公交車(chē)調(diào)度問(wèn)題

1、 關(guān)于公交車(chē)的調(diào)度問(wèn)題摘 要：本文主要是研究公交車(chē)調(diào)度的最優(yōu)策略問(wèn)題。我們建立了一個(gè)以公交車(chē)的利益為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，同時(shí)保證等車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘或者超過(guò)5分鐘的乘客人數(shù)在總的等車(chē)乘客數(shù)所占的比重小于一個(gè)事先給定的較小值。首先，利用最小二乘法擬合出各站上下車(chē)人數(shù)的非參數(shù)分布函數(shù)，求解時(shí)先用一種簡(jiǎn)單方法估算出最小配車(chē)數(shù)43 輛。然后依此為參照值，利用Maple優(yōu)化工具得到一個(gè)整體最優(yōu)解：最小配車(chē)數(shù)為 48 輛，并給出了在公交車(chē)載客量不同條件下的最優(yōu)車(chē)輛調(diào)度方案，使得公司的收益得到最大，并且乘客等車(chē)的時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，最后對(duì)整個(gè)模型進(jìn)行了推廣和評(píng)價(jià)，指出了有效改良方向。關(guān)鍵詞：公交車(chē)調(diào)度；優(yōu)化模型；

2、最小二乘法問(wèn)題的重述：公共交通是城市交通的重要組成局部，作好公交車(chē)的調(diào)度對(duì)于完善城市交通環(huán)境、改良市民出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益，都具有重要意義。下面考慮一條公交線路上公交車(chē)的調(diào)度問(wèn)題，其數(shù)據(jù)來(lái)自我國(guó)一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運(yùn)營(yíng)資料。該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4頁(yè)給出的是典型的一個(gè)工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車(chē)的乘客數(shù)量統(tǒng)計(jì)。公交公司配給該線路同一型號(hào)的大客車(chē)，每輛標(biāo)準(zhǔn)載客100 人，據(jù)統(tǒng)計(jì)客車(chē)在該線路上運(yùn)行的平均速度為20公里/小時(shí)。運(yùn)營(yíng)調(diào)度要求，乘客候車(chē)時(shí)間一般不要超過(guò)10分鐘，早頂峰時(shí)一般不要超過(guò)5分鐘，車(chē)輛滿(mǎn)載率不應(yīng)超過(guò) 120%，一般

3、也不要低于50%。試根據(jù)這些資料和要求，為該線路設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的全天工作日的公交車(chē)調(diào)度方案，包括兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車(chē)時(shí)刻表；一共需要多少輛車(chē)；這個(gè)方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益；等等。如何將這個(gè)調(diào)度問(wèn)題抽象成一個(gè)明確、完整的數(shù)學(xué)模型，指出求解模型的方法；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，如果要設(shè)計(jì)更好的調(diào)度方案，應(yīng)如何采集運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)。 根本假設(shè)1 該公交路線不存在堵塞現(xiàn)象，且公共汽車(chē)之間依次行進(jìn)，不存在超車(chē)現(xiàn)象。2 公共汽車(chē)滿(mǎn)載后，乘客不能再上，只得等待下一輛車(chē)的到來(lái)。3 上行、下行方向的頭班車(chē)同時(shí)從起始站出發(fā)。4 該公交路線上行方向共 14站，下行方向共 13站。5 公交車(chē)均為同一型號(hào)，每輛

4、標(biāo)準(zhǔn)載客 100名，車(chē)輛滿(mǎn)載率不應(yīng)超過(guò) 120%，一般也不要低于 50%。6 客車(chē)在該路線上運(yùn)行的平均速度為 20公里/小時(shí)，不考慮乘客上下車(chē)時(shí)間。7 乘客侯車(chē)時(shí)間一般不超過(guò) 10分鐘，早頂峰時(shí)一般不超過(guò) 5分鐘。8 一開(kāi)始從A出發(fā)的車(chē)輛，與一開(kāi)始從 A出發(fā)的車(chē)輛不發(fā)生交替，兩循環(huán)獨(dú)立。9) 題目所給的數(shù)據(jù)具有一定的代表性,可以做為各種計(jì)算的依據(jù)。 符號(hào)說(shuō)明N：從總站A 始發(fā)出的公交車(chē)的總次數(shù)上行方向N：從總站A 始發(fā)出的公交車(chē)的總次數(shù)下行方向T：上行方向早頂峰發(fā)車(chē)間隔時(shí)間T：上行方向平時(shí)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間T：上行方向晚頂峰發(fā)車(chē)間隔時(shí)間T：下行方向早頂峰發(fā)車(chē)間隔時(shí)間T：下行方向平時(shí)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間T：下

5、行方向晚頂峰發(fā)車(chē)間隔時(shí)間Ti，j：第i 輛車(chē)到達(dá)第j 站的時(shí)刻N(yùn)i ，j：在 j站離開(kāi)第 i輛車(chē)的乘客數(shù)Ni ，j：在 j站上第i 輛車(chē)的乘客數(shù)D j，j-1 ：第j 站與第j-1 站間距fj ：上行方向第j 站的上車(chē)乘客的密度函數(shù)g j：上行方向第 j站的下車(chē)乘客的密度函數(shù)f j：下行方向第 j站的上車(chē)乘客的密度函數(shù)g j：下行方向第j 站的下車(chē)乘客的密度函數(shù)G：一天內(nèi)公交公司的總收入A：公交車(chē)出車(chē)一次的支出，為定值B：公交公司每天的固定支出，為定值：i=1,2,3,為一小概率事件的概率Nt ：某車(chē)站全天的上下車(chē)乘客數(shù)q：第t 時(shí)間段此站的上下車(chē)人數(shù)Qi ，j：第i 輛車(chē)到達(dá)第 j站時(shí)的車(chē)上

6、人數(shù)建模前的準(zhǔn)備：1 對(duì)問(wèn)題的初步分析我們考慮三組相關(guān)的因素：公共汽車(chē)，汽車(chē)站與乘客對(duì)模型的影響。 與公共汽車(chē)有關(guān)的因素：離開(kāi)公共汽車(chē)總站的時(shí)間，到達(dá)每一站的時(shí)間，在每一站下車(chē)的乘客數(shù)，在每一站的停留時(shí)間，載客總數(shù)，行進(jìn)速度等。 與車(chē)站有關(guān)的因素：線路上汽車(chē)的位置，車(chē)站間距，乘客到來(lái)的函數(shù)表示，等車(chē)的乘客數(shù)，上一輛車(chē)離開(kāi)車(chē)站過(guò)去的時(shí)間等。 與乘客有關(guān)的因素：到達(dá)某一車(chē)站的時(shí)間，乘車(chē)距離站數(shù)，侯車(chē)時(shí)間等。2 曲線的擬合分析樣本數(shù)據(jù)，可知對(duì)于某車(chē)站全天的上下車(chē)乘客數(shù) Nt 是時(shí)間t 的遞增函數(shù)，Nt =Nt-1+ q，其中q 為第t 時(shí)間內(nèi)此站的上下車(chē)人數(shù)，我們可以由此來(lái)擬合其分布函數(shù)。由樣本數(shù)據(jù)

7、知每一車(chē)站每天有兩次波峰，故根據(jù)最小二乘法將分布函數(shù)擬合為關(guān)于t的五次多項(xiàng)式。分析與建模分析樣本數(shù)據(jù)，在上行方向 22：00 23：00 和下行方向5 ：00 6：00 的上、下車(chē)人數(shù)較其它時(shí)段偏小，為使模型更好地表達(dá)普遍性，我們單獨(dú)討論上面的兩個(gè)時(shí)段。易知各站只需一輛車(chē)就可以滿(mǎn)足需求。由題設(shè)要求可知，所求方案須兼顧乘客和公交公司的利益，但實(shí)際上，不可能同時(shí)使雙方都到達(dá)最優(yōu)值。因此我們將公司利益作為目標(biāo)函數(shù)，將乘客利益作為約束條件。公司利益Z=G-( N+N)*A-B其中G為總收入，因樣本數(shù)據(jù)為典型工作日，因而可以看作定值，( N+N)*A+B 為支出。 N=+ N=+乘客的利益在此處即為侯車(chē)

8、時(shí)間，由于乘客侯車(chē)時(shí)間帶有隨機(jī)性，不可能總小于或大于某個(gè)定值，因而可用概率來(lái)描述乘客的利益，得如下模型： I：maxZ= G-( N+N)*A-B s.t. P等待時(shí)間t>10分鐘的人< P Qi ，j+ Ni ，j Ni ，j>120<P Qi ，j+ Ni ，j Ni ，j<50<或 P等待時(shí)間t>5分鐘的人< P Qi ，j+ Ni ，j Ni ，j>120<P Qi ，j+ Ni ，j Ni ，j<50<模型的簡(jiǎn)化與求解：對(duì)于原模型，由于約束條件難以表示為明確的函數(shù)表達(dá)式，給實(shí)際求解過(guò)程中帶來(lái)相當(dāng)大的困難，因而對(duì)其

9、簡(jiǎn)化。1 發(fā)生間距時(shí)間的求解分析原目標(biāo)值 Z，易知maxZ ómaxT其中T 為發(fā)車(chē)間距時(shí)間，它因不同的時(shí)間段而不同。下面我們就以每小時(shí)為一時(shí)間段來(lái)求解，且假設(shè)乘客上下車(chē)瞬間完成，即不考慮上下車(chē)時(shí)間。應(yīng)題設(shè)要求，乘客侯車(chē)時(shí)間一般不超過(guò) 10分鐘，早頂峰時(shí)一般不超過(guò)5 分鐘。我們引進(jìn)概率參數(shù)，用以控制侯車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘或5分鐘的人數(shù)在總侯車(chē)人數(shù)的比重。對(duì)于滿(mǎn)載率不低于50% ，由于目標(biāo)值為maxZ ，那么可以忽略不考慮，可得如下模型：: maxT=ts.t. Q(i,j)+ -120或Q(i,j)+ -120t>0, i=1,2分析樣本數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)： 對(duì)于上行車(chē)道，A，A，A，

10、A，A的上車(chē)人數(shù)>下車(chē)人數(shù)，對(duì)于其余站點(diǎn)那么相反； 對(duì)于下行車(chē)道，A，A，A，A的上車(chē)人數(shù)>下車(chē)人數(shù)，而其余站點(diǎn)那么相反；因而對(duì)于約束條件，只需取前5個(gè)或4個(gè)，對(duì)于模型，我們可以根據(jù)擬合分布函數(shù)F，G將約束條件轉(zhuǎn)化為T(mén)的函數(shù)，利用Matlab軟件容易求解。分析所得結(jié)果，易知在頂峰時(shí)間段中，結(jié)果T有較大誤差，是由于擬合函數(shù)的誤差而引起的。為了減小誤差，可以分段擬合分布函數(shù)F，G 。為計(jì)算方便，可以認(rèn)為在每小時(shí)內(nèi)，每站的到達(dá)人數(shù)與時(shí)間成正比，每站的下車(chē)人數(shù)亦與時(shí)間成正比，即Ft=k*t ，Gt=p*t, k, p為斜率，令=5% ，于是將模型簡(jiǎn)化為：maxT=ts.t. 19t-200

11、0(或19t-1000) k*t-1200 k*t+ k*t - p*t- 1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t -1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t +k*t - p*t -1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t +k*t - p*t+ k*t - p*t -1200 t>0 平時(shí)及晚頂峰取19t-2000，早頂峰取19t-1000當(dāng)上行時(shí)，取所有約束條件，下行時(shí)取前5個(gè)約束條件。模型為線性規(guī)劃，利用Matlab求解，結(jié)果如下：發(fā)車(chē)間距時(shí)間表單位皆為分鐘時(shí)段56677889910101111121213131

12、4上行10.522.451.4342.8485.49626.03525.31375.64796.9231下行/6.9292.6162.23393.9516.58747.30228.67478.08時(shí)段141515161617171818191920202121222223上行8.17258.26643.37552.59748.026810.52610.52610.526/下行7.0795.533.27871.99342.97896.59959.2199.302310.5263對(duì)模型、進(jìn)行誤差分析在上文中，我們已提及到模型的誤差，究其原因主要是由于擬合函數(shù)的誤差引起的。如上行方向A站7：008：

13、00 ，發(fā)車(chē)間距T=5.26分，顯然此時(shí)的T無(wú)法使3626名乘客正常運(yùn)行，而此時(shí)由擬合函數(shù)算出來(lái)的乘客總數(shù)為2023。誤差=3626-2023=1603(人。為使誤差減小，因而可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行分段擬合。如模型中，以每小時(shí)為一段。此時(shí)求解的結(jié)果，能很好的使樣本數(shù)據(jù)的乘客正常運(yùn)行。當(dāng)然此時(shí)的解亦有誤差 ，因而T可有一波動(dòng)范圍。在此解的情況下，容易知道客車(chē)滿(mǎn)載率120%約束條件。乘客等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的概率5%?？蛰d情形，大局部只有在最后一站方出現(xiàn)空載情形滿(mǎn)載率50% 。2 對(duì)無(wú)滯留乘客條件下的最小配車(chē)數(shù)初步求解我們對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的處理，估算出每一段上、下行所需的最小配車(chē)數(shù)，從而得出一天內(nèi)所需配備的最小車(chē)輛

14、數(shù)。為最小配車(chē)數(shù)的求解找到一個(gè)參照值。我們首先考慮以一小時(shí)為時(shí)間間距來(lái)考查一天的最小配車(chē)數(shù)即設(shè)公交車(chē)在各車(chē)站所停的時(shí)間為一定值。分析數(shù)據(jù)可知滿(mǎn)足各站均無(wú)滯留乘客，各發(fā)車(chē)時(shí)刻均有車(chē)可發(fā)的最小配車(chē)數(shù)應(yīng)為65輛車(chē)。這只是一個(gè)初步解，為得到進(jìn)一步的精確解，我們考慮以44分為一時(shí)間間距，通過(guò)擬合的分布函數(shù)得到各車(chē)滿(mǎn)載時(shí)各時(shí)段的所需最小配車(chē)數(shù)。滿(mǎn)足各站無(wú)滯留乘客，各發(fā)車(chē)時(shí)刻均有車(chē)可發(fā)的最小配車(chē)數(shù)為43輛。3 公交公司調(diào)度方案模型的建立與求解 我們制訂調(diào)度方案，應(yīng)使公交公司和乘客雙方的利益到達(dá)均衡。一方面公交公司希望配置盡可能少的汽車(chē)以降低固定本錢(qián)，又要在保證接送全部乘客的前提下盡可能減小出車(chē)次數(shù)，以降低可

15、變本錢(qián)；另一方面，應(yīng)實(shí)現(xiàn)乘客滿(mǎn)意，即規(guī)定發(fā)車(chē)時(shí)段必定有車(chē)可乘，盡可能縮短等車(chē)時(shí)間。)制訂調(diào)度方案時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有下難點(diǎn)：A一方車(chē)站到了發(fā)車(chē)時(shí)間但沒(méi)有車(chē)可發(fā)，另一方面卻有囤積。此問(wèn)題有兩種解法：一是購(gòu)置新車(chē)，二是調(diào)節(jié)班次。前者使本錢(qián)變高，后者引起連鎖反響，使整個(gè)計(jì)算量變大且有可能求不出最優(yōu)解。B 假設(shè)迫不得已要改變總車(chē)配置數(shù)，必須調(diào)動(dòng)各個(gè)時(shí)間間隔使車(chē)優(yōu)化配置，全局最優(yōu)化。這是一個(gè)最優(yōu)問(wèn)題。C 總配置數(shù)一定，調(diào)節(jié)總車(chē)班次使總車(chē)次數(shù)增加越少，總車(chē)班次數(shù)越小，那么求得的解越優(yōu)。這又是一個(gè)極值優(yōu)化問(wèn)題。為解決以上難點(diǎn)，我們建立了一個(gè)線性規(guī)劃模型，用Maple優(yōu)化軟件求解。設(shè)某j時(shí)間段發(fā)車(chē)數(shù)為X，車(chē)站內(nèi)車(chē)輛

16、總數(shù)為C。i= m為總配置數(shù)， z為總班次min z=s.t. C+C=m X=C- X0 X=C- X0 X= C+-0 X= C+-0=1 60分120人調(diào)度方案模型假設(shè)考慮到各站點(diǎn)乘客上下車(chē)時(shí)間相等，總行程總需耗時(shí)60分，每輛車(chē)都載120人。在初步解的模型中，配置最小車(chē)輛為60，用Maple軟件包開(kāi)始搜索優(yōu)化選擇，j=2，318。搜索出整體最優(yōu)解為：C=62，C=4，m=66，z=476。244分 120人調(diào)度方案模型考慮乘客上下車(chē)瞬間完成，公交車(chē)駛完全程需44分。每輛車(chē)均載120人，此模型中步長(zhǎng)為44分鐘，所考慮時(shí)段的乘客數(shù)均由擬合函數(shù)給出，初始值為43輛，由Maple軟件包優(yōu)化選擇，

17、得到：C=42，C=6，m=48，z=590。模型的推廣與改良在設(shè)計(jì)公交車(chē)調(diào)度方案時(shí)，并未充分考慮乘客利益，在進(jìn)行改良時(shí)，可以試著想其它方法找到一些更好的規(guī)那么來(lái)進(jìn)行比照與評(píng)價(jià)，從而得到更加優(yōu)化的方案，使雙方利益到達(dá)充分均衡，這是模型改良的方向。另外，模型求得的數(shù)據(jù)相對(duì)精確度較高，在現(xiàn)實(shí)生活中不太實(shí)用。問(wèn)題的關(guān)鍵是所給的數(shù)據(jù)太少，所得到的調(diào)度方案穩(wěn)定性很差，靈敏度較高，可以試著找其它方法解決，從而求解。我們建立了一個(gè)調(diào)度方案的一般模型，并提出了一個(gè)較普遍與實(shí)用的方法，故此模型可用于現(xiàn)實(shí)生活中其它運(yùn)輸業(yè)的調(diào)配，類(lèi)似交通運(yùn)輸之類(lèi)的調(diào)配問(wèn)題，從而到達(dá)資源的優(yōu)化配置。模型的自我評(píng)價(jià)：我們通過(guò)一些合理的

18、假設(shè)，針對(duì)公交車(chē)調(diào)度問(wèn)題建立了一般模型。先對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，采用由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步深入的方法，充分利用Maple優(yōu)化軟件包進(jìn)行搜索，優(yōu)化求解，從而得到一個(gè)整體最優(yōu)解。在求解2小題時(shí)，提出一個(gè)方法，即每次都從每段時(shí)間的起點(diǎn)均有車(chē)發(fā)出，到最后一班車(chē)持續(xù)等時(shí)段發(fā)出，最后剩余小段時(shí)間丟去不予考慮。列出了不同時(shí)段的公交車(chē)調(diào)度時(shí)刻表。同時(shí)引入概率來(lái)刻劃顧客利益，從而可以使抽象概念定性分析定量化，也是本模型的一大優(yōu)點(diǎn)。但此題中因只給了某一個(gè)工作日的數(shù)據(jù)樣本，具有典型性，得出的結(jié)果在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)可行性較差，其次設(shè)計(jì)調(diào)度方案時(shí)著重考慮公司利益與大局部顧客利益，使雙方利益趨于均衡，并未同時(shí)到達(dá)雙方滿(mǎn)意，這是我們模型的缺點(diǎn)所在。參考文獻(xiàn)：1 姜啟源 數(shù)學(xué)模型M北京：高等教育出版社2 葉其孝 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材M長(zhǎng)沙：湖南教育出版社3 王淥然 與科學(xué)計(jì)算M北京：清華大學(xué)出版社4 費(fèi)培之，程中瑗 數(shù)學(xué)模型實(shí)用教程M成都：四川大學(xué)出版社附錄 :表格 1 上行方向前五站各時(shí)段上車(chē)人數(shù)站名A13A12A11A10A95:00-6:00371605243766:00-7:001990376333