二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及實(shí)際應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載教師姓名：學(xué)生姓名：王祎惠教學(xué) 目標(biāo)掌握二次函數(shù)解析式的求法理解拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，a, b, c與函數(shù)圖像的關(guān)系理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系難點(diǎn)重點(diǎn)：二次函數(shù)與一兀二次方程的關(guān)系重點(diǎn)難點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)清單】2 .1 拋物線(xiàn)y=ax bx c中，a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系c0,交點(diǎn)在 y 軸的正半軸上；c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置c=0,交點(diǎn)在原點(diǎn)；c0,交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上.式子a b c的正負(fù)就是當(dāng) x=1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y=a b c的正負(fù)。2、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系（1）y 軸與拋物線(xiàn) y =ax2 bx c 的交點(diǎn)為 0 ,c

2、 .（2） 拋物線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)：二次函數(shù) y =ax2bx c 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)人、X2，就是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ax2bx，c=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：1有兩個(gè)交點(diǎn)：=0=拋物線(xiàn)與 x 軸相交；2有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x 軸上）=.1=0=拋物線(xiàn)與 x 軸相切；3沒(méi)有交點(diǎn) u 厶：0：=拋物線(xiàn)與 x 軸相離.（3）平行于 x 軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn).可能有0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等， 設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,則橫坐標(biāo)是 ax2bx k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（4 4）拋物線(xiàn)與x

3、 x軸兩交點(diǎn)之間的距離若拋物線(xiàn)yyx?yyx?bxbx c c與x x軸兩交點(diǎn)為a決定開(kāi)口方向a 0,開(kāi)口向上;a0,開(kāi)口向下.a,與,C決定對(duì)稱(chēng)軸位置丄a, b同號(hào),在軸左側(cè)；a, b異號(hào),在軸右側(cè).%bc-,XiX2二aa學(xué)習(xí)好資料歡迎下載x xi、X2是方程 ax2. bx . c=0的兩個(gè)根，故學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3、二次函數(shù)常用的解題方法(1) 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;(2) 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；(3)根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) y =ax2 bx c 中 a， b， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a，

4、 b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4) 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)【鞏固練習(xí)】21、已知二次函數(shù)y = ax列結(jié)論中正確的判斷是(a 0b 0A.BC.D 2、已知二次函數(shù)y二ax2bx c的圖象如圖列結(jié)論中：abc 0b =2aa b c：O abcO正確的是【典型例題】【例 1】 小明、小亮、小梅、小麗四人共同探究代數(shù)式 下分工：小明負(fù)責(zé)找值為 1 時(shí)x x的值，小亮負(fù)責(zé)找值為麗負(fù)責(zé)找最大值幾分鐘后，各自通報(bào)探究的結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是()A. 小明認(rèn)為只有當(dāng) x =2 時(shí)，x2

5、-4x 的值為 1 .B. 小亮認(rèn)為找不到實(shí)數(shù)x x，使 x2-4x 5 的值為 0 C. 小梅發(fā)現(xiàn) x2-4x 5 的值隨x x的變化而變化，因此認(rèn)為沒(méi)有最小值二：Xi _X2二Xi _X2_4x2-4x 5 的值的情況.他們作了如0 時(shí)x x的值，小梅負(fù)責(zé)找最小值，小-bx c的圖象如圖)c：0b2.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載D.小麗發(fā)現(xiàn)當(dāng) x 取大于 2 的實(shí)數(shù)時(shí)，x24x 5 的值隨 x 的增大而增大，因此認(rèn)為沒(méi)有最大值【例 2】 已知二次函數(shù) y=x2-xa（a . 0），當(dāng)自變量 x 取 m 時(shí)，其相應(yīng)的函數(shù)值小于 0， 那么下列結(jié)論中正確的是（）A .m -1 的函數(shù)值小于 0B .m

6、-1 的函數(shù)值大于 0C.m -1 的函數(shù)值等于 0D .m -1 的函數(shù)值與 0 的大小關(guān)系不確定【例 3】 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2x24x k-1 =0 有實(shí)數(shù)根，k 為正整數(shù).（1 ）求 k 的值；（2） 當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x 的二次函數(shù) y=2x24xk-1 的圖象向下 平移 8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3） 在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的 其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(xiàn)1-x x b b b b: :：: :k k與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b 的取值范圍.【例

7、4】圖 26-4，圖中拋物線(xiàn)的解析式為y = ax2 bx c,根據(jù)圖象判斷下列方程根的情況。（1） 方程ax2bx0的兩根分別為（2）方程ax2bx 0的兩根分別為（3）方程ax2bx 2的根的情況是2（4）方程ax bx 5的根的情況是【分析】拋物線(xiàn)y二ax2 bx c與直線(xiàn)y二m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2bx m的根，故可根據(jù)圖象可直接判斷?！纠?5】閱讀材料，解答問(wèn)題. 例：用圖象法解一元二次不等式：x2-2x -3 0 .解：設(shè) y =x22x3，貝廿 y 是 x 的二次函數(shù)./ a =10 ,拋物線(xiàn)開(kāi)口向上.又當(dāng) y =0 時(shí)，x2-2x -3 = 0 ,解得為=-1, x3 .

8、由此得拋物線(xiàn) y =x2-2x -3 的大致圖象如圖所示. 觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng) x”-1 或 x 3 時(shí)，y0 .2圖26-4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 x -2x -30 的解集是 x：-1 或 x 3 .（1 ）觀察圖象，直接寫(xiě)出一元二次不等式：X2-2X-3V0的解集是_學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(2 )仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2-1 0.【例 6】如圖所示，拋物線(xiàn)y =ax2 bx c a =0 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A -1, 0 和B 2 , 0，當(dāng) y：: 0 時(shí)，x 的取值范圍是 _.【例 7】如下右圖是拋物線(xiàn) y =ax2，bx c 的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x =1，若其

9、與 x 軸一交點(diǎn)為 B 3 , 0，則由圖象可知，不等式ax2bx c 0 的解集是_.【例 8】已知二次函數(shù) y =x2_(m 1)x m -1(1)求證：不論 m 為任何實(shí)數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象與x 軸總有交點(diǎn),(2)m 為何實(shí)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離最小？這個(gè)最小距離是多少？考點(diǎn)二二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例 1、某公司年初推出一種高新技術(shù)新產(chǎn)品，該新產(chǎn)品銷(xiāo)售的累積利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售時(shí) 間x(月)之間的關(guān)系(即前x個(gè)月的利潤(rùn)總和y與x之間的關(guān)系)為學(xué)習(xí)好資料歡迎下載12y = x _2x（x 0）。2（1）求出這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；（2）請(qǐng)?jiān)谒o坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（3）根據(jù)函數(shù)

10、圖象，你能否看出公司的這種新新產(chǎn)品銷(xiāo)售累積利潤(rùn)是從什么時(shí)候開(kāi)始盈利 的？（4）這個(gè)公司第 6 個(gè)月所獲的利潤(rùn)是多少？【分析】畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，注意x 0帶來(lái)的變化。根據(jù)圖象進(jìn)行分析。刃萬(wàn)元）4Cf| U14例 2、某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為 40 元的籃球，如果以單價(jià) 50 元售出，那么每月可售出 500 個(gè), 根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，單價(jià)每提高 1 元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少 10 個(gè)。（1） 假設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)提高x元，那么銷(xiāo)售每個(gè)籃球所獲得的利潤(rùn)是元；這種籃球每月的銷(xiāo)售量是個(gè)（用含x的代數(shù)式表示）。（2）8000 元是否為每月銷(xiāo)售這種籃球的最大利潤(rùn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)你求出最大利潤(rùn)，此時(shí)籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少

11、元？【點(diǎn)評(píng)】（1）題設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題， 一是每個(gè)籃球的利潤(rùn)， 二是每月的銷(xiāo)售個(gè)數(shù)， 這為第（2）26-7學(xué)習(xí)好資料歡迎下載題解答鋪平了道路，要會(huì)利用二次函數(shù)的最值，解決實(shí)際問(wèn)題。例 3、如圖 26-9（ 1）三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線(xiàn)形，兩個(gè)小孔形狀、大小都相同,水面 4.5 米，（即 NC=4.5 米），當(dāng)水位 上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，借助圖26-9（ 2）中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬 度 EF?！窘馕觥扛鶕?jù)圖中直角坐標(biāo)系知拋物線(xiàn) 的頂點(diǎn)M （0，6），B（ 10，0），故可 求拋物線(xiàn)的解析式，再根據(jù) E，F(xiàn)，N 三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，都為4.5，可求 E, F 的橫坐標(biāo)，從而求出水面寬EF

12、。解:【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)第（此題題中已給出）。（2）點(diǎn)的坐標(biāo)未直接給出，要結(jié)合題意去理解，拋物線(xiàn)的解析式通常要求出來(lái)。例 4、某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12 米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000 元，該矩形一邊長(zhǎng)為X米，面積為 S 平方米。（1）求出 S 與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量X的取值范圍。（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)費(fèi)用。（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)的多少（精確到元）？（參考資料：當(dāng)矩形的長(zhǎng)是寬與“長(zhǎng)+寬”的比例中項(xiàng)時(shí)，這樣的矩形叫做黃金矩形2.236?！窘?/p>

13、析】（1）若矩形的長(zhǎng)為X米，則寬為（6-X）米，由長(zhǎng)、寬均有意義，可確定X的取 值范圍。（2）S 最大時(shí)，設(shè)計(jì)費(fèi)最多，可根據(jù)二次函數(shù)的極值求出。（3）X的值應(yīng)當(dāng)是一個(gè)具體的值，可求。正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20 米，頂點(diǎn)M 距水面 6 米（即 M0=6 米）小孔頂點(diǎn)10 26 -9學(xué)習(xí)好資料歡迎下載【點(diǎn)評(píng)】(1 )(2)問(wèn)為常規(guī)的二次函數(shù)與幾何面積的綜合題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決，(3)問(wèn)從美觀的角度考慮，很新穎，有意義例 5、如圖，在RtABC 中，/ C=90,點(diǎn) P 為 AC 邊上的一點(diǎn)， 將線(xiàn)段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針?lè)?向旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)點(diǎn) P，),當(dāng) AP 旋轉(zhuǎn)至 AP

14、丄 AB 時(shí)，點(diǎn) B、P、P，恰好在同一直線(xiàn)上，此 時(shí)作 P E 丄 AC 于點(diǎn) E.(1) 求證：/ CBP=/ ABP(2) 求證：AE=CP(3)當(dāng)=- ,BP，二5、.5時(shí)，求PE 2線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng).【課后作業(yè)】1一輛電瓶車(chē)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，前10 秒行駛的路程 S (米)與時(shí)間t(秒)滿(mǎn)足關(guān)系式S =at2，第 10 秒末開(kāi)始勻速行駛，第24 秒末開(kāi)始剎車(chē)，第 28秒末停止離終點(diǎn) 20 米處，圖 26-12 是電瓶車(chē)行駛過(guò)程中每 2 秒記錄的一次 的圖象。(1)求電瓶車(chē)從出發(fā)到剎車(chē)時(shí)的路程 S (米)與時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式。(2) 如果第 24 秒末不剎車(chē)?yán)^續(xù)勻速行駛，那么出發(fā)多少

15、秒后通過(guò)終點(diǎn)？(3) 如果 10 秒后仍按s=at2的運(yùn)動(dòng)方式行駛，那么出發(fā)多少少后通過(guò)終 點(diǎn)？2、杭州體博會(huì)期間，嘉年華游樂(lè)場(chǎng)投資150 萬(wàn)元引進(jìn)一項(xiàng)大型游樂(lè)設(shè)施，若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)開(kāi)放后每月可創(chuàng)收33 萬(wàn)元，而該游樂(lè)設(shè)施開(kāi)放后，從第1 個(gè)月到第X個(gè)月的維P圖26-12學(xué)習(xí)好資料歡迎下載修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y萬(wàn)元，且y =ax2bx，若維修保養(yǎng)費(fèi)用第 1 個(gè)月為 2 萬(wàn)元，第 2 個(gè)月 為 4 萬(wàn)元；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用稱(chēng)為游樂(lè)場(chǎng)的純收益g萬(wàn)元，g也時(shí)關(guān)于x的二次函數(shù)。（1 ）求y關(guān)于x的解析式；（2）求純收益g關(guān)于x的解析式；（3）問(wèn)設(shè)施開(kāi)放幾個(gè)月后，游樂(lè)場(chǎng)的純收益達(dá)到最大？幾個(gè)月后能收回投資？2 23、已知二次函數(shù)y =x -2mx m -1.（1） 當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 0 （ 0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，當(dāng) m=2 時(shí)，該拋物線(xiàn)與 y 軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 D，求 C、D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，x 軸上是否存在一點(diǎn) P,使得 PC+PD 最短？若