三極限的概念

1、第三節(jié)極限的概念極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法-割圓術(shù)（參看光盤演示），就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在莊子天下篇一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰,日截其半，萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義分布圖示極限概念的引入數(shù)列的極限例1例2數(shù)列的極限的引入自變量

2、趨向無窮大時函數(shù)的極限例3例4例5自變量趨向有限值時函數(shù)的極限例6函數(shù)的左極限與右極限例7例8極限的性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題1-3內(nèi)容要點、數(shù)列的定義、數(shù)列的極限；-N論證法，其論證步驟為:（1）對于任意給定的正數(shù):,令|Xn-a|：；（2）由上式開始分析倒推，推出n;:（0；（3）取N=：:（；），再用；-N語言順述結(jié)論三、數(shù)列的極限的引入四、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限五、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限六、函數(shù)的左極限與右極限例題選講數(shù)列的極限例1（E01）下列各數(shù)列是否收斂，若收斂，試指出其收斂于何值2右(3)(1)"；(4廠弓訝解數(shù)列2n即為2,4,8,2n.易見，當(dāng)n無限增大

3、時，2n也無限增大，故該數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列丿I即為6,111*23n1易見，當(dāng)n無限增大時，-無限接近于0,故該數(shù)列收斂于0;n數(shù)列(-1)n'即為1,-1,1,-1,(-1)n1,而不會無限接近于任易見,當(dāng)n無限增大時，(-1)n'無休止地反復(fù)取1、-1兩個數(shù),何一個確定的常數(shù)，故該數(shù)列是發(fā)散的；n1(4)數(shù)列，*即為.n,c123n-10_亠234nn1易見，當(dāng)n無限增大時，丄無限接近于1,故該數(shù)列收斂于1.n十(1)nJ例2(E02)證明limn)npC證由|xn-1|=n-4n(-1)-11，故對任給；0,要使IXnn1-1卜：；，只要，n1即n所以，若取N=1即n所以，

4、若取N=j則當(dāng)nN時，就有比一n+(-1嚴(yán)n+(-1嚴(yán)-1n1.n(-1)一qlim1.例3(E03)求極限lim1-.x丿解11因為當(dāng)x的絕對值無限增大是時，-無限接近于0,即函數(shù)11無限接近于常數(shù)xx1,所以1lim11.X廠x例4（E04）討論極限limsinx.pc解觀察函數(shù)y=sinx的圖形（如圖）易見:當(dāng)自變量x的絕對值|x|無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值y在區(qū)間-1,1上震蕩，不能無限接近于任何常數(shù).所以極限limsinx不存在.x_例5（E05）討論極限limarctanx,limarctanx,及l(fā)imarctanx.nT比解當(dāng)x）時，對應(yīng)的函數(shù)值y無限接近于常數(shù)；X廠時，對應(yīng)的函

5、數(shù)23T值y無限接近于常數(shù).2所以極限所以極限jilimarctanx二一x231limarctanx二x)2由于limarctanx=limarctanx,所以極限limarctanx不存在nT*nT說x例6（E06）試根據(jù)定義說明下列結(jié)論：（1）limx=x0;（2）limC=C（C為常數(shù)）.x0解（1）當(dāng)自變量x趨于x°時，顯然，函數(shù)y=x也趨于x0,故limx二x0;xx0（2）當(dāng)自變量x趨于x時，函數(shù)y二C始終取相同的值C,故limCXf0例7(E07)例7(E07)設(shè)f(x)二x,x_0,求limf(x).-x1,x:0x>0解因為limf(x)x_0-=lim(x1)=1,limf(x)=limx=0.x討x)0亠x0亠即有l(wèi)imf(x)=limf(x),所以limf(x)不存在.0x0x0例8設(shè)f(x)=丿,求limf(x).X0.兩個單側(cè)極限為2limf(xHlimf(x1)=1.1-x,x蘭0x2+1,xK0解x=0是函數(shù)的分段點，如圖limf(x)二limf(1x),x_0x_0-左右極限存在且相等，故limf(x)=1.數(shù)列極限的唯