50.80kg解：假設(shè)表示t天時(shí)該女士的體重（單位kg），并且忽略呼吸所消耗的卡路里。令該女士每日純攝入卡路里數(shù)量為，所以他每日凈攝入卡路里的數(shù)量為：，那么每日她的脂肪的增加量便為：。 （i) 當(dāng)0<t<3時(shí)，=1300，該女士體重的變化為： ， ，積分得： ，解得： ， . （1）代入 ，得： 。將和t=3代入（1），得到：。 （ii)當(dāng)3<t<4時(shí)，（星期四），由1300變?yōu)?300，可求得： ， . (2)將和t=3為初值代入（2）式，得 ，從而可求

28、出 。 （iii)當(dāng)后，食物攝入量又恢復(fù)正常，即=1300，此時(shí)， ， . (3)將和 t=4 代入(3)式，可得：=23.9968。 綜合（i)、(ii)、(iii)可得： 。因此：（a） 將t = 6代入 ，可得：；（b） 體重不增加也就是，則可得：卡路里，所以最多攝入1200+914=2114卡路里；（c）該女士每天都沒(méi)有能量攝入，那么 ，解得：所以N周后該女士的體重為： ；（d)為純攝入量，那么。又因?yàn)?，所以，那么該女士想在N周后將體重減為50.80kg，就有： ，把和的表達(dá)式代入： 。所以把具體的N代入上式就可以得到每日最高可攝入的卡路里量?？偨Y(jié)與體會(huì)2011年10月，我開(kāi)始了我的畢

29、業(yè)論文工作，時(shí)至今日，論文基本完成。從最初的茫然，到慢慢的進(jìn)入狀態(tài)，再到對(duì)思路逐漸的清晰，整個(gè)寫(xiě)作過(guò)程難以用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。歷經(jīng)了幾個(gè)月的奮戰(zhàn)，緊張而又充實(shí)的畢業(yè)論文終于落下了帷幕。回想這段日子的經(jīng)歷和感受，我感慨萬(wàn)千，在這次畢業(yè)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，我擁有了無(wú)數(shù)難忘的回憶和收獲。 在與導(dǎo)師的交流討論中我的題目定了下來(lái)，是：微分方程模型在實(shí)際中的應(yīng)用淺析。我當(dāng)時(shí)便立刻著手資料的收集工作中，當(dāng)時(shí)面對(duì)浩瀚的書(shū)海真是有些茫然，不知如何下手。我將這一困難告訴了導(dǎo)師，在導(dǎo)師細(xì)心的指導(dǎo)下，終于使我對(duì)自己現(xiàn)在的工作方向和方法有了掌握。 我首先把大二學(xué)習(xí)的常微分方程的書(shū)和以前上課的筆記本找出來(lái)復(fù)習(xí)了一遍，再次了解微分方程

30、。然后我便開(kāi)始收集微分方程在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，我在學(xué)校圖書(shū)館查閱各類圖書(shū)，還在網(wǎng)上查找各類相關(guān)資料，將這些寶貴的資料全部記錄下來(lái)，盡量使我的資料完整、精確、數(shù)量多，這有利于論文的撰寫(xiě)。然后我將收集到的資料仔細(xì)整理分類，及時(shí)拿給導(dǎo)師進(jìn)行溝通。2012年4月底，論文的定稿已基本完成。在這幾個(gè)月中，我的論文導(dǎo)師夏安銀老師細(xì)心指導(dǎo)，耐心講解，再加上自己對(duì)相關(guān)資料文獻(xiàn)的查閱，了解到微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用是非常廣泛的，為各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。所以，我就以微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、醫(yī)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及其他方面的應(yīng)用為例簡(jiǎn)單說(shuō)明微分方程模型在實(shí)際中的應(yīng)用。我不會(huì)忘記這難忘的幾個(gè)月的時(shí)間。畢業(yè)論文的制作給了我難忘的回憶。在我徜徉書(shū)海查找資料的日子里，面對(duì)無(wú)數(shù)書(shū)本的羅列，最難忘的是每次找到資料時(shí)的激動(dòng)和興奮；為了論文我曾趕稿到深夜，但看著親手打出的一字一句，心里滿滿的只有喜悅毫無(wú)疲憊。在今后的日子里，我仍然要不斷地充實(shí)自己，爭(zhēng)取在所學(xué)領(lǐng)域有所作為。腳踏實(shí)地，認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)事求是的學(xué)習(xí)態(tài)度，不怕困難、堅(jiān)持不懈、吃苦耐勞的精神是我在這次設(shè)計(jì)中最大的收益。我想這是一次意志的磨練，是對(duì)我實(shí)際能力的一次提升，也會(huì)對(duì)我未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作有很大的幫助。   致謝詞畢業(yè)論文暫告收尾，這也意味著我在西華大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活既將結(jié)束?；厥准韧?，自己一生最寶貴的時(shí)光能于