2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3講柯西不等式與排序不等式2一般形式的柯西不等式學(xué)案新人教

1、C. 3D.4二一般形式的柯西不等式-1學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航I-1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式.（重點(diǎn)）2會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【答案】設(shè)a1,a2,a3,，an,d, b2,b3,，bn是實(shí)數(shù)，則2 2 2 2 2 2 2(a1+a2+ +an)(m+b2+ +bn)(ab+a2b2+ +anbn).當(dāng)且僅當(dāng)b=0(i=1,2，n）或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kb（i=1,2，n）時(shí)，等號(hào)成立.階段1認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)鋌知識(shí)梳理要蠱初探基礎(chǔ)初探教材整理1三維形式的柯西不等式閱讀教材P37P38“探究”以上部分，完成下列問(wèn)題.設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,bsR,貝U(

2、a?+a2+a3)(b1+b+b3)(ab+a?b2+a3b3)2.當(dāng)且僅當(dāng)b=b2=b3=0或存在一個(gè)數(shù)k，使得a=kb（i=1,2,3）時(shí)，等號(hào)成立.我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式.已知X,- O儆體驗(yàn)Iy,zR+且x+y+z=1，貝U x2+y2+z2的最小值是A. 11B.3D. 2【解析】根據(jù)柯西不等式,A1 12 2 2 2“2“2、/2 2 2、x+y+z=-(1+1+1 )(x+y+z)-(1xx+1xy+1xz)2=3(x+y+z)2_1=3.教材整理2一般形式的柯西不等式閱讀教材P38P40,完成下列冋題.tC. 3D.4已知a1+a2+ +an=1,x?+x2+x

3、2=1,則ax+a?x2+anxn的最大值是()B. 2A. 13【解析】(axi+82X2+ +anXn)2w(a(+a2+ +a(x2+x!+ +)=1x1=1,當(dāng)且X1X2Xn,僅當(dāng)=a= =i時(shí)取等號(hào)，aia2an aixi+2X2+-+anXn的最大值是1.【答案】A質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問(wèn)1：解惑:解惑：q疑問(wèn)3:解惑：合作探究通關(guān)（分組討論疑難細(xì)究小組合作型$利用柯西不等式求最值時(shí)a，b,c的值.【精彩點(diǎn)撥】123由于+u+=2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來(lái),a b C利用柯西不等式求解.123 _+匚+_彫令bc丿(3c)232

4、( a)2+(2b)2+疑問(wèn)2：例 已知123a,b,c(0,+),+ + =2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值a b c【自主解答】3+1.住 + r2+3c24a+2b+3c取得最小值18.利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時(shí),要注意等號(hào)成立的條件.I_I再練一題2 2 21.已知x+4y+9z=1，求x+y+z的最小值.【解】由柯西不等式，知2 2 2 2 2 2 2(x+4y+9z)w(1+4+9 )(x+y+z)2 2 2=98(x+y+z).又x+4y+9z=1,1-x+y+z98,(*)當(dāng)且僅當(dāng)x=4=9時(shí)，等號(hào)成立，129-x=98

5、，y=49,z=98時(shí)，(*)取等號(hào).立，求入的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】“恒成立”問(wèn)題需求 斗 + + 的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式x+y y+z z+x求最值.【自主解答】/x0,y0,z0.且x+y+z=xyz.1xTy+因此,1X2+y2+Z2的最小值為98.1 1 1已知正數(shù)x,y,z滿足X+y+z=xyz，且不等式 書(shū)+帀+入恒成卜例1 1 1 一+一+一=1.yz xz xy5應(yīng)有入可以嗎?1 1 1宀yz+ 一zxxy1,11 1xy+十yz1丄邁迢zx=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z,即x=y=z=3時(shí)等號(hào)成立.*+*+士的最大值為T.故丁x+y卜 W +冷一w入恒成立因此入的取值范圍是

6、嗔七.應(yīng)用柯西不等應(yīng)用定理.首先要對(duì)不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”AI_ _I再練一題2已知實(shí)數(shù)b,c,d滿足a+【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750052】【解】由a+b+c+d=3，得b+c+d=3a,由a2+2b2+3c2+6d2=5, 得2b2+3c2+6d2=5a2,（2b2+3c2+6d2）1+3+6（b+c+d）2, 即2b+3c+6d（b+c+d）.22由條件可得，5-a（3a），解得191.當(dāng)a,b是正數(shù)時(shí)，柯西不等式變形為(ai+a2+an)(bi+b2+bn)aibi+a2b2+anbn)2.2.本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù)，創(chuàng)造使用柯西不等式的條件.在運(yùn)用柯西不

7、等式時(shí)，要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組.再練一題3.已知函數(shù)f(x)=m- |x2|,rr R,且f(x+2)0的解集為i,i.(i)求m的值;+i i i若a,b,cR,且a+2C+3c=m求證：a+2b+3c9.【解】因?yàn)閒(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等價(jià)于|x|wm由|x|wm有解，得mo,且其解集為x|mexwn.又f(x+2)0的解集為i,i，故m= i.1 1 1 一證明：由知尹曠曠i.又a，b,cR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b卜例已知a,b,cR,求證:a b c b c aC+c+aa+b+亠9.【精彩點(diǎn)撥】對(duì)應(yīng)三維形

8、式的柯西不等式，ai=,而aibi=a2b2=a3b3=1,因而得證.【自主解答】a,b,CR+,a b b+c+CXba2=c,a3=b2=bb3=c+b+C2+cj】x【a+：2+Caxb+C+b2+c8構(gòu)建體系+3c)課堂回饋即時(shí)達(dá)標(biāo)9 |a1+ a2H+anbn|w即一2wab1+a2b2+anbnw2, T丄bi(i=1,2，n)時(shí)，右邊等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)ai= ；b(i=1,2，n)時(shí)，左邊等號(hào)成立，故選B.【答案】B3.(2014陜西高考)設(shè)a,b,m nR,且a2+b2=5,m時(shí)nb=5,則Qm+n2的最小值為_(kāi).階段3.體驗(yàn)落實(shí)評(píng)價(jià)1.設(shè)a=(2,1,2),|b|=6,貝Ua

9、b的最小值為()A. 18C.18【解析】Ia.(a+b+C)a+b+ca b c當(dāng)且僅當(dāng)=；= =k(k0)時(shí)等號(hào)成立.236；4 936故(a+b+c)b+C的最小值是121.【答案】1215.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.【解】由柯西不等式得2 2 2 2(x+4y+z)(1+1+1)(x+2y+z)./ x+2y+z=1,2 2 2 2 2 21 3( x+4y+z)1,即卩x+4y+z3.311111當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=z=3,即x=3,y=-,z=3時(shí)等號(hào)成立.故x2+4y2+z2的最小值為-.33633我還有這些不足:(1) _我的課下提

10、升方案：_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.設(shè)a,b,cQ,且a+b+c=1,則，a+. b+Jc的最大值是()A. 1B. 3C. 3D.9【解析】由柯西不等式得(a)2+( . b)2+.c)2(12+12+12)( .a+. b+. c)2,=(a)2+(b)2+(c)262.c=121，12(a+b+c)2w3X1=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)等號(hào)成立.a+-jb+c的最大值為,i3.故選B.【答案】B22 22.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=9，則- +匸+ -的最小值為（）a b c【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750054】2 2 2 + + 2.A. 4B.

11、3C. 6D.2【解析】2 2 2、(a+b+ c)a+b+c=(a)2+(b)2+(c)2.a:+ .b : b+c13a b c【答案】Da1+a2+ +an,a2+a2+ +annai+a2+an,2 2 2ai+a2+anai+a2+an-【答案】B4.若實(shí)數(shù)x+y+z=1，貝U F=2x2+y2+3z2的最小值為(3.設(shè)ai,a2，an為實(shí)數(shù)，P=22 2a1+a2+ &8ai+a2+ +A. PQC. PvQB. PQD.不確定【解析】? 丄丄V 尸-Q + 1 +1廠大小關(guān)系為（)由柯西不等式知CXILCXIL【帳他】畀起ICO。He品上CXICXIL Lq(Nroq(N

12、roH汕M汕dLAo6+q寸+e品J(oe+qcxl+e)A(J+J+L)(z06+q寸十Ze).LLCDHogxL+qXL+eXLoHoe+qcxl+e 【準(zhǔn)匯】 dH、w星o6+zq寸亙oHoe+qCXI+e .or。q曲星m卜2【姜】6寸20區(qū)宦曲【疙匯】 X9gAI +1 +16寸L釘異吐？A + X)9.000.8 nlnenlneCFmzCFmze e=A=A= =xCXIMlclxCXIMlclLLLL9 3s6J/Z“+A+X+ +A+X2).LL7LL0 9.8+oils.N寸十寸十 公更-A.N寸十、寸+x寸宦HZZ+ZLH*+A+X公更LHZ+A+Xz+A+Xdd 0 0

13、 ACXI+XACXI+X - - XCXIXCXI+z+z、ZCXI+AZCXI+A+2 2+ +4 4 ff心+x x XCXI+ZXCXI+Z zcxl+4zcxl+4 Ad4Ad4 d dAw+xrL =Alcxl+xr -+X3+N11+ + ; ; ZcxlZcxl+Ar+ArX X + + XCXI+ZXCXI+Z + + ZCXI+A).ZCXI+A).!H、Ir5z寸+寸+寸怪LzAXLHZ+A+X 哽BzAX懸円星m一與CXI+gCXI+g與CXICXI9一(L)63CXI3CXI9 9 H H ( (芯)cxlcxl (CXI(CXI4 4) )(L(L十4 4eo.eo

14、.TLHLH-pJNCXI+ANCXI+AL LX XL L+ gwzcxlAXG1.【證明】由于f(X)=ax2+bx+c,且a,b,c大于0,2 2f(X1)f(X2)=(ax+bx1+c)(ax2+bx2+c)ax1ax2+bx1bx2+c)2=(ax1X2+b X1X2+c)2=f(X1X2)2=f(1)2.又f(1)=a+b+c,且a+b+c=1,f(X1)f(X2)1.能力提升A2門 注b*b?a；Ib=3.當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=b=陽(yáng),即a=b=2時(shí)等號(hào)成立,當(dāng)a=b=2時(shí)，a+【答案】B_ 2 2 2 2 2 22.設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù)，且a+b+c=10,x+y+z=4

15、0,ax+by+cz=2 0,1A. 41B.3C.1D.3【解析】由柯西不等式得，(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=400,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c x yz扣取等號(hào)，因此有咋=2a+b+c=1,求證：對(duì)于任何正1.右2ab0,貝V a+扣一 b4b的最小值為（A.B. 3C.D.12【解析】T2ab0, 2ab0,-a+介b+b+2a-b tb217【答案】C183._已知a,b,cR+,且a+b+c=6,則寸2+寸2b+1+寸2c+3的最大值為 _【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750055】【解析】由柯西不等式得：(.2a+、；2b+1+ ,/2c+3)=(1x.J 2a+1x /2b+1+1X2c+3)2W(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3)=3(2x6+4)=48.當(dāng)且僅當(dāng)2a=2b+1=2c+3,即2a=2b+1=2c+3時(shí)等號(hào)成立.,8137又a+b+c=6,.a=-,b=,c=$時(shí)，3662a+2b+1+2c+3取得最大值4.3.【答案】4 34.