第2.4連續(xù)型隨機變量

1、1 2.4 連續(xù)型隨機變量 第二章第二章 一元隨機變量及其分布一元隨機變量及其分布2 對于對于連續(xù)型的隨機變量連續(xù)型的隨機變量，由于它的取值充滿了一個區(qū)間，由于它的取值充滿了一個區(qū)間 , ,在討論在討論這類隨機變量取值對應(yīng)的概率時，我們無法像處理這類隨機變量取值對應(yīng)的概率時，我們無法像處理離散型隨機變量離散型隨機變量那那樣樣, , 用指定它取每個值概率的方式給出其用指定它取每個值概率的方式給出其概率分布概率分布, , 而且而是通過給出而且而是通過給出“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式。的方式。 類似地，類似地，離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)可以通過可以通過對若干概率求和對若干

2、概率求和的的方式得到，而方式得到，而連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)則需要則需要對概率密度求積分對概率密度求積分得得到。到。32.4 連續(xù)型隨機變量 一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)定義1 設(shè)設(shè)X X是一隨機變量是一隨機變量, , F F( (x x) )是是X X的分布函數(shù)，如果存在某的分布函數(shù)，如果存在某個非負可積函數(shù)個非負可積函數(shù) f f ( (x x) )，使得對于任意實數(shù)，使得對于任意實數(shù)x x有：有：則稱則稱X X為連續(xù)型隨機變量，稱為連續(xù)型隨機變量，稱f f ( (x x) )稱為稱為X X的的概率密度函數(shù)( (Probability Density Funct

3、ion) )，簡稱簡稱概率密度概率密度(Probability (Probability Density)Density)或或密度函數(shù)密度函數(shù). . 常記為常記為X X f f( (x x), (-), (- x x+3 .例例4262 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示3次獨立觀測中次獨立觀測中 “觀測值大于觀測值大于3” 的次數(shù)的次數(shù),則則.32,3 bY22322133C303322133C3)( XPAP由由于于,32d3153 x27定義3 若若X X的概率密度為：的概率密度為：其中其中0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X X服從服從參數(shù)為的指數(shù)分布(Exponential Dis

4、tribution),記為記為XE()。 0( )0 0 xexf xx2. 指數(shù)分布指數(shù)分布)(xfxO28=3=1=1/2291,0()0 ,0 xexFxx 分布函數(shù)分布函數(shù)=3=1=1/2 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電例如無線電元件的壽命元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景30例例5 5 電子元件的壽命電子元件的壽命X X( (年年) )服從參數(shù)為服從參數(shù)為3 3的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,(1) (1) 求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2 2年的

5、概率年的概率; ;(2) (2) 已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.51.5年年, , 求它還能使用求它還能使用2 2年的概率為多少年的概率為多少? ?解：解：330( )00,xexf xx362(2)3,xP Xedxe363.531.53(3.5,1.5)(3.5|1.5)(1.5)3xxedxP XXP XXeXedx(1)(1)由題意由題意X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：(2)(2)所求條件概率為：所求條件概率為：故故X X超過超過2 2年的概率為：年的概率為：3100(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P X

6、t指數(shù)分布的無記憶性：解釋解釋：以元件壽命為例，上式表明在已知元件的壽命長于以元件壽命為例，上式表明在已知元件的壽命長于t0的條的條件下，再使用件下，再使用t年的概率與前面的年的概率與前面的t0年無關(guān)。年無關(guān)。32例例6 6 已知某系統(tǒng)由元件已知某系統(tǒng)由元件A A、B B并聯(lián)而成，并聯(lián)而成，A A、B B的壽命分的壽命分別為別為X X、Y Y，且它們都服從參數(shù)為，且它們都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。若的指數(shù)分布。若A A、B B的工作相互獨立，求系統(tǒng)壽命的工作相互獨立，求系統(tǒng)壽命Z Z 的分布函數(shù)及概率的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。密度函數(shù)。解：解：由題意可知，由題意可知，X X 與與Y Y 的分布函

7、數(shù)分別是：的分布函數(shù)分別是：, 0, 0; 0,1)(xxexFxX. 0, 0; 0,1)(yyeyFyY因系統(tǒng)由元件因系統(tǒng)由元件A A、B B并聯(lián)而成，故只要有一個元件能工作，系并聯(lián)而成，故只要有一個元件能工作，系統(tǒng)即可工作，即系統(tǒng)壽命是兩元件中壽命較大者：統(tǒng)即可工作，即系統(tǒng)壽命是兩元件中壽命較大者：Z=maxX, Y .AB33從而可得從而可得Z Z的分布函數(shù)：的分布函數(shù)：. 0, 0; 0,)1 ()()()(2zzezFzFzYPzXPzYzXPzZPzFzYX且進一步可得進一步可得Z Z的概率密度函數(shù)：的概率密度函數(shù)：. 0, 0; 0),1 (2)()(zzeezFzfzz34P

8、43 例例2.1935練習練習1 1 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為=1/2000=1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布( (單位單位: :小時小時).).(1)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, , 求能正常使用求能正常使用10001000小時以上的概率。小時以上的概率。(2) (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 1000 小時以上小時以上, ,求還能使用求還能使用10001000小時小時以上的概率以上的概率. . .0,0,0,e1)(20001xxxFxX 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：解解361000)

9、1( XP10001 XP)1000(1F .607.0e21 10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607.0e21 指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性無記憶性”.373. 正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布，例如：測量正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布，例如：測量誤差，誤差， 人的生理特征尺寸如身高、體重等；正常情況下人的生理特征尺寸如身高、體重等；正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸：直徑、長度、重量高度等都近似服從生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸：直徑、長度、重量高

10、度等都近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布. .38定義4 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：其中其中和和(0)都是常數(shù)，則稱都是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為和和2的的正態(tài)分布(Normal Distribution)或或高斯分布(Gaussian Distribution)，記記為為XN(,2)。1 一般正態(tài)分布xexfx,21)(222)(39正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;) 1 (對對稱稱曲曲線線關(guān)關(guān)于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時時當當 (3);x曲曲線線在在處處有有拐拐點點(4);Ox曲曲線線以以軸軸為為漸

11、漸近近線線單峰對稱單峰對稱40(5),( ),;f xOx當當固固定定改改變變的的大大小小時時圖圖形形的的形形狀狀不不變變 只只是是沿沿著著軸軸作作平平移移變變換換 稱稱為為位位置置參參數(shù)數(shù)-41.,)(,)6(圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對稱軸的大小時改變當固定xf 稱稱為為形形狀狀參參數(shù)數(shù)越小，越小，圖形越高瘦；圖形越高瘦；越大，圖形越大，圖形越矮胖。越矮胖。42正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 43正態(tài)分布是概率論中最重要的分布。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布。一方面是因為在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中出現(xiàn)的許多一方面是因為在自然現(xiàn)象

12、和社會現(xiàn)象中出現(xiàn)的許多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面在理論研究中正態(tài)分布十分重要，正態(tài)分另一方面在理論研究中正態(tài)分布十分重要，正態(tài)分布具有許多良好性質(zhì)，有些分布布具有許多良好性質(zhì)，有些分布( (如二項分布、泊松分布如二項分布、泊松分布) )的極限分布是正態(tài)分布，這些分布可用正態(tài)分布來近似，的極限分布是正態(tài)分布，這些分布可用正態(tài)分布來近似，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導出。一些分布又可以通過正態(tài)分布來導出。背景與應(yīng)用背景與應(yīng)用44例如：例如：武漢某年年降雨量數(shù)據(jù)的頻率直方圖武漢某年年降雨量數(shù)據(jù)的頻率直方圖從直方圖可初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。

13、從直方圖可初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。45又如：根據(jù)某大學女生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖又如：根據(jù)某大學女生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖可見，某大學女生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布?？梢?，某大學女生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。 紅線是擬合的正態(tài)密度曲線46再如：再如：在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。似服從正

14、態(tài)分布。47正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算txFxtde21)(222)( xXP ? 方法: 轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布查表計算原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)48定義5。記記為為稱稱為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布參參數(shù)數(shù)中中，在在正正態(tài)態(tài)分分布布)1, 0(,1, 0),( 2NN標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)表示為表示為:2 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為：表示為：.,2122xe(x)x.2122dte(x)xt49標準正態(tài)分布的圖形概率密度函數(shù)(x)分布函數(shù)(x)(x)是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，圖形關(guān)于縱軸對稱圖形關(guān)于縱軸對稱50概率密度函數(shù)概

15、率密度函數(shù)(x)的的性質(zhì)：xx(x);x)()(1;(x)(x)xx02limlim)(。處處取取最最大大值值在在3989000421.)()(x(x);(x)內(nèi)內(nèi)遞遞減減，在在內(nèi)內(nèi)遞遞增增，在在)( ),()(00351查標準正態(tài)分布表查標準正態(tài)分布表 （P215 附表附表2）xx);()()(xx11;.)()(5002() x 1( ) x分布函數(shù)分布函數(shù)(x)的的性質(zhì)（根據(jù)概率密度函數(shù)根據(jù)概率密度函數(shù)(x)圖形分析得到圖形分析得到)?)(,)(xx4).()(),()(abbXaPNX，則則若若10352 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040

16、0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 2.0 0.9772 0.9778 0.97

17、83 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9990 0.9993 0

18、.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例例如如：(2.33)0.9901 53解：解：225. 1 XP)25.1()2( 8944.09772.0 例例7 7 已知已知XN(0,1)，求求(1)(1)P1.25X2；(2)(2)PX-2.35； (3)(3)P|X|1。 . 0828.0 (1)(2) PX-2.35=(-2.35)=1- (2.35)=1-0.9906=0.0094 .(3) P|X|1=P-1X1=(1)-(-1) =2(1)-1=20.8413-1=0.6826 .54

19、3 正態(tài)分布的標準化定理定理1 設(shè)設(shè)XN(,2),Y=aX+b，a,b為常數(shù)，且為常數(shù)，且a0，則，則YN(a+b,a22).服從正態(tài)分布隨機變量的函數(shù)服從正態(tài)分布隨機變量的函數(shù)的分布情況的分布情況服從另一個正態(tài)分布服從另一個正態(tài)分布55定理定理2 若若XN(,2)，令，令 ，則則YN(0, 1).XY注 5 通常稱為通常稱為r.v.X的的標準化隨機變量。 定理定理2 2表明：表明：任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。 因而因而, ,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。態(tài)分布的概率

20、計算問題。XY56計算公式（1）若若XN(, 2)，則則).()(xxF（2）若若XN(, 2)，則則).()(abbXaP57設(shè)設(shè) X N (1, 4) , 求求 P 0 X 1.6.解：解：1.6101(01.6)22PX0.30.50.310.5 0.617910.69150.3094 附表附表2例例8 858解一解一0 - 2(0)PX 21 4222(24)PX 2(0) 0.320.8, (0)0.2.PX2(2,),240.3,0.XNPXPX 設(shè)設(shè)且且求求例例9 959解二解二 圖解法圖解法0.2(0)0.2.PX 由圖由圖-22460.050.10.150.20.360(1)

21、 所求概率為所求概率為89 XP)2(5.09089 )2(1 9772.01 .0228.0 解：解：例例1010?,.)(.,)().,(,)(,.ooo至少為多少至少為多少問問低于低于的概率不的概率不至少為至少為若要求保持液體的溫度若要求保持液體的溫度的概率的概率小于小于求求若若且且是一個隨機變量是一個隨機變量計計以以液體的溫度液體的溫度調(diào)節(jié)器整定在調(diào)節(jié)器整定在容器內(nèi)容器內(nèi)貯存著某種液體的貯存著某種液體的將一溫度調(diào)節(jié)器放置在將一溫度調(diào)節(jié)器放置在dCXddNXCXCd990802899015026199.080)2( XP99.0801 XP99.0)80(1 F99.05.0801 d

22、,01.099.015.080 d 327.20.5-80 d即即.1635.81 d62 即即： 50.955， 又又查查表表可可知知：(0.3)0.618 ,(1.7)0.955 從從而而 350.3,1.7, 解解得得；1.8,4 解解：例例11 設(shè)設(shè)X N (,2) , 試確定試確定與與求求，使得：，使得：PX -5 =0.045，PX 3=0.618。,045. 0)5(1)5()5(5,618. 0)3(3XPXP634 上上 分位點分位點設(shè)設(shè) X N (0,1) , 0 1, 稱滿足稱滿足()PXz 的點的點 z 為為X 的的上上 分位點分位點. . z 統(tǒng)計學中常用的幾個數(shù)據(jù)6

23、45.105.0z96.1025.0z-3-2-11230.10.20.30.4645 3 原理原理設(shè)設(shè) X N ( , 2), 求求(|3).PX 解解(|3)(33)PXPX 33 33 231 20.998710.9974.本例說明：本例說明：在一次試驗中在一次試驗中, ,X 落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間( (3 , +3 ) )的概的概率為率為0.9974, 0.9974, 而超出此區(qū)間的可能性很小。而超出此區(qū)間的可能性很小。例例1265 已知測量的誤差已知測量的誤差 X N (7.5, 100) (單位單位:米米), 問必須進問必須進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于米的概率大于0.9 ? 解解107.5107.5(|10)1010PX 0.251.75 0.2511.75 0.5586.設(shè)設(shè)A 表示進行表示進行n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值并不次獨立測量至少有一次誤差的絕對值并不超過超過0.9