2017年高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀+命題熱點(diǎn)突破)專題15橢圓、雙曲線、拋物線文

1、專題15橢圓、雙曲線、拋物線文【考向解讀】1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)特別是離心率，上以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系弦長、中點(diǎn)等 |【命題熱點(diǎn)突破一】圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1 圓錐曲線的定義(1) 橢圓：|PFI + |PF2| = 2a(2a|F1F2I);(2) 雙曲線：|PF| |P冋| = 2a(2a1)與雙曲線C2：二-y=1(n0)的焦點(diǎn)重合,mne1,e2分別為C,C2的離心率，則()A.mn且 8 匕1B .nn且 eG21C .n1D .mn且 &e2l,可得n /時(shí)-1科亠+1嚴(yán)1I 1，故術(shù)勺1故府n*m*w*n* 1w*n+2w*選A

2、.【特別提醒】(1)準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定.【變式探究】X2V2也(1)已知橢圓 C：2+2= 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、H,離心率為 ，過F2的直線I交C于AB兩a b3點(diǎn).若AFB的周長為 4,3,則C的方程為()2 2 2AX+V= 1 BX+y2= 13 十 23 十 y2 22 222例 2、【2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】已知0為坐標(biāo)原點(diǎn),X2F是橢圓C:a b專=1(ab 0)的已知雙曲線 字一b2= i(a0,b0)的

3、一條漸近線過點(diǎn)(2 , - 3)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y=4 7x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()【答案】(1)A(2)D又衛(wèi)朋廳的周長為4逅由橢圓定義，得妙尸 4 詰，得尸詰代入得尸,：&=金一=2,故 C 的方程為扌+ ?=】雙曲麻-音=1 的漸近線方程為尸土紜又漸近線過點(diǎn) W),所以空二扳即存辰aDaa拋物線比血的準(zhǔn)線方程為尸_品宙已知，得需+尸=遲 即聯(lián)立解得孑二 4F=3,所求雙曲線的方程為 j-f-b 選 E【命題熱點(diǎn)突破二】圓錐曲線的幾何性質(zhì)y=注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.亠J 121 28B. = 128 212 21 橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系(1)在橢圓

4、中：a2=b2+c2,離心率為e=C=a1-b2；(2)在雙曲線中:C2=a2+b2,離心率為e=c2 22雙曲線02-=1(a0,b0)的漸近線方程為c【解析】由出B3A,B分別為C的左，右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PF _x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸3交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過0E的中點(diǎn)，貝 UC的離心率為()1123(A)丄(B)丄(C) -( D33234【答案】A【解析】由題竜設(shè)直線f的方程為y =分別令兀=弋與x=0得|砒|=陽-小10E|IOE=ka.設(shè)0E的中點(diǎn)為N,則厶OBWHFRM、則七FM | BF|理:fl J所以橢圓c的離心率?故選A.a 332 2【變式探

5、究】橢圓r:廿b2= 1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，焦距為 2c.若直線y= 3(x+c)與橢圓r的一個(gè)交點(diǎn)M滿足/MFF2= 2/MFFi，則該橢圓的離心率等于 _2 2(2)(2015 西北工業(yè)大學(xué)附中四模)已知雙曲線 扌一b2= 1 的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F，過Fi作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C,且|Bq=|CF|，則雙曲線的漸近線方程為()A.y=3xB.y=22xC.y=(3+1)xD.y=(31)x【答案】(1)3 1 (2)C【解析】(1)直線 3(x+c)過點(diǎn) Fd c,0)，且傾斜角為 60,所以/MF2= 60,從而/ M(FF

6、=30,所以MF丄MF.在 Rt MFF2中，IMF =c, |MF| = . 3c,所以該橢圓的離心率1.(2)由題意作出示意圖,A,B分別為C的左，右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PF _x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸4bcoszCFF2=一c5又由雙曲線的定義及|BC= |CF|可得|CF| - |CF| = |BF| = 2a,|B冋-|BF| = 2a? |BFF= 4a,22b2bb -b 2ab- 2a= 0?仁)2 仁)2 = 0? -= 1 + 3,故雙曲線的漸近a aa線方程為y=(3+ 1)x.【感悟提升】(1)明確圓錐曲線中a,b,c,e各量之間的關(guān)系是求解問題的

7、關(guān)鍵.(2)在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.【變式探究】垂線過點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是()設(shè)雙曲線X2-y2= 1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于 B,Ca b兩點(diǎn)，過B,C分別作AC AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D,若D到直線BC的距離小于a+THE，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A. (-1,0)U(0,1)B. (a, 1)U(1,+)C (-.2,0)U(0,. 2)D. (-a, -2)UC

8、2,+a)bcos /CFF2=c4a2+4c2-16a22X2aX2C(1)設(shè)Fi,F2分別是橢圓=1 (ab0)的左，右焦點(diǎn)，若在直線2x=上存在點(diǎn)P使線段PF的中2 26【答案】(1)D(2)A【解析】 諧吟八 線段 a 的中 I 的坐標(biāo)為右訂由聲p k匪=_1,得a + c 2cify-1-,但注意到 甘一加即2c:-rxjj當(dāng)鏡不存在時(shí)用一2應(yīng)=0,尸0，a2-J3此時(shí)F2為中點(diǎn)，即cc= 2c,得e=g,綜上，得-丁we1,3即所求的橢圓離心率的取值范圍是-3,i .由題作岀團(tuán)象如團(tuán)所示由三一專=1可知車國0),a b易侍廳一，農(nóng)小-I 1 sj.；E - - ,Q 一旨B曠一旨a

9、 a c2*：石上J,占C S占O當(dāng)心存在時(shí)，則怙炸7a a-c ac acb2即y=一Lx+T+a，b2a acICD：y+弓=b2(xc)，a acac acb2即y=2-x2-3bbab4-XD=C+ 2.a aca2I aa+ +b2=a+c，4 2/ 22、22bb, 021. - 0b0)的離心率為 二2,且右焦點(diǎn)F到直a b22(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線I和AB于點(diǎn)P, C,若|PQ=2|AB，求直線AB的方程.2a ac點(diǎn)D到BC的距離為8【解析】（1）由題意，得：二半且*+ |=3j解得尸血,c=lf則b=lf所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+

10、y=i.當(dāng)曲丄打由時(shí)，|曲匸葩又心匸3,不合題歆當(dāng)Aff x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線曲的方程為_v=（jr-l）J（JTUyC） Eg護(hù)） 將育線曲的方程代入橢圓方程，得(1 + 2#*)J*4JTJT+2 (F - 1) 0、nl_2尸#2 1+貝l jfi峙=- :-.小八1 +2F去的坐標(biāo)為需務(wù)且若盤=6 則線段曲的垂直平分線為F軸與直線平行，不合題意.從而k豐0,故直線PC的方程為k12k2、y+1T2?一kx-1T2?，因?yàn)?|PC= 2|AEB,所以 2：k +1/1+ k_ 4 慣 1+ k|k| I + 2k1 + 2k解得k= 1.此時(shí)直線AB的方程為y=x 1 或y=x+ 1.【

11、特別提醒】解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦 長公式等簡化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解.【變式探究】2（1）過雙曲線x2 3 = 1 的右焦點(diǎn)且與X軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn)，則|AB等于（）A.43B. 2 3=1+曲i+ar從而|PC=? :jk2+1+k2|k+ 2k2則P點(diǎn)的坐標(biāo)為5k2+2k1+2k2，92云+b2= 1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中【答案】(1)D(2)D【解析】 由題意知雙曲線才-的漸近線方程為片七話約將尸尸 2 代入得_7=-23 即禺廳

12、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2西)，一価,所以匸 4 逅設(shè)機(jī)心刀)，E(Jf“ _K)7 代入橢圓的方程有，兩式相減得,丁線段肋的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 一 4x1+X2= 2,y1+y2= 2 代入上式得:y1y2b2X1X2a2.b2= J?a2= 2b2,a2右焦點(diǎn)為F(3,0),2.22小- ab=c= 9,4,則n的取值范圍是()C. 6D. 4 32x點(diǎn)坐標(biāo)為（1 , 1）,2 2x yA. += 1B.45 362 2x y則E的方程為（）2 2x y+ = 13627(2)已知橢圓E0.直線AB的斜率為+113- 122解得a= 18,b2= 9,又此時(shí)點(diǎn)(1 ,橢圓方程1）在橢圓內(nèi)，2 2x

13、y+ = 118 十 9【高考真題解1.【2016 高考新課標(biāo) 1 卷】已知方程2x2-c 2m n 3m -n=1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為10(A)-1,3(B)-1r.,3(C)0,3(D)0, .,3【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)軸上所+解得附1+和 0X 示孜曲綁所叫解缺 r所以攤的取值范圍,故選A2. 2016 年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，M是【答案】C，故選 C.【答案】AJj2F1【解析】因?yàn)閱岽怪庇谕休S，m|Al?；| = -I|AZ/i| = 2a + ,因?yàn)閟inZA/f；= i,即aQ J

14、2 2x2x24.【2016 高考浙江理數(shù)】已知橢圓C： =+y=1(n1)與雙曲線C2：-y-y=1(n0)的焦點(diǎn)重合,mn因?yàn)榉匠叹€段PF上的點(diǎn),PM=2MF,則直線OM的斜率的最大值為()(A)仝3(B)(D) 1【解析】 設(shè)2P 2pt ,2 pt ,M x, y(不妨設(shè)&0)，則宀珂遺1,2pt.”嚴(yán)XE3t2P23y警xt2衛(wèi)332 ptrtkoM二2t 1亡弓1子當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)時(shí)取等號(hào)2t :23.【2016 咼考新課標(biāo)2 理數(shù)】已知2 2F1, F2是雙曲線E :仔每=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,a bMF11與x軸垂直，sin MF2F1,則E的離心率為(3(B)32(A)、2(

15、C)3(D) 2|,化簡得b,故雙曲線惠請3=血選扎e2分別為C,C2的離心率，則(）11A.mn且eie2iB .nn且eie2iC .nn且 eolD .mn且 &e21,n0，可得 mn,又（ec）2二陽 =（1-2）（1 亠）=（1-丄）d 丄嚴(yán)匚竹11mnmnn+2nn +2n選A.5._ 【2016 高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為 10,則M到y(tǒng)軸的距離是 _【答案】9【解析】xM：1 =10= xM=96.【2016 高考新課標(biāo) 1 卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D E兩點(diǎn).已知|AB=4.2,|DE|=2.一5,則C的焦點(diǎn)到

16、準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如圖股拋物線方程為V1=2px. AB:DE交兀軸于庶則AC = 22:即/點(diǎn)縱坐標(biāo)為2Q貝U/點(diǎn)橫坐標(biāo)為-很卩OC = 1；由勾股定理知DF2OF-DCrr.ACOCACrr ，故ee 1.故2 27.【2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:卑y- 1(a b 0)的左焦點(diǎn)，A, Ba b12c11得，所以橢圓 C 的離心率e，故選 A.a33【答案】D【解析】根據(jù)對稱性，不妨慢為在第一象限，川（扯巧b與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且BFC =90、，則該橢圓的離心率是 2分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF

17、 _ X軸.過點(diǎn)A的直線I與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則11（A）（ B）32C的離心率為（C）-3(D【答案】A【解析】 由題意設(shè)直線I的方程為y = k(x a)，分別令x -c與x = 0得| FM卜k(a-c),| 0E|= k a.設(shè) OE 的中點(diǎn)為 N,則OBNZFBM1，則2|OEL|OB|ka|FM | |BF|，即2 k(a 書 a c,整理,8.【2016 高考天津理數(shù)】已知雙曲線2 27=1(b0).以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí) 半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于AB、D四點(diǎn)，四邊形的ABC啲面積為 2b,則雙曲線的方程為（2小2x

18、 3y(A)=144(B)x24y2=143(02 27-=12 2x y_(D)V=19.舲牛知八網(wǎng)曲線的方程為寧唸故選D【2016 高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓2 22y?- 1(a b 0)的右焦點(diǎn),a b直線y13【答案】_3【解析】由題意得B3a,b),C(3a,b),，因此c2(-a)2 (P)2=0= 3c2=2a2= e6.2222223I x = 2 pt210. 2016 高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，(t為參數(shù)，p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1.過拋物線上“ =2pt一點(diǎn)A作I的垂線，垂足為B.設(shè) C (7p,0 ),AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF=2|AFJ

19、，且ACE勺面積為邁,2則p的值為_.【答案】. 6【解析】拋物線的普通方程為y2=2px,F ( 0),2，又CF=2|AF|, 則|AF|今p, 由拋物線的定義得 由CF / AB得E = CF，即蘭=竺=2,EA AB EA AF1所以嚴(yán)畑 7，解得 Y2 2X y11.【2016 高考山東理數(shù)】已知雙曲線E： -y七=1 (a0,b0),若矩形ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)在Ea b上，AB CD勺中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 2|AB=3|BQ，則E的離心率是【答案】22 2 21c = a b得離心率e = 2或e =-22 2_x y12.【2016 年高考北京理數(shù)】雙曲線22二1(a 0,b 0

20、)的漸近線為正方形a bOC 所在的直線，點(diǎn) B 為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC 勺邊長為 2,則a=_ .【答案】2【解析】OABC是正方形， AOB =45，即直線OA方程為y二x，此為雙曲線的漸近線，因CF*-牛3p，AB=號(hào)p，所以xA= p，則| yA|=V2 p,所以SVCEF=2S/CEA= 6：2，S/ACF二SVAEC SVCFE=9 2,【解析】 假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，則A(c,.2.2bb),B(c, )，所以|AB| =aa2b2,|BC|= 2c,a由2 AB =3 BC,(舍去)，所OABC勺邊 OA14此a=b，又由題意OB =2逅，a2+a2=

21、(2j2)2,a=2.故填：2.2y1的焦距是3【答案】2,10【解析】Vtf2= 72= 3.+*2= 7 + 3=10., c = 20 .焦距為乂故答案應(yīng)填：14.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分14 分)22TT平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：y2=1 ab0的離心率是，拋物線E：x2= 2y的焦點(diǎn)Fa b2是C的一個(gè)頂點(diǎn).(I )求橢圓C的方程；(II )設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線I與C交與不同的兩點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M(i )求證：點(diǎn)M在定直線上；(ii )直線l與y軸交于點(diǎn)G記厶PFG的面積為S,PD

22、M的面積為S，求 的最大值及取得S2最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)FI/J、.Zz1/ 勺.丿;_y/ B【答案】(I)x24y2=1；(n)(i )見解析；(ii )嚴(yán)的最大值為-,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(丄2丄)S242 4【解析】13.【2016 高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線15由題意知逹,可得：a 16 a2因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為A(O=1)，所決“1上款,所以橢圓c的方程為x* -Ay=12m2(n) (I)設(shè)p(m, )(m 0)，由x =2y可得y=x ,2所以直線l的斜率為m,2 2因此直線l的方程為y - = m(x -m)，即y = mx -m.222m y = mx設(shè)A(xyi

23、),B(X2,y2),D(xo, y)，聯(lián)立方程 0廠化簡得p-2i0.方程 的兩根為兒二加戌，從而丄嚴(yán)=-酣叫沖在6W上,所以鬲2-事因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2 -P-P).2因?yàn)樾?旦-P)一在直絨y=-xb所W-p-(2-p) + &,即b = 2-lp.4由知p+2b 0,于是p+2(22p)=0，所以p1，即20k2_9 1，解得k蘭-6或26.12(k2+1)44所以，直線I的斜率的取值范圍為(：，_； J，*：).17. 2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】已知拋物線C:$ =2x 的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線 hl 分別交C于A, B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(I )若

24、F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn)，證明AR二FQ；(II )若PQF的面積是.ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.2【答案】(I)見解析；(n) y =x -1 .【解析】由題設(shè)人?則處工0丿目 點(diǎn)耳 6噸易 p小Q(斗學(xué)).uOBi記過心兩點(diǎn)的直線為匚貝林的方程為2x-(a-b)y+ab0.3分(I )由于F在線段ABf故1-=0所FO.5 分(n)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),11由題設(shè)可得一b a X1 22當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，所以，所求軌跡方程為y2=x-1.12分記曲的斜率為冏,FQ的斜率為k.,則抵-b口一占1abT T= _b = b、1-a+a -abII1

25、1a bb-a FD=b 為 ,S企QF -222(舍去)，x1.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由2kAB -kDE可得a b x-1(xT.=y，所以y2= x-w則S120218.【2 016 高考浙江理數(shù)】(本題滿分 15 分)如圖，設(shè)橢圓 篤y2=i(a 1).a(I )求直線y=kx+1 被橢圓截得的線段長(用a、k表示)；(II )若任意以點(diǎn)A( 0,1 )為圓心的圓與橢圓至多有3 個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍【答案】(I)2a2*2. 1 - k2； (II )0：e2.1+a k2【解析】=Ax + l丨V匚-亠1+白亠片因此門沖=J1+丁 ”

26、 一毛y-Li J】+上-(n)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足AP = AQ.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，且k1,k20,k0得1 +斗+姑Elit(X+lXp+l) = l+a3(fl1-2),C|ArJ因?yàn)槭疥P(guān)于妬,咫的方程有解的充要條件罡1 +所以心Ji.因此，任意以點(diǎn)出(U)為團(tuán)心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充墓條件為la2 ,由百= =魚二1得,所求禽心率的職值范圍為Qg 些a a12 219. 2016 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】已知橢圓E : 1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為t 3k(k 0)的直線交E于A,M兩

27、點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA _ NA.(I)當(dāng)t =4,| AM hl AN |時(shí)，求AMN的面積;(n)當(dāng)2 AM = AN時(shí)，求k的取值范圍.144l【答案】(I)； (n)32, 2.49X2y2【解析】(I)設(shè)M X1,y1,則由題意知y10，當(dāng)t=4時(shí)，E的方程為1,A -2,0.43由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為一.因此直線AM的方程為y = x 2.4112121442 2將x = y _2代入 L=1得7y243_12y =0.解得y =0或y=節(jié)，所以12722因此AMN的面積SAAMN=2匯一匯K-.2774923由題意Jt0?將直線血的方程v = k(卄/”弋入乞+

28、21 = 1得卩+卅jF+ 2y/itk2x+f2A?-3r =t3由*（7卜：孑得碼二巴孑；）,故AAf =西十J1+疋二 J +tKJ由題設(shè)，直線的的方程為y=x+.址同理可得“冷i-由2L1V| = L1V|S ，即p - 2 #二3k(2k -l i 3+rZc*3k*-t當(dāng)“證時(shí)上式不成立,因此 2 豈 4 心等價(jià)于上近n匕沁）k -1因此氏的取值范圍是I近打20.【2016 年高考北京理數(shù)】（本小題 14 分）面積為 1.（1）求橢圓 C 的方程;2 w【答案】（1）y2= 1； （ 2）詳見解析4【解析】6(14-3亠卅即由此得Zc-22 2已知橢圓C：務(wù) % h （a b 0）

29、的離心率為a bi3，A(a，0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的（2）設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M 直線 PB 與X軸交于點(diǎn) N.求證:AN BM為定值24羽a 2(I )由題育得2沏 7 解得口= 2上=1所以橢圓C的方程為+J：=14(II)宙(I )知，*(2Q)(M),設(shè)玖兀Jo)、則4 + *、4當(dāng)忑工0時(shí)，直線柑的方稈対*-2令0,得yv=；從而|BAZ| = |l-yv|=H直線期的方程為y二丄兀十1X;=4 .當(dāng)X。=0時(shí)，y=1,BM =2, AN =2,所以AN BM=4.綜上，AN BM為定值.21.【2016 年高考四川理數(shù)】(本小題滿分 13 分

30、)x2y2一已知橢圓E：22=1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線a b令y = 0，得XN二-XOyo-1，從而AN = 2XN= 2 +XOyo_1所以AN BM=2+亠2yo1XO- 22 2XO+4y+4xoy4XO8y+44xyo- 4XO-8y+8XoyoXO2yo+2xyoXO2yo+2yo_1I: y - -x 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.25(I)求橢圓 E 的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(H)設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于0T與橢圓 E 交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線 l 交于點(diǎn)P證2明：存在常數(shù) 使得PT| =X|PA PB，并求乙的值.x2y2

31、一4【答案】(I)一 +一=1，點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1)； (n)丸=-.635【解析】由已軌 / +宀化幾即伍，所以.*履，則翩E的方程為X+ = lI*1了Iy_-由方程組2?+F= 1得3,-12卄(18-2滬)=0.】=-x+3.方程的判別式為占24& - 3),由山0,此方程的解為Y=2 ,71.bJCi嚴(yán)所以橢圓E的方程為+ - =16 j點(diǎn)了坐標(biāo)為(2=01(II )由已知可設(shè)直線I的方程為y= x、m(m-O),21 y = x + m,有方程組y 2可得fy = -x +3,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x, y),B(x2, y2).所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2-如1+細(xì)3 3)，PT由方程

32、組2 2x_ . y_631yx-1,m,可得3x24mx (4 m2T2) = 0.c 2mx =2 -32m3.y =1I: y - -x 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.263-23 - 2m.2 2方程的判別式為 =16(9 - 2m2)，由厶0,解得27由得西+疋=.碼花=亠33所以刊=(2亍一沙亠1+一川=同理1丹卜羋卜-孔十2w_2w、刊1盲(2- )- Xxi +花)+ 尤匹10 w9故存在常數(shù)久=w|pr|:= z|pj|-|P5|F2c,0, c=： ；1b2, yA= b2c2-1i=b4,因?yàn)镕1AB是等邊三角形，所以2c = J3|yA22.【2016 高考上海理數(shù)】

33、(本題滿分 14 分)本題共有2 個(gè)小題，第 1 小題滿分 6 分,第 2 小題滿分雙曲線x22每=1(b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2，直線丨過F2且與雙曲線交于AbB兩點(diǎn)。(1)若丨的傾斜角為一URAB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；2lT T T(2)設(shè)b、3，若丨的斜率存在，且(F, F1B) A0，求丨的斜率.【答案】_15(1)yh x (2)_ 5【解析】(i)設(shè)AxA,yA4即一)+-3*Tl由題28即4 1b=3b4，解得b =2.故雙曲線的漸近線方程為丫 = 1 亦.（2）由已知，斤（一24）,兀（20）.設(shè)川|工“！|I ,直L: y = k X 2 .顯然上 H

34、 0 *L_=1，由 “3，得（丁x* 4 片 x + 4 丁 + 3 = 0.1ykx-2因切與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以芒一拜0,且J = 36（l + ）0,設(shè)AB的中點(diǎn)為MI%、乂 *由（耳/ + 島 S） -AB= 0 艮卩FXf - AB 0 知Ff AB；故心甘上=1.所以石二心-1,得宀 g，故/的斜率為土學(xué).2 疋-3552 2x y1. （2015 重慶，10）設(shè)雙曲線-2= 1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為 F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與a b雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作ACAB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D,若D到直線BC的距離小于a+. a2+b2,則該雙曲線的漸近線斜率的取

35、值范圍是（）A. (1,0)U(0,1)B. (a, 1)U(1,+)C (,2,0)U(0,.2)D. (a, 2)U( 2,+a)【答案】29【解b2由題意A（a, 0） ,Bc,號(hào),Cc，由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D（x, 0），由b2ab4b4=1，解得cx=2，所以cx=2-aca(ca)a(ca)222b2bb2一一 0aBDL AC得-cx_ b4va+, a2+b2=a+c,所以孑vc2a2=b2?2V1? 0v v1,因此漸近線的斜率取值范圍是(1, 0)U(0 , 1)，選 A.aa2.（2015 陜西，14）若拋物線y2= 2px（p0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y2=

36、1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=30【答案】2 2【解析】由于雙曲線x2y2= 1 的焦點(diǎn)為（ /2, 0），故應(yīng)有 2=億p= 2/2.2 2X y3. （2015 天津，6）已知雙曲線 孑b2= 1（a 0,b0）的一條漸近線過點(diǎn)（2 ,3），且雙曲線的一個(gè)【答案】D【解析】雙曲麻-$1的漸近線方程為尸厶，又漸近線過點(diǎn) 灼，所以空二即2b-af拋物線片血的淮線方程為尸-小，由已機(jī) 得硏即,聯(lián)立解得*4 4s 所求雙曲線的方程為X-選D4. （2015 浙江，5）如圖，設(shè)拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B C,【答案】焦點(diǎn)在拋物線y2= 4 7x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方

37、程為（2 2x yA =121 282 2x y2 2x yB = 128 212 2x yD= 1點(diǎn)C在y軸上，則BCF-與ACF的面積之比是（）C |BF+1|AF+ 12B|BF-1|AF2 1|BF2+ 1D.|AF2+ 1【解XA=|AF| 1 ,SBCF|BQXB由圖象知S= IACSACF|AC& BCF1BF|1iF.故選SACF二，由拋物線的性質(zhì)知 |BF=XB+1, |AF=XA+1 ,XB=|BF 1,XAA.2.（2015 陜西，14）若拋物線y2= 2px（p0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y2= 1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=315. (2015 福建,3）若雙曲線 E:29 6=

38、 1 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF|=3，則|PF|等于（）32【答案】B【解析】由雙曲線定義 |PF2| |PF| = 2a,T|PF| = 3,.P在左支上，Ta= 3,二 |PF2| - |PFi| =6 , |PF2| = 9，故選 B.【答案】【解析】由雙曲線性質(zhì)知 A、B 項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意； e D 項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上,但 D 項(xiàng)漸近線為y= 2x，只有 C 符合，故選 C.方程為（【答案】【解折】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為丘0）且禽心率為所以尸5, a=4,占=9,所以所求雙曲線方程為三-首=故選乩1U已28 . （2015 四川，5）過雙曲線x2才=1 的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A,B線方程得y2= 12,y=2寸 3, |AB= 2 需(2品=4 寸 3.選 D.【答案】D【解析】22y焦點(diǎn)F（2 , 0），過F與x軸垂直的直線為x= 2,漸近線方程為x 3 = 0,將x= 2 代入漸近C. 6D. 4 ,3A. 11 B . 9C. 5D. 36. (2015 安徽,4）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=2x的是（22yA. x = 142eg x2= 12B.4 -y2= 122XD. y - =17. (2015 廣東,2x7）已知雙曲線 C：孑5e= 4