2018全國(guó)卷1理數(shù)試題及答案

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng):1 ?答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2?回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合3 ?考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。題目一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 要求的。1i1?設(shè)z2i，則|z卜C?1D? 八21 +i1A ?0B ?-22.已知集合A =0，貝U宗A(yíng) =B?:x一1空xZ2D.、x| X

2、 _ -1U、x| X _ 2C.、x| x: :-1fU x | x 2:3 ?某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是A.x-1cxc2建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例種植咗人第三產(chǎn)業(yè)收入其他收入種植收人三產(chǎn)業(yè)收入其地收入A ?新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B?新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C?新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D ?新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an!的前n

3、項(xiàng)和，若3S3 = S2S4,ay=2，則a5口A(yíng).-12B .-10C.10D.125.設(shè)函數(shù)f(x) =X3? (a -1)x2ax，若f(x)為奇函數(shù)，貝U曲線(xiàn)y二f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為A .y ?2xC .y=2x在厶 ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn)，貝V EB =C.3AB1AC4其余部分記為 III .在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自 I , 11 , III 的概率分別記為 P1, P2, P3,則D.ETC44某圓柱的高為 2，底面周長(zhǎng)為 16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱

4、側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A .2 .172設(shè)拋物線(xiàn) C: y =4x 的焦點(diǎn)為 F2的直線(xiàn)與 C 交于 M , N 兩點(diǎn)，貝U TM FN= 過(guò)點(diǎn)(-,0 )且斜率為一3f(x)=X蘭：g(x)= f(x)+x+a.若 g( x)存在 2 個(gè)零點(diǎn)，貝ya 的取值范圍是Jn x, x 0,已知函數(shù)0)B.0,+8)C.- ,+8)D.1,+8)10 .下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角ABC 的斜邊 BC,直角邊 AB , AC .AABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為 II,BA . P1=P2B . P1=

5、P311.已知雙曲線(xiàn) C: -y2=1 , O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 為 C 的右焦點(diǎn)，過(guò) F 的直線(xiàn)與 C 的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)3分別為 M、N.若厶O(píng)MN 為直角三角形，貝 U |MN|=3A .-2B . 3C. 23D. 412.已知正方體的棱長(zhǎng)為1 ,每條棱所在直線(xiàn)與平面a所成的角相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為A . 31B.二C. 口D . -J4342、填空題：本題共 4 小題， 每小題 5 分，共 20 分。Jx -2y -2 014.記 Sn為數(shù)列aj的前 n 項(xiàng)和，若 Sn=2% +1，則 S6=_15.從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1

6、位女生入選，則不同的選法共有 _種.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)16._ 已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin2x，貝U f (x )的最小值是_ .三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：60 分。17.(12 分)在平面四邊形ABCD中，.ADC =90,. A = 45*,AB= 2,BD=5.(1)求cosAADB；(2)若DC= 2 2，求BC.18.(12 分)13?若 x，y滿(mǎn)足約束條件x-y?1_0，則 z=3x?2y 的最大值為y1721 題為必考題，每個(gè)試題考生如圖，四邊形ABCD為

7、正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF _ BF.(1)證明：平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值19.（12 分）x設(shè)橢圓C :y =1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)I與C交于A(yíng),B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).2(1)當(dāng)丨與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；(2)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.OMA =/OMB.20.( 12 分)某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品？檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20 件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品

8、作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0: : :p . 1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記 20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)P。.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了 20 件，結(jié)果恰有 2 件不合格品，以(1)中確定的p。作為p的值.已知每 件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為 2 元，若有 不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠(chǎng)要對(duì)每件不合格品支付25 元的賠償費(fèi)用.(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？21.(12 分)、，1已知函數(shù)f (

9、x)x aln x.x(1)討論f (x)的單調(diào)性；fxf-x(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,X2，證明：:a_2.% x2(二)選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選修 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的方程為y=k|x2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為 專(zhuān)？2TC0SV -3 = 0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C!與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C!的方程.23. 選修 4 5 不等式選講 (10 分)已知f(x) =|x 1| -|ax-1|

10、.(1) 當(dāng)a =1時(shí)，求不等式f(x) 1的解集；若(0,1)時(shí)不等式f(x) x成立，求a的取值范圍2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案:123456789101112CBABDABDCABA13.614.-6315.1616. -3 3217. （12 分）解:（1）在厶ABD中由正弦定理得BDAB? 1?sin / A-si n . ADB由題設(shè)知，52，所以sin.ADB -.sin 45si nN ADB5由題設(shè)知，NADB v90?，所以cos/ADB = Ji2 =返.V 255（2）由題設(shè)及（1）知,cos BDC =sin ? ADB在厶 BCD中，由余弦

11、定理得BC2二BD2DC2-2 BD DC cos BDC=25 8 -2 5 2 .2-25.所以BC =5.18. （ 12 分）解：（1）由已知可得，BF 丄 PF, BF 丄 EF，所以 BF 丄平面 PEF.又BF平面 ABFD，所以平面 PEF 丄平面 ABFD.（2）作 PH 丄 EF，垂足為 比由（1）得，PH 丄平面 ABFD .以 H 為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)?y 軸正方向，| BF |為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則X1 .2, x?2,直線(xiàn) MA, MB 的斜率之和為kMA二 .二 卩一.：二二FF 二:. FF 二Fl=? 故 PE 丄 PF.33

12、3、3),D(-1,0), DP =(1-,), HP=(0,0,所以 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值為 二319. (12 分)解：(1)由已知得F(1,0), I 的方程為 x=1.由已知可得，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(1弓或(1肓).或再好所以 AM 的方程為y二當(dāng) I 與 x 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)I 的方程為y = k(x1)(k = 0),A(x1, yj, B(x2, y?),可得PH#,EH設(shè) DP 與平面 ABFD 所成角為二，貝U si nr-IIf AI HP| |DP|由(1)可得,則H (0,0,0), P(0,0,3)為平面 ABFD 的法向量.(2)當(dāng) I 與 x

13、軸重合時(shí),OMA OMB =0當(dāng) I 與 x 軸垂直時(shí)，OM為 AB 的垂直平分線(xiàn)，所以？OMA=/OMB.由yAi= kxAi-k, y2= kx2-k得2kXiX2-3k(x,X2) 4kkMAkMB(X!-2)(X2-2)從而kMA- kMB=0,故 MA, MB 的傾斜角互補(bǔ)，所以NOMA =? OMB綜上，.OMA二.OMB20.(12 分)解：(1) 20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為f(p)二C；0p2(1- p)18.因此f (p)=c2o2p(1-p)18-18p2(1-p)17r2C；0P(1-p)17(1-10p).令f (p) =0,得p =0.1.當(dāng)p (0,

14、0.1)時(shí)，f (p)所以f(p)的最大值點(diǎn)為P0=0.1.(2)由(1)知,p =0.1.Y : B(180,0.1)，X =20 2 25丫，即X =40 25Y.所以EX =E(4025Y) =40 25E丫=490.(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400 元.由于EX 400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).21. ( 12 分)解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,二)，f (x)=-1旦=_-ax4.X Xx(i)若a乞2，則f (x)乞0，當(dāng)且僅當(dāng)a = 2，x =1時(shí)f (x) =0，所以f (x)在(0：)單調(diào)遞減.將y = k(x -1)代入一y22=1得

15、2 2 2 2(2k1)x -4 k x 2k -2=0所以，X!X2轡，XX22k2十12k222k21則2kx1X2-3k(x.iX2) 4k =Wrktk38k3J。2k210;當(dāng)p (0.1,1)時(shí)，f (p): :0.(i)令丫表示余下的 180 件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知(ii)若a 2，令f (x) =0得,a + Ja2-4或2a一yja2-4 a + Ja?_4當(dāng)x (0,)U(,時(shí)，f (x)：0 ；2 2兀兀4)時(shí)，f (x) o. .所以f(x )在(of亠亠,(a-肯一：) )單2 2 2 2調(diào)遞減，在(a Al,a八單調(diào)遞增.2 2(2)由(1)知，f (x)

16、存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a 2.由于f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn) 洛公2滿(mǎn)足x2-ax T = 0，所以XM =1，不妨設(shè) 論：x?，則x?1.由于所以昨昨- -:a _2等價(jià)于丄- -X22ln X2：0. .捲一X2X21設(shè)函數(shù)g(x) x 2In x，由(1)知，g(x)在(0, ?:)單調(diào)遞減，又g(1) = 0，從而當(dāng)X (1/:) x時(shí)，g(x): :0.所以丄必2lnX2；即丄兇空心-2.X2為-X222. 選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10 分)【解析】(1)由X=cosr,y = s inn得c?的直角坐標(biāo)方程為(x,1)2?y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0)，半徑為2的圓.由題設(shè)知，G是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線(xiàn).記y軸右邊的射線(xiàn)為I1,y軸左邊的射線(xiàn)為|2?由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于h與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且|2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或I2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且h與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).I_k+2| c4當(dāng)I1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到I1所在直線(xiàn)的距離為2，所以=2- 2，故k或k =0.當(dāng)X?(aa2一4,af (Xi) - f(X2)xA -X2-1 aXXIn論一In X2-2ln X2-2 a1 X2X2Jk2+134經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，I1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)