低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算：第三章.

1、低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算第三章:流場的描述與流場的基本控制方程2014-10-14本章主要內(nèi)容流場的基本描述方法場觀點(diǎn)與粒子觀點(diǎn)場觀點(diǎn)下的加速度表達(dá)方法流線、流管和流面二.微團(tuán)的運(yùn)行學(xué)分析散度、旋度、位勢rdnfpl三.流場基本壓制方程微分形式、積分形式四.環(huán)量與渦環(huán)量渦的概念理想流體中的渦4引言-起製證了維流動(dòng)現(xiàn)在推廣到二維拿對流體仍舊使用連續(xù)介質(zhì)假定，并研究它 的運(yùn)動(dòng)情況及直接關(guān)聯(lián)的物理量(速度、 壓強(qiáng)、密度、溫度等)拿研究對象的選擇 9研究方法 9數(shù)學(xué)工具 9基 本結(jié)論流場的基本描述方法*流場描述的兩種方法：兩種方法的等價(jià)關(guān)系拉格朗日觀點(diǎn)(粒子方法)*沿用描述剛體運(yùn)動(dòng)的方法：標(biāo)號(hào)(Gb,

2、 C, to)*研究每個(gè)微團(tuán)在坐標(biāo)系(xyz)隨時(shí)間變化的規(guī)律：坐標(biāo)隨時(shí)間的變化就 是微團(tuán)的速度，速度隨時(shí)間的變化就是加速度：*微團(tuán)的坐標(biāo)、速度、加速度都是(a, b, c, t)的函數(shù)這個(gè)方法沿襲剛體動(dòng)力學(xué)方法,卻不好用,一般不用歐拉觀點(diǎn)(場方法)*研究空間各點(diǎn)物理屋的變化，速度和加速度是指位于某點(diǎn)的微團(tuán)的速度 和加速度vx=vx( x9y9z , / )= y929I ) s=s(, y9n , t)麗四個(gè)獨(dú)立變分別是空間坐標(biāo)和時(shí)間,必6流場的基本描述方法* 一個(gè)布滿某種物理量的空間稱為場，上面 的公式是速度場，還有壓力場、密度場、 溫度場，都是龐場*機(jī)翼導(dǎo)致的流場：空間和時(shí)間的函數(shù)流場的

3、基本描述方法歐拉方法的加速度表達(dá)式* 一維流動(dòng)中已經(jīng)介紹過加速度的兩個(gè)組成部分:*當(dāng)?shù)丶铀俣龋篜(xy.z)在t時(shí)刻流體微團(tuán)的速度是時(shí)間 的函數(shù)*遷移加速度：遷移導(dǎo)致的速度改變加速度：隨依導(dǎo)數(shù)(物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、實(shí)導(dǎo)數(shù))D/Dtddt5d+4 ”表征流場的曲線-流線拿流線的定義：*這條曲線上的任何一點(diǎn)曲線的切線都和該點(diǎn)微團(tuán)的速度方向 一致，就是趁在歐拉描述中.場每一點(diǎn)都有速度（大小和方向），那么在某一個(gè)瞬間看流場.從某點(diǎn)岀發(fā).N祜爭一點(diǎn)的速度指髓小距漓的鄰點(diǎn).再按鄰點(diǎn)同一時(shí)刻的速度指向再畫一個(gè)微小距離.-1畫下去就得到一俺線。流線滿足的方程dxdyvxVyvx報(bào)矗劇都知道但流線沒有解析式可以用流線表征

4、流場的曲線-流線拿定常流線與非定常流線* 一個(gè)物體在靜止的大氣里做勻速運(yùn)動(dòng)，在靜止坐標(biāo)系上 看運(yùn)動(dòng)是非定常的*只要加上一個(gè)與物體速度相反的直勻流速，流動(dòng)就是定 常的（相對坐標(biāo)）*在不同坐標(biāo)系中受力情況是一樣的10流管和流面流管的定義經(jīng)過某一條一般的封閉圍線的 所有流線氣流絕對不會(huì)穿越流線運(yùn)動(dòng) （相切無法向速度），流動(dòng)只 能限制在流管內(nèi)流面的定義*相鄰流線連成的曲面流動(dòng)無法穿越微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析平面流動(dòng)的微團(tuán) 運(yùn)動(dòng)的分析：*線變形率*角變形率轉(zhuǎn)動(dòng)co微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析：*包括整體移動(dòng)、線變形、角變形和角速度3 = +Yy(Az) + 3y(Az) 3.(Ay)=+Yr(A-r

5、) + Y(Ax) 4-o.(Ax) tox(A)以+Yy(Ax) + Yx(Ay) +o,(Ay) cDy(Ax)第一項(xiàng)：整體移動(dòng)第二項(xiàng)：線變形率第三、四項(xiàng)：角變形率第五、六項(xiàng)：角速度11微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析拿散度*定義：三個(gè)方向線變形率之和*可壓縮與不可壓縮*對于不可壓縮流體:divV = 0如果流體密度有變化,散度一般不等于0dx dy微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析14拿旋度與位勢*上面分析得到三個(gè)角速度分量，合角速度是某 點(diǎn)上微團(tuán)的瞬時(shí)角速度(1/2)rotV稱為旋度*有旋流與無旋流(理論意義)*無旋條件： 3 腐=093 嚴(yán)0 9 0= 0即込二竺二；如=叫込=凹一fdx dzdx如上

6、式為+ 是全微分的必要和充分條件微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析拿若是無旋流，存在全微分這個(gè)稱為速度位勢速度位勢在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)等于速度衽那個(gè)方向的分量d =vTdx + Vydy + v9dz微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析16有關(guān)速度位勢的分析速度位勢的叫法來自于有勢力*在保守力場（引力場）中有勢 力對某個(gè)方向取偏導(dǎo)數(shù)就等于 那個(gè)方向的分力無旋流場速度位勢的偏導(dǎo)數(shù)等 于那個(gè)方向的分速度微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析17*類比有勢力，無旋速度位勢之 差與路徑無關(guān)，絕對值不重要15微速度*速度位勢是坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)* 一個(gè)無旋流場一旦知道速度 位勢的具體函數(shù)就可以計(jì)算 出任何一點(diǎn)的速度，所以翅于無旋流場的問題一般歸結(jié) 為如何求流動(dòng)的速度位勢

7、牛例子：二維流場速度分布4 =一2ax = 2ay.此例僅為示意真實(shí)情況中都是先求岀位勢(vxdx-t-Vydy-vdz)流場基本控制方程18連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒）*質(zhì)量守恒定律在空氣動(dòng)力學(xué)中的具體 表現(xiàn)形式*方程的推導(dǎo)微分形式宦+p込+辱+四= 0DtI ”dy不可壓縮仝殳+如十旦yOdx dy dz*積分形式+0( PS) + 0(PQ + o(ps)dxdyOz流場基本控制方程歐拉方程（運(yùn)動(dòng)方程）*牛頓第二定律在流體力 學(xué)中的應(yīng)用*方程的推導(dǎo)：微分形式（歐拉方程）dt十dx +5 dy十5azP ax十幾* + q込+u嚴(yán)+4耳=一一也+Adtdx $ dy9dzPdy（方程推導(dǎo)說明：積

8、分和微分形式，哪個(gè)更基本？）流場基本控制方程*關(guān)于方程的說明*毓魅翹駆礬變化和速度藉變擁翹的翳齋輕變的（CJf體力存在.對壓強(qiáng)的總有永遠(yuǎn)是這d方法）*空氣可以忽略體力的影響，根據(jù) 情況.木能一概而論）水速度變化的影響：流速增大， 畀強(qiáng)翳濾勰豁I龍。流場基本控制方程運(yùn)動(dòng)方程的蘭姆形式*某個(gè)方向的體力乘以流體的密1eg2P4-dt dX流場基本控制方程- 2 (43= - 3-+ /y一2 (_3y - tycox)=-器-+ fs影+魯 （手）流場基本控制方程22拿歐拉方程的積分*流動(dòng)無旋，存在速度位勢*假設(shè)體力有勢：3QfdQfdQf-總 5 爲(wèi)廠-5右=_人*對蘭姆方程分別乘以dx, dy,

9、 dz,然后相加就 可以積分了，得d()-一d(v2) H- dp + dQ=021流場基本控制方程*對于不可壓縮流體的定常流，上式可以積分，得對于氣體忽略體力，有這就是低速氣流的Bemulli方程，C是總壓，可以寫成： 仇=P這個(gè)公式與一維流bemulli公式形式完全一樣.但意義略有不同.這里的積分是在無粘無旋的 前提下進(jìn)行的.總、壓在整個(gè)無旋流場中是常數(shù)、如果不是無旋流場怎么辦？歐拉方程仍I日可以積分.如何積分?流場基本控制方程24礬所以每對于有旋流動(dòng)的歐拉方程的積分：*沿流線積分，即增加約束微分方程d乂*推導(dǎo)：以dx, dy, dz分別乘以定常流的歐拉方 程，得v.-dx+ v,-dx+

10、 v.-dx=一卜-dx+f.dx%篡旳箸dy +先旳=訂唏-dy +扎dydz + vt-dz= g夕必 + 人必流場基本控制方程進(jìn)一步代入流線方程，總加起來有:拿仍舊假設(shè)體力有勢，在不可壓縮流中可以 得到積分：滬 + Q = Cdy dzVyVtvKdvx+ vydvy+ vzdvz=dp dQ例子拿機(jī)翼繞流流場基本控制方程積分形式的動(dòng)量方程：方微分形式的動(dòng)量方程適用于流場的每一點(diǎn)，但 不是所有問題都能將每一點(diǎn)的流動(dòng)弄清楚，一 般只需要知道總的合力作用-使用積分形式的 動(dòng)量方程* 維流動(dòng)介紹過動(dòng)量定理，現(xiàn)在只需簡單推廣流場基本控制方程 X 方向動(dòng)量方程第一項(xiàng)是當(dāng)?shù)刈兓剩c流動(dòng)無關(guān)；后三項(xiàng)

11、 是遷移變化率，可以化為穿過 S面的動(dòng)量變化:流場基本控制方程上述面積分包括流入與流出 S的 x方向動(dòng)量, x 方向動(dòng)量的隨體導(dǎo)數(shù)為：拿 SJzx方向全部壓力（沒有黏性力作用）:DDtpVgdx=Pujcdx +T) )PvnvxdSS)（S嚴(yán)流場基本控制方程I Pcos(n、x )dS J(S) X 方向體力30流場基本控制方程單位時(shí)間內(nèi)X方向動(dòng)量變化等于所有X方向的作用力，因此得到X方向積分形式動(dòng)量方程:X的指向是物體受力的指向流場基本控制方程 y, z方向動(dòng)量方程同樣獲得PvvzdS(S)Pcos(n . z)dS + (S )* Z方向與前述相同小S+JgPa-XPcos(n ,p/y

12、jT-r流場基本控制方程積分形式動(dòng)量方程的應(yīng)用使用積分形式的動(dòng)量方程可以不知道控制面內(nèi)部的 細(xì)節(jié)，這是很大的優(yōu)點(diǎn)，有以下基本的使用方法：*控制面包圍一個(gè)物體（機(jī)翼）:需要知道機(jī)翼所受 氣動(dòng)力（不論性質(zhì)，可以是壓力，也可以是黏性 力），按照前頁公式計(jì)算x, Y, Zo前提是必須知 道控制面上的流動(dòng)參數(shù)。氣流流過管子：管內(nèi)可以有其他物體（發(fā)動(dòng)機(jī)）也 可以是空的（風(fēng)洞），需要求出管壁和管內(nèi)物體的 受力。前提是知道氣流進(jìn)出控制面的參數(shù)。包含激波的流動(dòng)：包含間斷面的控制體例子拿測量二維物體壓差阻力的方法Scos(“ ”)dS +34例子發(fā)動(dòng)機(jī)推力的估算流場基本控制方程動(dòng)量矩方程*動(dòng)量矩方程一維中講過，現(xiàn)

13、 在推廣到三維 S內(nèi)部某微團(tuán)P （x, y, z）動(dòng) 量對x軸的矩是O* 咕）卩尹*總共是（力矩正向?yàn)橛沂郑?vsy33流場基本控制方程36*動(dòng)量矩當(dāng)?shù)刈兓剩簡挝粫r(shí)間內(nèi)穿過 ds的動(dòng)量對 x 軸的矩:（T 一吹）（Ps）dSdS所有穿過 S的凈流出動(dòng)量矩：J （S） 3 - y）（P%dS35流場基本控制方程 ds面上壓力對 x 軸的力矩Pcos（n ,，）一y cos（饑,n ）3 dS*微團(tuán)體力對 X 軸的力矩（Ay/y） Pdt拿 S所圍流體的外力力矩P z cos（n,，）- y cos（n , z）dS流場基本控制方程37+ （“（/*-*）Pdt-M.流場基本控制方程38拿按照動(dòng)

14、量矩定理得到動(dòng)量矩方程流場基本控制方程速度位勢的物理意義舟一塊流體的邊界（包括內(nèi)部邊界，如機(jī)翼）可 以對流體施以沖擊，從而改變流體各微團(tuán)的運(yùn) 動(dòng)速度。*在邊界上施以沖擊壓強(qiáng)，這個(gè)壓強(qiáng)可以傳遍整 個(gè)流體（不可壓縮聲速無窮大）*沖擊壓強(qiáng)：單位面積上的沖量流場基本控制方程39流場基本控制方程40取六面體流體微團(tuán)*受沖擊前速度：5，巧,vt* Si沖擊后速度：v*f；，ye.牛按照沖量等于動(dòng)量的變化率，列出三個(gè)方向的 動(dòng)量方程：P (uj vx)bxbybz = 詣Q Q流場基本控制方程三個(gè)方向：P (v, ux) - -P(必-=-魯9z.xaSP (v2v,)-分別乘以dx, dy, dz,然后相

15、加有c/5=一P (vi ix)dxP(訥一 P(記一s)dz如果(P代表沖擊以前的速度位勢，0代表沖擊以后 的速度位勢，上式可以寫成：腕=P (d)積分得 (P4)z P) 4-C流場基本控制方程41積分常數(shù)代表一個(gè)常值沖擊壓強(qiáng).對流體無影響流場基本控制方程42結(jié)論：S=p|) p|)z解釋：*凡是具有單值速度位勢的流動(dòng)都可以用適當(dāng)布 置的沖擊壓強(qiáng)使流動(dòng)從靜止立即發(fā)生運(yùn)動(dòng)，流 場上各點(diǎn)的速度位勢就等于該點(diǎn)的沖擊壓強(qiáng)除 以流體密度(差一個(gè)負(fù)號(hào))*對于有旋流動(dòng)既不能用沖擊壓強(qiáng)產(chǎn)生，也不能 用沖擊壓強(qiáng)消滅。環(huán)量與渦拿環(huán)量與渦的關(guān)系：*流體力學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念環(huán)量的定義：*在流場中沿一條指定的曲

16、線做速度 的線積分卩“=I u cos a dsJA就是計(jì)算速度與長度乘積的總和,類似作功計(jì)算: 速度指的是在曲線方向的的投影值:環(huán)量線積分是有方向的:流場基本控制方程43此定義對于積分曲線是否封閉沒有規(guī)定,但一般會(huì)沿一條閉合曲線計(jì)算速度線積分,如右圖.此時(shí)44環(huán)量與渦如果把一個(gè)速度向量寫成分量，同時(shí)線段 ds也分解為分量，那么v vcosa a dsds = = v vx xdxdx + + v vy ydydy + +V V. .C CI IN N于是，環(huán)量的計(jì)算公式為f4-Vydy4-v.dz)43環(huán)量與渦*對于無旋流，存在速度位勢，上述速度分 量可以用位勢白勺分量表示此時(shí)環(huán)量值與路徑無

17、關(guān)，只與AB的位置有關(guān)，大小為位勢函數(shù)之差如果沿封閉曲線積分，那么A46環(huán)量與渦對于有旋流， 由 A 至 B 的線積 分，環(huán)量值與 A 到 B 的曲線形 狀有關(guān)系，其值不是 0。是什么?如右圖流體微團(tuán)，做 ABCD 速 度線積分環(huán)量與渦對于有限大面積 S,沿圍線 L 做速度線積分拿所得結(jié)果適合于任何形狀的 圍線，右圖割線也不必正交。如必）=J（量 加=2( (xdxdy=0嚴(yán)込=仁嚴(yán)MS+-誇47S單連通即可,雙連通再分割即可48環(huán)量與渦流場中任何一點(diǎn)的角速度的二倍稱為流體結(jié)論沿圍線計(jì)算環(huán)員,如果內(nèi)部有渦, 環(huán)量有值:如果內(nèi)部無渦環(huán)量為零。拿三維流動(dòng)中，流體微團(tuán)有三個(gè)方向的角速 度，合角速度為（右手定則）I co| = CD = PcD? + CO；十 3?合角速度向量的三個(gè)方向余弦是5/3, 3y/3, （DZ/CD渦度仍舊定義為二倍角速度環(huán)量與渦渦有軸線，與角速度的軸相同 計(jì)算三維環(huán)量時(shí)仍舊等于二倍 角速度乘以圍線所包面積，只 是此面積為曲面在于軸線垂直 的平面上的投影面積*沿有限大曲面S