經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)第一章集合區(qū)間鄰域函數(shù)的定義

1、第一章第一章 函數(shù)（一）函數(shù)（一）講師：胡燕芳講師：胡燕芳電話：電話堂紀(jì)律：課堂紀(jì)律：1. 手機(jī)關(guān)機(jī)或者調(diào)成靜音手機(jī)關(guān)機(jī)或者調(diào)成靜音 2. 準(zhǔn)備好草稿紙準(zhǔn)備好草稿紙3.課前課前10分鐘，自覺看課本上節(jié)內(nèi)容及本分鐘，自覺看課本上節(jié)內(nèi)容及本 節(jié)課知識(shí)點(diǎn)節(jié)課知識(shí)點(diǎn) 4.有問題請(qǐng)舉手發(fā)言有問題請(qǐng)舉手發(fā)言一、集合的概念一、集合的概念集合的含義與表示集合的含義與表示了解了解康托爾康托爾德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。數(shù)集數(shù)集 自然數(shù)的集合自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合有理數(shù)的集合,不等式不等式x-73的的解的

2、集合解的集合中學(xué)學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例中學(xué)學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例點(diǎn)集點(diǎn)集 圓圓(到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合)線段的垂直平分線線段的垂直平分線(到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合相等的點(diǎn)的集合),等等等等.元素元素 a 屬于集合屬于集合 M , 記作記作 aM元素元素 a 不屬于集合不屬于集合 M , 記作記作 a M 集合的含義：集合的含義：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合集合.不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集 ,記作記作 .通常用大寫的拉丁字母通常用大寫的拉丁字母A

3、, B , C , 表示；組成集合的事表示；組成集合的事物稱為物稱為元素元素，通常用小寫拉丁字母，通常用小寫拉丁字母a ,b ,c ,表示。表示。集合的分類：集合的分類：按元素的個(gè)數(shù)劃分，可將集合分為三類：有限集、無限集、空集。按元素的個(gè)數(shù)劃分，可將集合分為三類：有限集、無限集、空集。有限集：含有有限集：含有有限有限個(gè)元素的集合叫有限集。個(gè)元素的集合叫有限集。無限集：無限集：含有含有無限無限個(gè)元素的集合叫無限集。個(gè)元素的集合叫無限集?？占翰缓腥魏卧氐募辖凶隹占?，記作空集：不含有任何元素的集合叫做空集，記作 集合的表示方法：集合的表示方法：列舉法：把集合中的列舉法：把集合中的元素一一列舉

4、元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的的 方法，如方法，如a,b,c,d描述法：把集合中的元素的描述法：把集合中的元素的共同屬性共同屬性描述出來，描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表寫在大括號(hào)內(nèi)表示示 集合的方法，如集合的方法，如x|x2-3x+2=0,直角三角形直角三角形常見的數(shù)集表示：常見的數(shù)集表示：N -自然數(shù)集（自然數(shù)集（0、1、2、3、4）Z -整數(shù)集整數(shù)集Q -有理數(shù)集有理數(shù)集R -實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集集合中元素的特性：集合中元素的特性：確定性確定性、互異性互異性、無序性無序性集合與集合的關(guān)系1子集子集定義：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們

5、就說集合B包含于集合A，或集合A包含集合B。記作：B A, A B 讀作：B包含于A 或 A包含B 若兩集合A和B有A B，同時(shí)B A，則稱集合A與集合B相等，記作A=B. 性質(zhì)： 任何一個(gè)集合是它本身的子集任何一個(gè)集合是它本身的子集 空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集 考察下列各個(gè)集合，你能說出集合考察下列各個(gè)集合，你能說出集合C與集與集合合A、B之間之間的關(guān)系嗎的關(guān)系嗎？（1） A=1，3，5， B=2，4，6， C=1，2，3，4，5，6（2）A=x|x是有理數(shù)，是有理數(shù)， B=x|x是無理數(shù)，是無理數(shù)， C=x|x是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) 集合集合C是由所有屬于集合是由所有屬于集合A或?qū)儆诨?/p>

6、屬于B的元素的元素組成的組成的記作：記作：AB（讀作：（讀作：“A并并B”）Venn圖表示：圖表示： ABAB 說明說明：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與與B 的所有元素組成的集合（的所有元素組成的集合（重復(fù)元素只看成一個(gè)元素重復(fù)元素只看成一個(gè)元素）ABABABAB 一般地，由所有屬于集合一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩匣驅(qū)儆诩螧的元素所的元素所組成的集合，稱為集合組成的集合，稱為集合A與與B的的并集并集 例例1 1設(shè)設(shè)A=4=4，5 5，6 6，88，B=3=3，5 5，7 7，88，求，求AU UB解：解：AU UB=44，5

7、5，6 6，8U38U3，5 5，7 7，8=3,4,5,6,7,88=3,4,5,6,7,8 例例2 2設(shè)集合設(shè)集合A=x|-1|-1x22，B=x|1|1x33，求，求AU UB 解：解：AU UB= x|-1|-1x2U2Ux|1|1x3=3=x|-1-1x33 可以在數(shù)軸上表示例可以在數(shù)軸上表示例2 2中的并集，如下圖：中的并集，如下圖：集合運(yùn)算常用數(shù)軸畫集合運(yùn)算常用數(shù)軸畫圖觀察圖觀察1. AA A ； 2. A A ；3. ABA B A ; 考察下面的問題，集合考察下面的問題，集合C與集合與集合A、B之之間間有什么關(guān)系嗎有什么關(guān)系嗎？（1） A=2，4，6，8，10， B=3，5，

8、8，12，C=8（2）A=x|x是是新華中學(xué)新華中學(xué)2004年年9月入學(xué)的女同學(xué)月入學(xué)的女同學(xué)， B=x|x是新華中學(xué)是新華中學(xué)2004年年9月入學(xué)的高一年級(jí)同學(xué)月入學(xué)的高一年級(jí)同學(xué)， C=x|x是新華中學(xué)是新華中學(xué)2004年年9月入學(xué)的高一年級(jí)女同學(xué)月入學(xué)的高一年級(jí)女同學(xué) 集合集合C是由那些既屬于集合是由那些既屬于集合A且又屬于集合且又屬于集合B的所有元素組成的的所有元素組成的 一般地，由屬于集合一般地，由屬于集合A且屬于集合且屬于集合B的所有元素組的所有元素組成的集合，稱為成的集合，稱為A與與B的的交集交集記作：記作：AB（讀作：（讀作：“A交交B”） 即：即： A B =x| x A且且

9、 x BVenn圖表示：圖表示： 說明說明：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與與B 的公共元素組成的集合的公共元素組成的集合ABAB=ABABABBA A A ； A ；A BA AB例例1：已知集合已知集合A1，2，3，B2，m，4，AB2，3，則，則 m_. m3 例例2：已知集合已知集合Ax|x1，Bx|xa，且，且ABR，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的的取值范圍是取值范圍是_ a1解析解析將集合將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示分別表示在數(shù)軸上，如圖所示 要使要使ABR，則，則a1差集：差集：所有屬于所有屬于A但不屬于但不屬于B的元素組成

10、的集合稱為集合的元素組成的集合稱為集合A與與集合集合B的的差集差集，記為，記為A-B或或AB.例如，若例如，若A=1,2,3,4，B=1,3,5,7，則，則AB=1,3，AB=1,2,3,4,5,7，A-B=2,4.二、區(qū)間、鄰域二、區(qū)間、鄰域關(guān)于區(qū)間區(qū)間的概念設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，并且ab，那么: 用不等式axb表示的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，表示為（a,b） 用不等式axb表示的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b 用不等式axb，aa，xb，x0 解：（解：（1）x |1 1 |x1|2 =(-1,02,3) （2）x | |x+1|0 =(-,-1)(-1,+)三、函數(shù)的定義三、函

11、數(shù)的定義在觀察自然現(xiàn)象或研究科技問題的過在觀察自然現(xiàn)象或研究科技問題的過程中，始終保持一定數(shù)值的量稱為程中，始終保持一定數(shù)值的量稱為常量常量；可以取不同數(shù)值的量稱為可以取不同數(shù)值的量稱為變量變量。函數(shù)的定義：函數(shù)的定義：設(shè)設(shè)x和和y是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量，x的變域是數(shù)集的變域是數(shù)集D。如果對(duì)每一個(gè)。如果對(duì)每一個(gè)xD，變量變量y按照一定的法則按照一定的法則f，有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱，有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是是x的的函數(shù)，記作函數(shù)，記作y=f(x) 或或 f:D R數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，x叫做自變量，叫做自變量，y叫做因變量。叫做因變量。函數(shù)不是數(shù)

12、函數(shù)不是數(shù), ,它指在一個(gè)變化過程中它指在一個(gè)變化過程中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的基本要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則函數(shù)的基本要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則函數(shù)的三種表示法：函數(shù)的三種表示法：解析法解析法：用等式等式表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法。這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析式。列表法列表法：用列表列表表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法。圖像法圖像法：用圖像圖像表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法。例例：某種筆記本的單價(jià)是：某種筆記本的單價(jià)是5 5元，買元，買x(x1,2,3,4,5)x(x1,2,3,4,5)個(gè)筆記本需個(gè)筆記本需要要y y元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y

13、=f(x).y=f(x).解：這個(gè)定義域是數(shù)集解：這個(gè)定義域是數(shù)集1,2,3,4,5.1,2,3,4,5. 用用解析法解析法可將函數(shù)可將函數(shù)y=f(x)y=f(x)表示為表示為y=5x,x1,2,3,4,5.y=5x,x1,2,3,4,5. 用用列表法列表法可將函數(shù)可將函數(shù)y=f(x)y=f(x)表示為表示為 用用圖像法圖像法可將函數(shù)可將函數(shù)y=f(x)y=f(x)表示為表示為筆記本數(shù)筆記本數(shù)x12345錢數(shù)錢數(shù)y5101520250510152025300123456錢數(shù)錢數(shù)y y筆記本數(shù)筆記本數(shù)x x練習(xí)：求下列函數(shù)中自變量練習(xí)：求下列函數(shù)中自變量x x的的取值范圍（定義域）取值范圍（定義

14、域） ( (1) ) y3x1；( (2) ) y2x27；( (3) ) y= ；( (4) ) y解：（解：（1 1）x 的取值范圍是的取值范圍是 x為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) （2 2）x 的取值范圍是的取值范圍是 x為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) （3 3）x 的取值范圍是的取值范圍是 x2 2 （4 4）x 的取值范圍是的取值范圍是 x 2 (5)(5)解解: :由已知得由已知得 ，x x的取值范圍是的取值范圍是x=1x=121x2x(5)(5)xxy11 x-10 x-10 1-x0 1-x0 x1x1 x x1 1例例1：求函數(shù)：求函數(shù) 的定義域的定義域.解：要使函數(shù)有意義，必須有解：要使函數(shù)有

15、意義，必須有x-20 x-30 5-x0解之即得所求的定義域?yàn)椋航庵吹盟蟮亩x域?yàn)椋?D=x|2x5,且且x3,xR=2,3)(3,5)5lg(312xxxy例2：解：).1(),1(),(),2(11)(2xfxfaffxxf，求已知51211)2(2f211)(aaf2221111)1(xxxxf221) 1(11) 1(22xxxxf例例3：已知：已知f(ex-1)=x2+1，求，求f(x)的定義域的定義域.解：令解：令ex-1=u，那么，那么x=ln(1+u),代入原式，有代入原式，有 f(u)=ln2(1+u)+1即即 f(x)=ln2(1+x)+1 從而知從而知 Df = (-

16、1,+)分段函數(shù)：分段函數(shù)：在定義域的在定義域的不同范圍內(nèi)不同范圍內(nèi)，函數(shù)的關(guān)系用，函數(shù)的關(guān)系用不同的式子不同的式子來來表示，這種函數(shù)叫做表示，這種函數(shù)叫做分段函數(shù)分段函數(shù)。（1）符號(hào)函數(shù)）符號(hào)函數(shù) 1 y= sgnx = 0 -1xyo-11y=|x|=x ,x0 x ,x0（2）絕對(duì)值函數(shù)）絕對(duì)值函數(shù)oxy111（3）狄里克萊函數(shù)）狄里克萊函數(shù)y=D(x)=1 ,x有理數(shù)有理數(shù)0 ,x無無理數(shù)理數(shù)（4）取整函數(shù)）取整函數(shù)(其中其中x表示不超過表示不超過x的最大整數(shù)的最大整數(shù))y=x例如例如:0.3=0，-0.6=-1，-1.3=-3練習(xí)：求下列函數(shù)的(自然)定義域解：解：(1)函數(shù)的定義域

17、為函數(shù)的定義域?yàn)?-,0 )(0,4)(4,+) (2)函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閤|3x5xxxy42) 1 (2) 3lg()5lg()2(xxy練習(xí)：練習(xí)： x2 , x-1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)= 1+x2 , -1x2，求，求f(-2),f(-1),f(),f(a-1). sinx x2解：解：f(-2)=(-2)2=4 f(-1)=1+(-1)2=2 f()=sin=0 (a-1)2 , a0f(a-1)= 1+(a-1)2 , 0a3， sin(a-1), a3練習(xí)：設(shè)練習(xí)：設(shè)f(x)=lg3,求求f(x+1)-f(x-2).解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閒(x)=lg3是一個(gè)常值函數(shù)，可得是

18、一個(gè)常值函數(shù)，可得 f(x+1)=lg3 f(x-2)=lg3 所以，所以，f(x+1)-f(x-2)=0大學(xué)期間康托爾主修數(shù)論，但受外爾斯特拉斯的影響,對(duì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)分析感興趣。哈雷大學(xué)教授H.E.海涅鼓勵(lì)他研究函數(shù)論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關(guān)于三角級(jí)數(shù)的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對(duì)無窮集合的分類準(zhǔn)則。函數(shù)論研究引起他進(jìn)一步探索無窮集和超窮序數(shù)的興趣和要求。1872年康托爾在瑞士結(jié)識(shí)了J.W.R.戴德金，此后時(shí)常往來并通信討論。1873年他估計(jì)，雖然全體正有理數(shù)可以和正整數(shù)建立一

19、一對(duì)應(yīng)，但全體正實(shí)數(shù)似乎不能。他在1874年的論文關(guān)于一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)中證明了他的估計(jì)，并且指出一切實(shí)代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)，這就證明了超越數(shù)是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系作為對(duì)無窮集合分類的準(zhǔn)則。格奧爾格格奧爾格康托爾康托爾康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德） 德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父為遷居俄國(guó)的丹麥商人?？低袪?1歲時(shí)移居德國(guó),在德國(guó)讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫(kù)默爾、K.（T.W.）外爾

20、斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授?？低袪栐?878年這篇論文里已明確提出“勢(shì)”的概念(又稱為基數(shù))并且用“與自身的真子集有一一對(duì)應(yīng)”作為無窮集的特征?？低袪栒J(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴(kuò)充到無窮數(shù)。他在18791884年發(fā)表的題為關(guān)于無窮線性點(diǎn)集論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點(diǎn)集論，而第5篇很長(zhǎng)，此篇論述序關(guān)系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類的概念。他定義了一個(gè)比一個(gè)大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無窮序列，并對(duì)無窮問題作了不少的哲學(xué)討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。在1891年發(fā)表的集合論的一個(gè)根本問題里，他證明了一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為一個(gè)估計(jì)提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴(yán)格證明，但他始終未能給出。在整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個(gè)不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點(diǎn)集和線上的點(diǎn)集有無一一對(duì)應(yīng)。經(jīng)過三年多的探索，187