第十二章期權(quán)定價的數(shù)值方法

1、Financial Engineering 授課人：王正文 講 師 武漢大學經(jīng)濟與管理學院 郵箱： 在第十一章中，我們得到了期權(quán)價值所滿足的偏微分方程，并解出了特定條件下的期權(quán)解析定價公式。但在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價值的解析解，這時人們經(jīng)常采用數(shù)值方法（Numerical Procedures）為期權(quán)定價，主要包括二叉樹方法（Binomial Trees）、蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）和有限差分法（不講）。在這一章里，我們將介紹如何借助上述兩種數(shù)值方法來為期權(quán)定價。一、二叉樹模型的基本方法一、二叉樹模型的基本方法 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 ，

2、并假設在每一個時間間隔 內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達tt2、下降到原先的 倍，即 相應地，期權(quán)價值也會有所不同， 和 。SuSudSdufdf1,1ud二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二叉樹模型的思想實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動 相同期限下步長越小精確度越高二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 33033 33,3212123 13,23033 333,0|jijijjijijjijijSuSu dSu dSu

3、 dSuSu uSu dSu dSu dSdSu dSudSu d三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 在風險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppSuSetr)1 ( 三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 假設證券價格遵循幾何布朗運動，則：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再設定： （第三個條件的設定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1ud三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 由以上三式可得，當 很

4、小時：tdudeptrteuted三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 得到每個結(jié)點的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。 如果是歐式期權(quán)，可通過將 時刻的期權(quán)價值的預期值在 時間長度內(nèi)以無風險利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點上的期權(quán)價值；Ttr三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點的期權(quán)價值。t四、二叉樹方法的一般定價方法四、二叉樹方法的一般定價方法 假設把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為 的小區(qū)間，同時用 表示結(jié)點 處的

5、證券價格可得： ，其中若期權(quán)不被提前執(zhí)行， 后，則： 所以 實際上表示在時間 時第j個結(jié)點處的美式看跌期權(quán)的價值tjijdSu),(jimax(,0)jN jN jfX Su d，0,1,jN t1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)ji jr tijijijfX Su depfp f 五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價 當標的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為 的紅利時，在風險中性條件下，證券價格的增長率應該為， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted一、一、p=0.5p=0.5的二叉樹圖的

6、二叉樹圖 在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設 ，而令 ，可得：該方法優(yōu)點在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 udp1ud0.5p 222r qttu e 222r qttd e t二、三叉樹圖二、三叉樹圖 每一個時間間隔 內(nèi)證券價格有三種運動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd二、三叉樹圖二、三叉樹圖 二、三叉樹圖二、三叉樹圖 三、控制方差技術(shù)三、控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設： , 代表期權(quán)B的真實價值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)

7、估計值， 和 表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計值為： BBffAAffBfAfBBffAAffBfAf四、適應性網(wǎng)狀模型四、適應性網(wǎng)狀模型 在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，當資產(chǎn)價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長 進一步細分，如分為 ，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程 t4t Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價值實際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風險中性世界中標的資產(chǎn)價格的多種運動路徑，計算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價值。 在風險中性世界中， 為了模擬路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個長度為時間段，則上式的近似方程為 dSr q SdtSdz 2lnln2S ttS tr qtt 2exp2S ttS tr qtt （是從標準正態(tài)分布中抽取的一個隨機樣本） 隨機樣本的產(chǎn)生和模擬運算次數(shù)的確定：1. 的產(chǎn)生 是服從標準正態(tài)分布的一個隨機