2018年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型和提分秘籍專題20平面向量的數(shù)量積文

1、【答案】(1) 2(2) 1 12【解析】由c=ta+ (1 t)b得，bc=t a-b+ (1 t)b= 0,整理得11a|b| cos60+ (1 t)|b|1=0，化簡得 t+ 1 t= 0,所以t= 2。(2)方法一：如圖所示，以AB AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) 曰t,0), 0t0,22zt【變式探究】 已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為 60,c=ta+ （1 t）b,若bc= o,則t=專題 20 平面向量的數(shù)量積2. 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平

2、面向量的垂直關(guān)系熱點(diǎn)題型一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算標(biāo)系，則（0 需），月（-1, C（LOn 設(shè)鞏兀沙所以材二（爼小 M=（-l-x-y）?PC=(-x-y)MPB + PC(-2x-2yy,冠(麗 + 疋)=2 壬-2”擊-尹)=2, + 2 DE DC=g_生ABV【提分秘籍】向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角0時(shí)，可利用定義法求解，即ab=|a|b|cos0。當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a= (X1,y,b= (X2,y2)，貝Uab=X1X2+y1y2?！九e一反三】一n一已知兩個(gè)單位向量 8,e2的夾角為，若向量b1=e1 2e2,b2= 3e1+ 4e2，貝

3、Ub b2=_。3【答案】6【解析】b1b2= (e1 2e2) (3e1+ 4e2)=3e1 2e1e2 8e2n=32x1x1xcos 38= 6o4【解析】根據(jù)題意，由于|a| = 2, |b| = 4 且(a+b)丄a,則有(a+b)a= 0?a2+b-a= 0?4+b-a0；所決加=-斗,那么可知也與上的夾甬的余弦值為 jfj 翕一蕓一則 n 與 E 的夾角是辛由題fl-i=(r-l+x-l, l-3)=(2r- -2),又因?yàn)槔韥A(ab)9所以么(起一所 1)(21-2+ 1x(-2)=0,即 i3-2x=0,所以或 2 由向量加+両與 0+冊(cè)的夾角為鈍角,得-駕；爲(wèi)即(2 也+(

4、fl +仍 Km化簡即得 2+15/ + 70,解得一了當(dāng)夾角為兀時(shí)，也有(2 施+7*)+也但此時(shí)夾角不是鈍為設(shè) 2 加+二*仗+勁，A0,可求潯 7= 所以所次所求實(shí)數(shù) t 的范圍是-7,粥 U(-乎，*【提分秘籍】 平面向量數(shù)量積的兩個(gè)應(yīng)用(1)求夾角大?。喝鬭,b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題。確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0 說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0 說明不共線的兩熱點(diǎn)題型平面向量的垂直與夾角問題例 2、(1)若|a| = 2,|b| = 4 且(a+b)丄a,貝 Ua與b的夾角是(設(shè)向量a= (x 1,1) ,b=(

5、 x+(3)設(shè)兩個(gè)向量a,b,n滿足|a| = 2, |b| = 1,a與b的夾角為，若向量 2ta+ 7b與a+1 b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍。【答案】(1) A (2) 0 或 2( 3)見解析a-bCOS0= |a|b| (夾角公式)，所以向量的夾角為直角，數(shù)量積小于 0 且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角?！九e一反三】若向量a= (1 , 2) ,b= (1 , 1)，貝 U 2a+b與ab的夾角等于()【答案】C【解析】因?yàn)?3）,3）設(shè)加+由與&-的夾角為為ctni _ 2 口+血-a-b _9_、R所以 5 尸|加+確-列二亦=又 a（b 兀,故盤二扌。熱點(diǎn)題型三平面

6、向量的模例 3.已知a,b是單位向量，ab= 0。若向量c滿足|cab| = 1,則|c|的最大值為（）A 2 1 B. 2C乖+1 D.德 +2設(shè)8,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,y R。若e1,e2的夾角為 卡，則曾的最大值等于【答案】（1） C （2） 2【解析】（1）方法一：條件|cab| = 1 可以理解成如圖的情況而|a+b| = _2，向量c的終點(diǎn)在單位圓上，故|c|的最大值為-2 + 1。所以 |a+b| = y2,A.D.3n4(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件因?yàn)?|cab| = 1,222所以 |cab| =c 2c(a+b) + (a+b)

7、= 1。設(shè)c與a+b的夾角為0,則 |c|22|c|X2COS0 +2=1,即丄卩+1= WkiCD旳邁闔，師一 2邁|十 10 ,解得邁-1刑曲+1。故材的最大倩為邁+1。所以魯?shù)淖畲笾禐?.代數(shù)法求最值：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍?！九e一反三】若a,b,c均為單位向量，且a-b= 0, (ac)(bc) 0,則|a+bc|的最大值為()A. 2 1 B . 1C. 2 D . 2【答案】B【解析】由向量a,b,c都是單位向量，可得a2= 1,b2= 1,c2= 1,由a-b= 0 及(ac) (bc) c2= 1，因?yàn)?|a+bc|2=a2+b2+c2

8、+ 2ab 2ac 2bc,所以有 |a+bc|2= 32(ac+bc) = 3 2(a+b) -c,故 |a+bc| =l-y ，所決久+山=孑一護(hù) + 1 ,設(shè) 2 =亍一 y+l?ep-y + l- =0jArJrjr24|2-匚2點(diǎn)P(x,y )在圓(x 2 f +y2=4上，所以圓心到直線的距離d蘭r，即 干=：_75，解得1蘭z蘭3,5V/1所以z的最大值是 3,即-J的最大值是 3,故選 A?！究键c(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量基本定理2.【2017 北京，文 6】設(shè)mn為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得n”是“m n 0”的ll1B.2、2C.5D. 2y-l = -A(C)充分

9、必要條件(D)既不充分也不必要條件(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件94.【2017 課標(biāo) 1，文 13】已知向量a,b的夾角為 60，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=【答案】2.3I 4【解析】利用如下圖形，可以判斷出a 2b的模長是以 2 為邊長的菱形對(duì)角線的長度,22 2-|a 2b | |a| 4a b 4|b|4 4 2 1 cos60 4 =12所以|a - 2,|=、12 =2.3.【答案】A【解析】若=1/. :0，使常-n，即兩向量反向，夾角是1800，那么mn=（mncosi8d）=一論吊0丁，若m no，那么兩向量的夾角為啓0“。0，并不一定反向, 即不

10、一定存在負(fù)數(shù)，使得n，所以是充分不必要條件，故選A.【考點(diǎn)】1.向量；2.充分必要條件.3.【2017 課標(biāo) II，文 12】已知ABC是邊長為 2 的等邊三角形,P 為平面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則PA (PB PC)的最小是（）A. -2B.C.D.【解析】如團(tuán)，臥月 c 為掘軸，的垂直平分線血為 F 軸，Q 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直甬坐標(biāo)系，則蟲 0 同，0（7 叭 C（L0）4尸（兀小所以冠=（爼/小 西=（丸廠巧,疋二（I-兀-0,所以丙+元珂-2 巫-2 刃，丙（面+花卜 2 分-2”擊-y） = 2*+2O-3時(shí)，所求的最小值為-丁故選玖【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；函數(shù)的最值5.【201

11、7 天津，文 13】在ABC中，/A = 60,AB =3,AC = 2若BD =2DC,3【答案】 11【解析】AB AC = 3 2 cos60= 3,33ADAE-1AB十？ACb気-邸）=上漢3十工9_乙3 = _4二丸=?133丿 333311【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積6.【2017 山東，文 12】已知e,e2是互相垂直的單位向量，若 3e -e?與e8 的夾角為丸的值是 .【答案】【解析】（珂_勺）彳坷+兄勺）=+少乂角兔_宵兔_兄曲2= y3-A#5角一勺=|（寸5兔一色J= J茲;_2忑兔.勺+它;=2 ,” +幾旳| =+尤左J+2A術(shù)蟲Q+N工= V1 + A1?.3-A= 2

12、xVL+I7xcoifiO* =A/1+A17解彳尋：九二邑【考點(diǎn)】1.平面向量的數(shù)量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量.7.【2017 浙江，15】已知向量a,b滿足a = 1, b= 2,則a+b+|ab的最小值是RAC忌.R），且AD AE =*，則乙的值為，則實(shí)數(shù)，最大【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算11值是_ .【答案】4,2J5令y 15 4cosr . 5 - 4cosr，則y2=10225 - 16cosJ 16,20 1,II據(jù)此可得：qa+b斗a_bax=質(zhì)=2亦,(ia+b+也_b鳥=辰=4, 即a+b+片-b的最小值是 4，最大值是2弱.【考點(diǎn)】平面向量模長運(yùn)算8.【2017

13、浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD AB BC AB= BC= AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)B. I1；：13；：12CI3；：I1；：I2DI2；：11；：I3【答案】C【解析】因?yàn)?AOB =/COD 90,OA：OC,OB：OD，所以0 OA OB OC OD，故選 Co【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積運(yùn)算4-+9.【2017 江蘇，12】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量 OA , OB , OC 的模分別為 1,1, . 2 , OA 與 OC 的夾角a_b八1222 2 1 2 cos 5匚4cos；,O,記Is=OC OD，貝 UA. h ； ：I?； ：【解析】設(shè)AOAOB,I2=

14、 OB OC ,13ttI為：-,且 tan : =7, OB 與 OC 的夾角為 45 .若 OC =mOA nOB （m,n 三R）,貝 U m n =.2 10所以m n = 3.【考點(diǎn)】向量表示10.【2017 江蘇,16】 已知向量a =(cosx,sin x),b=(3, 3), x 三0,n(1) 若a/b,求x的值；(2)記 f (x)= a b,求 f (x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.【答案】(1) 52(2)x=0時(shí)，f x取得最大值，為 3； 乂二戸時(shí)，f x取得最小值，為-2 3.【解析】解：(1)因?yàn)閍 =cosx,sinx,b = 3, 、3,a/b,所以-

15、、.3cosx =3s inx.22若cosx = 0，貝U sinx = 0,與sin x cos x = 1矛盾，故cosx = 0.于是tanx二3又0,nl,所以x二耳6(2)f x二a b二cos x,sinx3, -、3 =3cosx-、3sinx = 2、_3coslx 【答案】3【解析】由tan=7可得sin二10ncos45mcos：二, 2n sin45 ms in：=0BOA(第 12 題)COS10，根據(jù)向量的分解，15因?yàn)閍 n,所以x+n.in,7n 16 16 6從而訂斗于是，當(dāng)x，即x=0時(shí)，f x取到最大值 3；6 6冗5n當(dāng)x，即x時(shí)，f x取到最小值-2；

16、3.66【考點(diǎn)】向量共線，數(shù)量積171.【2016 高考江蘇卷】如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn),E,F是A, D上的兩個(gè)三等分點(diǎn),T TBC CA=4,，貝U BE1的值是【解析】因?yàn)?jA.CA = dBC-AB)-LBC-AB)=AADBC= BC2244麗W旋二亦（二嵐冷殛竺輕-，因此 FD1=S211BE CE(BC - ED) (-BC - ED)22【2015 高考山東，文 4】已知菱形(A) 3a221222 24ED -BC16FD -BC7448.T TABCD的邊長為a,ABC= 60：,則BD CD =2s 32/、32a(C)a(D)a42【答案】【解析】DTTTT

17、T 22 C因?yàn)锽D CD =BD BA N BA BC BA BA BC BA = a a cos60、故選 D.【2015 高考陜西，文 7】對(duì)任意向量a,b，下列關(guān)系式中不恒成立的是（BF CF二-1( )(B) 一34RCDN.2NC，則AMNM.【答案】C【解析】A. |a b|a|b|2 2C. (a b) =|a b|.(a b)(a -b)【答案】B【解析】因?yàn)閍耳=同”cos(a,b)b，所以選項(xiàng) A 正確;當(dāng)a與b方向相反時(shí),不成立，所以選項(xiàng)B 錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；a b a - b = a所以選項(xiàng) D 正確.故選 B.【2015 高考四川，

18、文 7】設(shè)四邊形 ABCD 為平行四邊形，AB =6,AD=4.若點(diǎn)M,N滿足BM =3MC,(A) 20(B) 15(C) 9(D) 6a b19C.313 一CNrAD1AB，所以3AM1(4 AB4(4AB -3AD) (16AB 9AD)丄(16 36 -9 16)=9，選4848【2015 高考安徽,文 8】.mC則下列結(jié)論正確的是（）(C)a b=1(D 4a b _ me【答案】D【解析】如由題武 BC= AC-AB =T2)，所以 =(2 , 1) ,=(-1 , 2)，所以A.-12.已知 ei, e2是單位向量,m=e+2e2, n=5ei-4e2，若 mln,貝Uei與

19、e2的夾角為()1高考沖剌】TT1.已知正方形 ABCD 勺邊長為 2, E 為 BC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 的中點(diǎn)，則 =()1327【解析】選因?yàn)閙丄a, |ei|=|e2|=l?所以m-n=(ei+2e2)-(5ej-4e2)=5創(chuàng)耳缸j e-SeiS+fiei e2=C.即a e2=|.設(shè)“與ei的夾角為6,則cosfl= Ic I II =7因?yàn)橛毿牡A(chǔ)所以日孚3. 若向量 a=(1 , 2) , b=(1 , -1)，貝 U 2a+b 與 a-b 的夾角等于()71TT713?1AB.C.D.【解析】選 C.因?yàn)?2a+b=(3 , 3), a-b=(0 , 3),設(shè) 2a+b 與

20、a-b 的夾角為 a ,(勿丨 b) “(口一b)9n所以 COSa=b (t b=匪上=.又 0 ,n，故a=:.TTT4. 如圖，在 ABC 中，O 為 BC 中點(diǎn)，若 AB=1, AC=3AC=60，則 | 陽 |=()C.D.5【解析】選 C.根據(jù)題意，O 為 BC 中點(diǎn),所以 =(+),|12=(小+2+)=(12+2X1X3Xcos60+32)=A/13T -所以|=.295.已知平面向量 m, n 的夾角為，且|m|= J , |n|=2，在 ABC 中，.=2m+2nTT-=2m-6n,二= ，則 |廠|=()A.2B.4C.6D.8【解析】選乩因?yàn)榕笕?所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)

21、,所以AD=(A&FAC)=2m-2Q又因?yàn)閘mH/3 |n|=2,平面向量叫口的夾角為竟所以|AD|=2|m-ii|=2 J一=2 J 3 + 4 - 2 xy/3X 2 X字=2a (0 ,n)，貝 U與的夾角為()ITITA；B.C.nD.n【解析】選 A.由題意，得 +=(3+cosa, sina),6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),A(3，0)，B(0，3)，C(cosa，sin)，若+|= -1T T所以|OA-I-OC|=7/(3+ cos a) +sin2a710 + 6casa=Vl3,即cosa=-j- 2因?yàn)閕t),所以a=7； C(p ).T T設(shè)OB與

22、M的夾角為R,OE PC訴竝|OE| |OC|?X1* 因?yàn)橛?,兀所以B豐7.已知直線 ax+by+c=0 與圓 O:x2+y2=1 相交于 A,B 兩點(diǎn)，且 AB=，則A.-B.C.-D.O貝UAC=，又因?yàn)?OA=1,fl AC晶所以 sin=sin / AOC=,所以/ AOB=120 ,TTcos6=- 的值是（）31則=1X1Xcos120 =-.TT8.在厶 ABC 中，AB=4, AC=3ACf=1,則 BC=()A.B.C.2D.3【解析】選 D.設(shè)/A=0 ,因?yàn)?=-,AB=4, AC=32所以川 f .EC=AC -AC E=9-川匚川 B=i.AC-AB8所以二L .d：=8.cos0=；，；火龍=,16 + 9-2x4 x3x|所以 BC=3.【解析】選 D.因?yàn)?a，b 是單位向量，且 a b=0，所以不妨設(shè) a，b 分別是與 x 軸，y 軸正方向相同的單位向量, 即 a=(1，0)，b=(0，1).設(shè) c=(x，y)，貝 U c-a=(x-1，y)，c-2b=(x , y-2) , c+2a=(x+2 , y),所以 |c-a|+|c-2b|=+=,上式的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P(x , y)到定點(diǎn) A(1 , 0) , B(0 , 2)的距離之和為的點(diǎn)的集合,|c+2a|=亠.亠的幾何意義是