三極限的概念

1、第三節(jié)極限的概念極限思想是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法-割圓術(shù)（參看光盤演示），就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用又如，春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在莊子天下篇一書中對(duì)“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰,日截其半，萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義分布圖示極限概念的引入數(shù)列的極限例1例2數(shù)列的極限的引入自變量

2、趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限例3例4例5自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限例6函數(shù)的左極限與右極限例7例8極限的性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題1-3內(nèi)容要點(diǎn)、數(shù)列的定義、數(shù)列的極限；-N論證法，其論證步驟為:（1）對(duì)于任意給定的正數(shù):,令|Xn-a|：；（2）由上式開始分析倒推，推出n;:（0；（3）取N=：:（；），再用；-N語言順述結(jié)論三、數(shù)列的極限的引入四、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限五、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限六、函數(shù)的左極限與右極限例題選講數(shù)列的極限例1（E01）下列各數(shù)列是否收斂，若收斂，試指出其收斂于何值2右(3)(1)"；(4廠弓訝解數(shù)列2n即為2,4,8,2n.易見，當(dāng)n無限增大

3、時(shí)，2n也無限增大，故該數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列丿I即為6,111*23n1易見，當(dāng)n無限增大時(shí)，-無限接近于0,故該數(shù)列收斂于0;n數(shù)列(-1)n'即為1,-1,1,-1,(-1)n1,而不會(huì)無限接近于任易見,當(dāng)n無限增大時(shí)，(-1)n'無休止地反復(fù)取1、-1兩個(gè)數(shù),何一個(gè)確定的常數(shù)，故該數(shù)列是發(fā)散的；n1(4)數(shù)列，*即為.n,c123n-10_亠234nn1易見，當(dāng)n無限增大時(shí)，丄無限接近于1,故該數(shù)列收斂于1.n十(1)nJ例2(E02)證明limn)npC證由|xn-1|=n-4n(-1)-11，故對(duì)任給；0,要使IXnn1-1卜：；，只要，n1即n所以，若取N=1即n所以，

4、若取N=j則當(dāng)nN時(shí)，就有比一n+(-1嚴(yán)n+(-1嚴(yán)-1n1.n(-1)一qlim1.例3(E03)求極限lim1-.x丿解11因?yàn)楫?dāng)x的絕對(duì)值無限增大是時(shí)，-無限接近于0,即函數(shù)11無限接近于常數(shù)xx1,所以1lim11.X廠x例4（E04）討論極限limsinx.pc解觀察函數(shù)y=sinx的圖形（如圖）易見:當(dāng)自變量x的絕對(duì)值|x|無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在區(qū)間-1,1上震蕩，不能無限接近于任何常數(shù).所以極限limsinx不存在.x_例5（E05）討論極限limarctanx,limarctanx,及l(fā)imarctanx.nT比解當(dāng)x）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y無限接近于常數(shù)；X廠時(shí)，對(duì)應(yīng)的函

5、數(shù)23T值y無限接近于常數(shù).2所以極限所以極限jilimarctanx二一x231limarctanx二x)2由于limarctanx=limarctanx,所以極限limarctanx不存在nT*nT說x例6（E06）試根據(jù)定義說明下列結(jié)論：（1）limx=x0;（2）limC=C（C為常數(shù)）.x0解（1）當(dāng)自變量x趨于x°時(shí)，顯然，函數(shù)y=x也趨于x0,故limx二x0;xx0（2）當(dāng)自變量x趨于x時(shí)，函數(shù)y二C始終取相同的值C,故limCXf0例7(E07)例7(E07)設(shè)f(x)二x,x_0,求limf(x).-x1,x:0x>0解因?yàn)閘imf(x)x_0-=lim(x1)=1,limf(x)=limx=0.x討x)0亠x0亠即有l(wèi)imf(x)=limf(x),所以limf(x)不存在.0x0x0例8設(shè)f(x)=丿,求limf(x).X0.兩個(gè)單側(cè)極限為2limf(xHlimf(x1)=1.1-x,x蘭0x2+1,xK0解x=0是函數(shù)的分段點(diǎn)，如圖limf(x)二limf(1x),x_0x_0-左右極限存在且相等，故limf(x)=1.數(shù)列極限的唯