分解因式知識點總結及例題

1、222+b c =3a b c特別地：(1)當abc時，有a +=0分解因式知識點總結及例題第二章 分解因式一.分解因式1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式. 2.因式分解與整式乘法是互逆關系。因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系: (1)整式乘法是把 幾個整式相乘,化為一個多項式; (2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.二.提公共因式法1.如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多 項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab +ac =a (b +c )2.概念內涵:(1)因式分解的最后結果應當是

2、“積”;(2)公因式可能是單項式,也可 能是多項式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即: ma +mb -mc =m (a +b -c ) 3.易錯點點評:(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”; (3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.三.運用公式法1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方 法叫做運用公式法. 2.主要公式: (1)平方差公式: a2-b 2=(a +b )(a -b )2(2)完全平方公式: a補充：歐拉公式：+2ab +b 2=(a +b ) 2 a 2-2ab +b 2

3、=(a -b ) 2a +b +c -3a b c =(a +b +c ) (a +b +c -a b -b c -c a ) (a +b +c ) (a -b )+(b -c ) +(c -a ) 333222122(2)當c =0時，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。3.因式分解要分解到底.如x 4.運用公式法:(1)平方差公式:應是二項式或視作二項式的多項式;二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多4333-y 4=(x 2+y 2)(x 2-y 2)就沒有分解到底.項式)的平方;二項是異號.(2)完全平方公式:應是三項式;其中兩項同號,且各為一整式的平方;還有一 項可正負,且它是前兩項冪

4、的底數(shù)乘積的2倍. 5.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用 分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解; (5)因式分解的 結果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內不能再分解為止.四.分組分解法:1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.如: am +an +bm +bn =a (m +n ) +b (m +n ) =(a +b )(m +n )2.概念內涵:分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并

5、且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式. 3.注意:分組時要注意符號 的變化.五.十字相乘法: 1.對于二次三項式ax2+bx +c ,將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積, a =a 1 ?a 2 , c =c 1 ?c 2,且滿a c 1c 2足b =a 1c 2如: ax+a 2c 1,往往寫成2m +2的形式,將二次三項式進行分解.+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)22.二次三項式x +px +q的分解:q =ab 112p =a +bbx 2+px +q =(x +a )(x +b )分解因式時,如果常數(shù)項q是正數(shù),那么把它分解成3.規(guī)律內涵:(1)理

6、解:把x +px +q兩個同號因數(shù),它們的符號與一次項系數(shù)p的符號相同.(2)如果常數(shù)項q是負數(shù),那么把它分解成兩個異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)與 一次項系數(shù)p的符號相同,對于分解的兩個因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項系數(shù)p.4.易錯點點評:(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯;(2)分解的結果與原式不等,這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確.提公因式法1.把下列各式因式分解(1)- a x +a b x -a c x a x322m +1m m +3(2)a (a -+b ) 2a (b -a ) 2a b (b -a ) 2.利用提公因式法簡化計算過程例：計算123?1*7

7、+268 ? +456? +521?*83.在多項式恒等變形中的應用? 2x +y =3例：不解方程組?，求代數(shù)式(的值。2x +y ) (2x -3yx ) +3(2x +y )5x -3y =-2 ?4.在代數(shù)證明題中的應用例：證明：對于任意自然數(shù)n，3-一定是10的倍數(shù)。2+-325、中考點撥：例1。因式分解3 x (x -2) (2x )例2分解因式：4q (1-題型展示：例1.計算：2 000? 20012001-2001 ? 20002000例2.已知：x求b、c的值。 例3.設x為整數(shù)，試判斷1是質數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。0+5x +x (x +2)戰(zhàn)模擬】1.分解因式：2424

8、2(b、c為整數(shù))是x +及3x +4x +28x +5的公因 式，+b x +c 6x +25n +2n +2nnp ) 3+2(p -1) 24m n +12m n -2m n1)-x +a b x -a c x a d x2）a（n為正整數(shù)）22(3)a (a -+b ) 2a (b -a ) 2a b (b -a ) 2.計算：(-2) A. 21002n +2n +1nn -1233232221110的結果是( )+-(2)B. -210C. -2D. -13.已知x、y都是正整數(shù)，且x，求x、y。(x -y ) -y (y -x ) =124. 81-27-9能被45整除。5.化簡

9、：1時，求原式的值。+x +xx (1+) +xx (1+) +,xx (1+)，且當法 【分類解析】1.把a分解因式的結果是( )+2ab -2b A. ( ab -) (a +2) (b +2) C. ( a - ba ) (+b ) +2B. ( ab -) (ab +2) D. ( a -2bb ) (-2a )27證明：x =0公式33913219952.在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應用 例：已知 多項式2有一個因式是2，求m的值。x -x +m x +13.在幾何題中的應用。 例：已知a、b、c是的形狀。?A B C 4.在代數(shù)證明題中應用例：兩個連續(xù)

10、奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。5、中考點撥： 例1：因式分解：x3222，試判斷+b +c -a b -b c -a c =0?A B C的三條邊，且滿足a 32-4x y 2=_。3223例2：分解因式：2_。x y +8x y +8x y =題型展示：例1.已知：a，m +1b m +2c m +3121212+2b +ba -2c +c -2b c求aa的值。例2.已知a，+b +c =0，a +=b c 0222b +c =0求證：a +例3.若x，求x +=y 27，x -+x yy =933222555+y 2的值。1.分解因式：(1)(a +2)2-(3a -1) 2(2)xx 5

11、(-2y ) +x 2(2y -x )(3)a 2(x -y ) 2+2a (x -y ) 3+(x -y ) 42.已知：x +1=-3，求x 41x +x4的值。3.若a，b，c是三角形的三條邊，求證：-b 2實戰(zhàn)模擬】2x -1 2.在幾何學中的應用2b c3 2+3+仁0，求3 2001的值。5.已知a,b,c是不全相等的實數(shù)，且a b c工0,3a b c，試求(1)a +b +c的值；(2)1b 1c ) +1c 1a ) +11 a b)的值。 分組分解法 【分類解析】1.在數(shù)學計算、化簡、證明題中的應用例1.把多項式2a (a 2+a +1) a 4+a 2+1分解因式，所得的

12、結果為( )A . (a 2+-a 1)2B . (a 2-+a 1)2C . (a 2+a 1)2D . (a 2-a 1)2例2.分解因式xx 5-+-+4xx 3a 3+=b 3c 3例：已知三條線段長分別為a、b、c，且滿足aba ，2+c 2 +2a c證明：以a、b、c為三邊能構成三角形3.在方程中的應用 例：求方程x -y =x y的整數(shù)解4、中考點撥例1.分解因式：1-mn 2-2+2m n =_。 例2分解因式：x 2-y 2-x +y =_例3.分解因式：x 3+3x 2-4x -12=_5、題型展示：例1.分解因式：m 2（n 2-+1） 4m nn -2+1例2.已知：

13、ab 2+2=1，cd 2+2=1，且a c +b d =0，求ab+cd的值。例3.分解因式：x + 2x -3【實戰(zhàn)模擬】1.填空題：22（1）分解因式：a -3a -b +3b =3（2）分解因式：x -2x -4x y +4y +4y =33(3)分解因式：1-m n (1-m n ) -m n =222.已知：a +b +c =0，求a +a c -abc +b c +b的值。3.分解因式：a322322+a +13334.已知：x，-y -zA =0，是一個關于x , y , z的一次多項式，且x -y -z =(x - y ) (x -z ) A試求A的表達式。222a +b -

14、2a b ) (a +b -2) +(1-a b )(=a -1) (b -1) 5.證明：(十字相乘法 【分類解析】1.在方程、不等式中的應用例1.已知：x -，求x的取值范圍。11x +240例2.如果x能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個-x +mx -2m x -2多項式分解因式。2.在幾何學中的應用例.已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足22，求長方形的面積。xyx -+2x yy -+20=43222223、在代數(shù)證明題中的應用例.證明：若4x -y是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則8x 4、中考點撥 例1.把4x例2.4是49的倍數(shù)。+10 x y -3yy 2-5x 2y 2-9y 2分解因式的結果是 _ 。x -7x -=5_因式分解：65、題型展示 例1.若x A. 12222-y 2+mx +5y -6能分解為兩個一次因式的積，則m的值為( )B. -1C.1D. 2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 求證：ab -=-bc例3.若x +有一因式x +。求a，并將原式因式分解。5x +7x +a 1 1.分解因式：(1)a(2)15x +7x y b +16a b +39(3)222nn n +12n +2-4y2。ac -=4ba -cb -(