31數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1、若11xx+=則221xx+=問題提出問題提出1.= -221xx+=21()2xx+-對(duì)此你有什么困惑？對(duì)此你有什么困惑？ 由于實(shí)數(shù)的局限性，導(dǎo)致某些數(shù)學(xué)問題由于實(shí)數(shù)的局限性，導(dǎo)致某些數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學(xué)家們預(yù)測，在實(shí)數(shù)出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學(xué)家們預(yù)測，在實(shí)數(shù)范圍外還有一類新數(shù)存在，還有比實(shí)數(shù)集范圍外還有一類新數(shù)存在，還有比實(shí)數(shù)集更大的數(shù)系更大的數(shù)系. .問題提出問題提出從社會(huì)生活來看為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐從社會(huì)生活來看為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要，數(shù)的概念在不斷地發(fā)展的需要，數(shù)的概念在不斷地發(fā)展. . 從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，數(shù)集是在按某種從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，數(shù)集是在按某種 “ “規(guī)規(guī)則則”不斷擴(kuò)

2、充的不斷擴(kuò)充的. .自然數(shù)自然數(shù)是是“數(shù)數(shù)”出來的，其歷史最早可以追溯出來的，其歷史最早可以追溯到五萬年前到五萬年前. . 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)是是“欠欠”出來的出來的. .它是由于借貸關(guān)系中量的它是由于借貸關(guān)系中量的不同意義而產(chǎn)生的不同意義而產(chǎn)生的. .我國我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（公三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（公元元250250年前后）首先給出年前后）首先給出了負(fù)數(shù)的定義、記法和加了負(fù)數(shù)的定義、記法和加減運(yùn)算法則減運(yùn)算法則. .劉徽（公元?jiǎng)⒒眨ü?50年前后）年前后）數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集負(fù)負(fù)整整正正整整數(shù)數(shù)自自然然數(shù)數(shù)整整數(shù)數(shù)零零數(shù)數(shù) 分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）分?jǐn)?shù)（

3、有理數(shù)）是是“分分”出來的出來的. .早在古希臘時(shí)期，早在古希臘時(shí)期，人類已經(jīng)對(duì)有理數(shù)有了非人類已經(jīng)對(duì)有理數(shù)有了非常清楚的認(rèn)識(shí)，而且他們常清楚的認(rèn)識(shí)，而且他們認(rèn)為有理數(shù)就是所有的數(shù)認(rèn)為有理數(shù)就是所有的數(shù). .數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集正正整整數(shù)數(shù)自自然然數(shù)數(shù)整整數(shù)數(shù)零零有有理理數(shù)數(shù)負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)分分?jǐn)?shù)數(shù) 小小數(shù)數(shù)11邊長為邊長為1 1的正方形的對(duì)角線長度為多少？的正方形的對(duì)角線長度為多少？畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯(約公元前約公元前560480年）年） 無理數(shù)無理數(shù)是是“推推”出來出來的的. .公元前六世紀(jì)，古希公元前六世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用畢臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用畢達(dá)哥拉斯定理，發(fā)現(xiàn)

4、了達(dá)哥拉斯定理，發(fā)現(xiàn)了“無理數(shù)無理數(shù)”. “. “無理數(shù)無理數(shù)”的承認(rèn)（公元前的承認(rèn)（公元前4 4世紀(jì)）世紀(jì)）是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑程碑. . 數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集正正整整數(shù)數(shù)自自然然數(shù)數(shù)整整數(shù)數(shù)零零有有理理數(shù)數(shù)負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)分分無無理理數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 小小數(shù)數(shù)正數(shù)與負(fù)數(shù)，正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)，都是具有都是具有“實(shí)際意義的量實(shí)際意義的量”，稱之為稱之為“實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)”，構(gòu)成實(shí)數(shù)系統(tǒng)，構(gòu)成實(shí)數(shù)系統(tǒng). .實(shí)數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)沒有縫隙的連續(xù)系統(tǒng)實(shí)數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)沒有縫隙的連續(xù)系統(tǒng). .實(shí)數(shù)集能否繼實(shí)數(shù)集能否繼續(xù)擴(kuò)充呢續(xù)擴(kuò)充呢? ? 回回顧顧從從自自然然數(shù)

5、數(shù)系系逐逐步步擴(kuò)擴(kuò)充充到到實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)系系的的過過程程 , ,可可以以看看到到, ,數(shù)數(shù)系系的的每每一一次次擴(kuò)擴(kuò)充充都都與與實(shí)實(shí)際際需需求求密密切切相相關(guān)關(guān). .2 2 例例如如, ,為為了了解解決決這這樣樣的的方方程程在在有有理理數(shù)數(shù)集集中中無無解解, , 以以及及正正方方形形對(duì)對(duì)角角線線的的度度量量等等問問題題, ,人人們們把把有有理理數(shù)數(shù)系系擴(kuò)擴(kuò)充充到到了了x -2 = 0 x -2 = 0實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)系系. . 數(shù)數(shù)系系擴(kuò)擴(kuò)充充后后, ,在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)系系中中規(guī)規(guī)定定的的加加法法運(yùn)運(yùn)算算、乘乘法法運(yùn)運(yùn)算算, ,與與原原來來 在在有有理理數(shù)數(shù)系系中中規(guī)規(guī)定定的的加加法法運(yùn)運(yùn)算算、乘乘法法運(yùn)運(yùn)算算協(xié)

6、協(xié)調(diào)調(diào)一一致致: :加加法法和和乘乘法法都都滿滿足足交交換換律律和和結(jié)結(jié)合合律律, ,乘乘法法對(duì)對(duì)加加法法滿滿足足分分配配律律. . 數(shù)系每次擴(kuò)充的基本原則：數(shù)系每次擴(kuò)充的基本原則： 第一、第一、增加新元素；增加新元素； 第二、第二、原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立；原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立； 第三、第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾. . 由由 得得 ，這與這與 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？11xx+=2211xx+= -2210 xx+ 方程方程x x2 2x x1 10 0無實(shí)根無實(shí)根 方程方程x x2 2x x1 10 0無實(shí)根無實(shí)根的根本原的根本原因是什么？因是什

7、么？1 1不能開平方不能開平方 問題探問題探究究 為了解決負(fù)數(shù)開平方問題，為了解決負(fù)數(shù)開平方問題， (1)(1) ； (2)(2) 問題解決問題解決:給出給出“虛數(shù)虛數(shù)”這一名稱的這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾(15961650)，他在，他在幾何幾何學(xué)學(xué)(1637年發(fā)表年發(fā)表)中使中使“虛虛的數(shù)的數(shù)”與與“實(shí)的數(shù)實(shí)的數(shù)”相對(duì)相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來來.笛卡爾笛卡爾(R.Descartes,15961650) 我們了引入一個(gè)新數(shù)我們了引入一個(gè)新數(shù)i i，這個(gè)數(shù)是，這個(gè)數(shù)是1 1的一個(gè)平方根，的一個(gè)平方根，1322i思考：思考：方程方程x x2 2x x1

8、 10 0的根是什么？的根是什么？1 1的還有其它平方根嗎的還有其它平方根嗎? ?-i-i思考：思考：若若x x4 41 1，則，則x x等于什么？等于什么？1 1，1 1，i i，i. i. 思考：思考： 滿足滿足i i2 21 1的新數(shù)的新數(shù)i i顯然不是實(shí)數(shù)，顯然不是實(shí)數(shù)，稱為稱為虛數(shù)單位，虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則，應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位i i和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？滿足哪些運(yùn)算律？乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律乘法對(duì)加法滿足分配律. .思考：思考：1 1、虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i與

9、實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，可以形成哪種一般形式的數(shù)？可以形成哪種一般形式的數(shù)？ abi i（a，bRR）2 2、把形如把形如abi i（a，bRR）的數(shù)叫做）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集，記作記作C C，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR 問題探問題探究究3 3、復(fù)數(shù)通常用字母復(fù)數(shù)通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），這一表示形式），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，代數(shù)形式，其中其中a與與b分別分別叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)z z的的實(shí)部實(shí)部與與虛部，

10、虛部，那么復(fù)數(shù)那么復(fù)數(shù) z z 3i3i的實(shí)部和虛部分別是什么？的實(shí)部和虛部分別是什么？2實(shí)部為實(shí)部為 , ,虛部為虛部為3.3.2問題探問題探究究4 4、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：可以相等，并且規(guī)定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要條件是的充要條件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要條件的充要條件是什么？是什么？ ab0 0問題探問題探究究5 5、對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)當(dāng)b b0 0時(shí)，時(shí)，z z為什么數(shù)？由此說明實(shí)為什么數(shù)？由此說明實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？當(dāng)當(dāng)b0

11、 0時(shí)時(shí)z z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). . 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R是復(fù)數(shù)集是復(fù)數(shù)集C C的真子集的真子集. . 問題探問題探究究6 6、對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)）當(dāng)b00時(shí)，時(shí)，z z叫做叫做虛數(shù)，虛數(shù)，當(dāng)當(dāng)a0 0且且b00時(shí)，時(shí)，z z叫做叫做純虛數(shù)，純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？虛數(shù)集之間如何？ 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集. . 問題探問題探究究通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 ziab),(RbRa 其中其中 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位。i000000babbab實(shí)數(shù)純虛數(shù)，虛數(shù)非純虛數(shù)， RC7 7、復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純

12、虛復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？ 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)問題探問題探究究8 8、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？注意：注意：一般對(duì)兩個(gè)不全是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)只能說一般對(duì)兩個(gè)不全是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)只能說相等或不相等；相等或不相等；不能比較大小不能比較大小。例例1.說明下列數(shù)是否是虛數(shù)，并說明下列數(shù)是否是虛數(shù)，并說明各數(shù)的實(shí)部與虛部說明各數(shù)的實(shí)部與虛部1313i17i2i(1)i01322i1i (23 ) ii例例2. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m 取

13、什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是實(shí)數(shù)？是實(shí)數(shù)？(2)純虛數(shù)？純虛數(shù)？ (3)零？零？ 解：解：(1)當(dāng)當(dāng)m2-5m-6=0時(shí)，時(shí)，即即m=6或或m=-1時(shí)，時(shí)，z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6 0即即m=4時(shí)，時(shí)， z為純虛數(shù)為純虛數(shù)(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即即m=-1時(shí)，時(shí)， z為零為零2727i5 +8，13i2ii0 02(1)(3)6(1)(2)(3)zmimiimz已知復(fù)數(shù)，則當(dāng) 為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù) 是實(shí)練習(xí)：數(shù)， 虛數(shù)， 純虛數(shù)。222222(3 )(6)160,23260,23303060zmm