2018中考總復(fù)習(xí)圓的切線專題

1、1 / 10題型專項(xiàng)（八）與切線有關(guān)的證明與計(jì)算類(lèi)型 1 與全等三角形有關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1.（2016 梧州）如圖，過(guò)OO 上的兩點(diǎn) A , B 分別作切線，交于 BO , AO 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C, D,連接 CD ,交OO 于點(diǎn) E, F,過(guò)圓心 O 作 OM 丄 CD ,垂足為點(diǎn) M.求證：（1） ACOBDO ;（2）CE = DF.證明：/ AC , BD 分別是OO 的切線，./A= ZB=90.又 AO=BO, /AOC=ZBOD, ACO 也厶 BDO.(2) / ACOBDO ,OC = OD.又 OM 丄 CD , CM = DM.又 OM 丄 EF,點(diǎn) O 是圓心, EM = F

2、M. CM EM = DM FM. CE = DF.2.(2016 玉林模擬)如圖，AB 是OO 的直徑，/ BAC = 60 , P 是 OB 上一點(diǎn)，過(guò) P 作 AB 的垂線與 AC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q,過(guò)點(diǎn) C 的切線 CD 交 PQ 于點(diǎn) D,連接 OC.(1)求證： CDQ 是等腰三角形；如果 CDQCOB ,求 BP : PO 的值.解：證明：由已知得/ ACB = 90 , / ABC = 30/Q=30 , /BCO=ZABC=30./ CD 是OO 的切線，CO 是半徑， CD 丄 CO./DCQ= ZBCO=30./DCQ= ZQ.故厶 CDQ 是等腰三角形.(2)設(shè)OO

3、的半徑為 1 ,則 AB = 2, OC= 1 , BC = 3.等腰三角形 CDQ 與等腰三角形 COB 全等，2 / 10 CQ = CB =3 / 10AQ=AC+CQ=1+3. AP=2AQ=字BP:PO=3.3.(2016 柳州)如圖，AB為厶ABC 外接圓OO 的直徑，點(diǎn) P 是線段 CA 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 點(diǎn) E 在弧上且滿足 PE1 2= PA - PC，連接 CE，AE，OE 交 CA 于點(diǎn) D.(1)求證： PAEsPEC;求證：PE 為OO 的切線；1若/ B = 30 , AP = 2AC ,求證：DO= DP.證明：（1）/PE2= PA-PC, PE=PA PC=PE

4、.又/APE= ZEPC, PAEsPEC./PAEPEC,PEA= ZPCE.1/PCE=孑/AOE,1/PEA= -ZAOE.vOA=OE,2 /OAE= ZOEA./AOE+ ZOEA+ ZOAE=180 , /AOE+2/OEA=180 ,即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 . /PEA+ ZOEA=90.PE 為OO 的切線.設(shè)OO 的半徑為 r,則 AB = 2r./B=30 , /PCB=90 , AC=r,BC=. 3r.過(guò)點(diǎn) O 作 OF 丄 AC 于點(diǎn) F,逅 1-OF=yr. / AP=AC,AP=；. PE2=PA-PC, PEr.在厶 ODF 與厶 PDE

5、 中， BP=ABAP=3 、；32PO=APAO=.312-4 / 10/ODF= ZPDE,/OFD= ZPED,OF=PE,ODFPDE. DO= DP.類(lèi)型 2 與相似三角形有關(guān)針對(duì)訓(xùn)練4. (2016 泰州)如圖，在厶 ABC 中，/ ACB = 90 ，在 D 為 AB 上一點(diǎn)，以 CD 為直徑的OO 交 BC于點(diǎn) E,連接 AE 交 CD 于點(diǎn) P,交OO 于點(diǎn) F，連接 DF , / CAE =ZADF.(1)判斷 AB 與OO 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若 PF : PC= 1 : 2, AF = 5,求 CP 的長(zhǎng).解：(1)AB 是OO 切線.理由：/ ACB = 90 ,

6、/CAE+ ZCEA=90./CAE= ZADF, /CDF= ZCEA,/ADF+ ZCDF=90. AB 是OO 切線.連接 CF./ADF+ ZCDF=90 , /PCF+ZCDF=90 ,/ADF= ZPCF./PCF=ZPAC.又/CPF=ZAPC,PC2= PF PA.設(shè) PF= a,貝 U PC= 2a. 4a2= a(a+ 5).a=3.PC=2a=隊(duì)5.(2015 北海)如圖，AB , CD 為OO 的直徑，弦 AE / CD,連接 BE 交 CD 于點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn) E 作直線EP 與 CD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P,使/ PED =ZC.(1)求證：PE 是OO 的切線；求證：ED

7、 平分/ BEP;若OO 的半徑為 5, CF = 2EF,求 PD 的長(zhǎng).PC P PAC. 礦PFPC.5 / 10解：證明：連接 0E.CD 是圓 0 的直徑，/CED = 90 ./ 0C = 0E ,/C=ZOEC.又/PED= ZC,/PED= ZOEC./PED +ZOED =ZOEC +ZOED = 90 ,即/ OEP= 90 .OE 丄 EP.又點(diǎn) E 在圓上， PE 是OO 的切線.(2)證明：TAB , CD 為OO 的直徑，/AEB=ZCED=90./AEC =ZDEB(同角的余角相等).又/PED =ZC, AE / CD,/PED= ZDEB,即 ED 平分/ B

8、EP.設(shè) EF= x,則 CF= 2x.TOO 的半徑為 5, OF = 2x 5.在 RtAOEF 中,OE2= EF2+ OF2,即 52= x2+ (2x 5)2,解得 x = 4, EF = 4. BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8. DF = CD CF= 10 8= 2./AB 為OO 的直徑，/AEB = 90 ./AB = 10, BE = 8, AE = 6./BEP= ZA, /EFP=ZAEB=90 ,EFPsAEB.在=圧即疋=4BE AE86PF =1610PD = PF DF = 2 =336.(2014 桂林)如圖，ABC 為OO 的內(nèi)接三角形，P 為

9、 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ PAC=ZB, AD 為O6 / 10O 的直徑，過(guò)點(diǎn) C 作 CG 丄 AD 于點(diǎn) E,交 AB 于點(diǎn) F,交OO 于點(diǎn) G.(1)判斷直線 PA 與OO 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；7 / 10(2)求證：AG2= AFAB ;若OO 的直徑為 10, AC = 2 5, AB = 4,；5,求厶 AFG 的面積.解：(1)PA 與OO 相切.理由：連接 CD./ AD 為OO 的直徑，/ ACD = 90 / D +ZCAD = 90/B=ZD, /PAC=ZB,/PAC=ZD./PAC+ZCAD=90 ,即 DA 丄 PA. 點(diǎn) A 在圓上， PA 與OO 相切.

10、 證明：連接 BG./ AD 為OO 的直徑，CG 丄 AD ,AC=AG.AZAGF=ZABG./ZGAF= ZBAG,AGFABG.AG:AB=AF:AG. AG2=AF-AB.連接 BD./ AD 是直徑，/ ABD = 90/ AG2= AF-AB , AG = AC = 2：5, AF/CG 丄 AD, /AEF= ZABD=90./ZEAF= ZBAD,AEF ABD. AB=AD，即4AE5=謚，解得AE=2. EF = :AF2AE=1./EG =；AG2 AE2= 4, FG = EG EF= 4 1 = 3.SAAFG=2FG-AE=2X3X2=3.類(lèi)型 3 與銳角三角函數(shù)

11、有關(guān)針對(duì)訓(xùn)練7.(2014 梧州)如圖，已知OO 是以 BC 為直徑的厶 ABC 的外接圓，OP/ AC ,且與 BC 的 垂線交于點(diǎn) P, OP 交 AB 于點(diǎn) D, BC, PA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E.(1)求證：PA 是OO 的切線；3若 sinZE= 5, PA = 6,求 AC 的長(zhǎng).AB = 4 5,8 / 10解：證明：連接 OA./ AC/OP, /AOP= ZOAC, /BOP= ZOCA./ OA=OC,OCA= ZOAC. AOP= ZBOP.又 OA=OB,OP=OP,AOPBOP.AZOAP= ZOBP./ BP 丄 CB , OAP =ZOBP= 90 . OA 丄

12、PA. PA 是OO 的切線./ PB 丄 CB , PB 是OO 的切線.又 PA 是OO 的切線，PA=PB=6.在 RtAOPB 中，OP=;62+ 32= 3 .5./ BC 為OO 直徑，CAB = 90 ./CAB= ZOBP=90 , /OCA=ZBOP. ACCBACBBOP.今=乎BO OPAC=CBBO 坐=口-AC=OP=3.5=5 .& (2015 來(lái)賓)已知OO 是以 AB 為直徑的厶 ABC 的外接圓，OD / BC 交OO 于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,連接 AD , BD , BD 交 AC 于點(diǎn) F.(1)求證：BD 平分/ ABC ;延長(zhǎng) AC 到點(diǎn)

13、 P,使 PF= PB,求證：PB 是OO 的切線；3 亠(3)如果 AB = 10, cos/ABC = 5,求 AD.解：（1）證明：TOD / BC ,ODB = / CBD./ OB = OD ,又TsinE=PBEP=AO _ 3EO = 5， AO = 3.9 / 10OBD = / ODB.CBD = / OBD. BD 平分/ ABC.10 / 10(2) 證明：TOO 是以 AB 為直徑的厶 ABC 的外接圓，/ACB=90./CFB+ ZCBF=90./PF=PB,PBF= ZCFB.由(1)知/ OBD=ZCBF ,/PBF+ ZOBD=90 /OBP=90. PB 是O

14、O 的切線.(3) 在 RtAABC 中，/ ACB = 90 , AB = 10, cos/ ABC = -BC = BC =3AB 105 BC = 6, AC = .AB2- BC2= 8./OD / BC , AOEABC , / AED = / OEC = 180 -/ ACB = 90 AE_ OE _ AO AE _ OE _ _5_AC=BC=AB，8=6=10. AE = 4, OE= 3. DE = OD OE= 5-3 = 2. AD=AE2+DE2= /42+22=2 5.9.(2016 柳州模擬)如圖，已知：AC 是OO 的直徑，PA 丄 AC,連接 OP,弦 CB

15、/ OP,直 線 PB 交直線 AC 于點(diǎn) D, BD = 2PA.(1) 證明：直線 PB 是OO 的切線；(2) 探究線段 PO 與線段 BC 之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明; 求 sin/ OPA 的值.解：證明：連接 OB./ BC / OP, OB = OC, / BCO = / POA ,/ CBO =/ POB , / BCO = / CBO. / POA = / POB.又TPO= PO, OB = OA , POBPOA. / PBO = / PAO = 90 PB 是OO 的切線.(2)2PO = 3BC.(寫(xiě) PO =|BC亦可)證明： POBPOA , PB = PA./

16、BD = 2PA, BD = 2PB./ BC / PO, DBC DPO. BC_POBD 2PD 二.2PO=3BC.11 / 10.DC BD 22 DO=PD=3，即 DC=3OD.OC = 3OD. DC = 2OC.設(shè) OA = x, PA = y.則 OD = 3x, OB = x, BD = 2y.在 RtAOBD 中，由勾股定理得(3x)2= x2+ (2y)2,即 2x2= y2./x 0, y 0, y= 2x, OP= x2+ y2=；3x.類(lèi)型 4 與特殊四邊形有關(guān)針對(duì)訓(xùn)練10. （2016 玉林）如圖，AB 是OO 的直徑，點(diǎn) C, D 在圓上，且四邊形 AOCD

17、是平行四邊形， 過(guò)點(diǎn) D 作OO 的切線，分別交 OA 延長(zhǎng)線與 OC 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, F，連接 BF.(1)求證：BF 是OO 的切線；已知圓的半徑為 1 ,求 EF 的長(zhǎng).解：證明：連接 OD./ EF 為OO 的切線，/ODF = 90 .四邊形 AOCD 為平行四邊形， AO = DC , AO / DC.又 DO = OC = OA ,DO = OC = DC. DOC 為等邊三角形./DOC= ZODC=60./ DC / AO ,/AOD=ZODC=60./BOF=180 -ZCOD-ZAOD=60在厶 DOF 和厶 BCF 中，DO=BO,ZDOF= ZBOF,OF=OF,D

18、OFBOF.ZODF= ZOBF=90. BF 是OO 的切線.TZDOF=60 , ZODF=90 ,ZOFD=30. sin / OPA =OA =亠=1OP. 3x.312 / 10TZBOF=60 , ZBOF= ZCFD+ ZE,/E=ZOFD=30.OF=OE.又 OD 丄 EF, DE=DF.在 RtAODF 中，/ OFD = 30 . OF=2OD.DF=,OF2-OD2=22-12=3EF=2DF=2.3.11. （2016 寧波）如圖，已知OO 的直徑 AB = 10,弦 AC = 6, / BAC 的平分線交OO 于點(diǎn) D , 過(guò)點(diǎn) D 作 DE 丄 AC 交 AC 的

19、延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.（1）求證：DE 是OO 的切線； 求 DE 的長(zhǎng).解：證明：連接 OD./AD 平分/ BAC ,/DAE= ZDAB./OA=OD,/ODA=ZDAO./ODA=ZDAE. OD/AE./DE 丄 AC , OD 丄 DE. DE 是OO 切線.過(guò)點(diǎn) O 作 OF 丄 AC 于點(diǎn) F. AF=CF=3. OF=OA2-AF2=52-32=4./OFE= ZDEF= ZODE=90 ,四邊形 OFED 是矩形. DE=OF=4.12. （2015 桂林）如圖，四邊形 ABCD 是OO 的內(nèi)接正方形，AB = 4, PC, PD 是OO 的兩條 切線，C, D 為切點(diǎn).（1）如圖 1,求OO 的半徑；如圖 1,若