2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案(含解析)新

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)提出問題如圖為函數(shù)f(x)在4,4上的圖象：問題 1:根據(jù)函數(shù)的圖象，你能否得出方程f(x) = 0 的根的個數(shù)？提示：方程f(x) = 0 的根即為函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題圖可知，方 程有 3 個根，即x= 3, 1,2.問題 2:你認(rèn)為方程的根與對應(yīng)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？提示：方程的根是使函數(shù)值等于零的自變量值，也就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).導(dǎo)入新知1.函數(shù)的零點(diǎn)對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x) = 0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).2方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系方程f(x) = 0 有實(shí)數(shù)根？函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

2、有交點(diǎn)？函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).-X化解疑難函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)(1) 函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程f(x) = 0 的實(shí)數(shù)根，因此，函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個 實(shí)數(shù).例如函數(shù)f(x) =x+ 1，當(dāng)f(x) =x+ 1 = 0 時，僅有一個實(shí)數(shù)根x= 1，所以函數(shù)f(x) =x+ 1 有一個零點(diǎn)一 1,由此可見函數(shù)f(x) =x+1 的零點(diǎn)是一個實(shí)數(shù)一 1，而不是一個點(diǎn).(2) 函數(shù)是否有零點(diǎn)是針對方程是否有實(shí)數(shù)根而言的，若方程沒有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)沒有 零點(diǎn).函數(shù)零點(diǎn)的判斷提出問題層析教材.新知無師自逋O1234*2函數(shù)f(x) =x2 4x+ 3 的圖象如圖.3問題 1 函數(shù)的零點(diǎn)是什么?提示：1,3.

3、問題 2:判斷f(0) f(2)與f(2) f(4)的符號.提示： f(0) = 3, f (2) =- 1, f(4) = 3,f(0) f(2)0 ,f(2) f(4)0.導(dǎo)入新知函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線， 并且有f(a) f(b)0 , 那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c (a,b)，使得f(c) = 0，這個c也 就是方程f(x) = 0 的根.化解疑難A .對函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究1(1)并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，如函數(shù)y=x.x(2) 當(dāng)函數(shù)y=f(x)同時滿足：函數(shù)的圖象在 a,b上是連續(xù)曲線；f(a)

4、f(b)0. 則可判定函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，但是不能明確說明有幾個.(3) 當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖象在a,b上是連續(xù)的曲線，但是不滿足f(a) f(b)0 時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可能存在零點(diǎn)，也可能不存在零點(diǎn).x+ 32(1)f(x) =- ； (2)f(x) =x+ 2x+ 4;z.f(x) = 2x 3;f(x) = 1-log3X.求函數(shù)的零點(diǎn)頓宦考向.老題千變不離其宗例 1 (1)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出.4解(1)令- =0，解得x=- 3,xx+ 3所以函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)是x=-3.x25令x+ 2x+ 4 = 0,由

5、于 = 22-4X1X4= 120, 所以方程x2+ 2x+ 4= 0 無實(shí)數(shù)根， 所以函數(shù)f(x) =x2+ 2x+ 4不存在零點(diǎn).令 2x 3= 0,解得x= log23.所以函數(shù)f(x) = 2x 3 的零點(diǎn)是x= log23.令 1 log3X= 0,解得x= 3,所以函數(shù)f(x) = 1 log3x的零點(diǎn)是x= 3.類題通法函數(shù)零點(diǎn)的求法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時，通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x) = 0.若方程f(x) = 0 有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).活學(xué)活用判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出.2(1)f(x)

6、=x 4x 4;x(3)f(x) = 4 + 5;(4)f(x) = log3(x+ 1).解：(1)令x2 4x 4 = 0,解得x= 2，所以函數(shù)的零點(diǎn)為x= 2.所以函數(shù)的零點(diǎn)為x= 1.(3)令 4x+ 5= 0,貝 U 4x= 50,無解，即方程 4x+ 5 = 0 無實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)不存在零占八、(4)令 log3(x+ 1) = 0，解得x= 0, 所以函數(shù)的零點(diǎn)為x= 0.(2)f(x)=x1 x2 4x +；1x 3x1x2 4x+2x 3=0，解得x= 1,262例 2 (1)二次函數(shù)f(x) =ax+bx+c(x R)的部分對應(yīng)值如表:7x32101234y6m4664n

7、6不求a,b,c的值，判斷方程ax+bx+c= 0 的兩根所在的區(qū)間是()A.( 3, - 1)和(2,4)B.( 3, 1)和(1,1)C.( 1,1)和(1,2)D.( a, 3)和(4,+)(2)若avbc,則函數(shù)f(x) = (xa)(xb) + (xb)(xc) + (xc)(xa)的兩個零-點(diǎn)分別位于區(qū)間()IA.(a,b)和(b, c)內(nèi)B.(a,a)和(a,b)內(nèi)C.(b, c)和(C,+a)內(nèi)D. (a,a)和(C,+a)內(nèi)解析(1)利用f(a)f(b)0,f( 1) = 40,.在(一 3, 1)內(nèi)必有根.又Tf(2) = 40,在(2,4)內(nèi)必 有根.(2)/f(x) =

8、 (xa)(xb) + (xb)(xc) + (xc)(xa) , f(a) = (ab)(ac),f(b) = (bc)(ba),f(c) = (ca)(cb),Tab0 ,f(b)0,f(x)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c) 內(nèi).答案(1)A(2)A類題通法確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法確定函數(shù)的零點(diǎn)、 方程的根所在的區(qū)間時，通常利用零點(diǎn)存在性定理,兩端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值的符號是否相反.活學(xué)活用在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x) = ex+ 4x 3 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()1 1、A.4 ,0B. 0, 4C.解析：選 C 顯然f(x)為定義域 R 上的連續(xù)函數(shù).如圖，作出y= ex與y= 3

9、 4x的圖轉(zhuǎn)化為D.象，由圖象知函數(shù)f(x) = ex+ 4x 3 的零點(diǎn)一定落在區(qū)間f2 =. e 1 0,故選 C.8判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)1例 3(1)函數(shù)f(x) = Inx= 的零點(diǎn)的個數(shù)是()XIA.0B.1C. 2D.3(2)判斷函數(shù)f(x) = 2X+ lg(x+ 1) 2 的零點(diǎn)個數(shù).1 1Inx與y=x的圖象有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x) = Inxx的零點(diǎn)個數(shù)為 2.f(2) = 4 + lg 3 20,f(x)在(0,2)上必定存在零點(diǎn),又Tf(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 在(0,+s)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個零點(diǎn).法二：在同一坐標(biāo)系中作出h(x) =

10、2 2x和g(x) = lg(x+ 1)的草圖.由圖象知lg(x+ 1)的圖象和h(x) = 2 2x的圖象有且只有一個交點(diǎn)，即f(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 有且只有一個零點(diǎn).類題通法判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)主要有以下幾種方法:解(1)選 C 在同一坐標(biāo)系中畫出y= Inx與y= 丄的圖象，如圖所示,x 1g(x)=9方法一：直接求出函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷；10方法二：結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；方法三：借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，滿足f(a) f(b)0 時，f(x)0 ;當(dāng)x0 時，f(x)

11、0.所以函數(shù)沒有零點(diǎn)，故選 A.活學(xué)活用1| ,已知函數(shù)f(x) = 3x- 1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. (1,3)C. (0,2)xv2,B.D.若方程f(x) a= 0 有三個不同的實(shí)數(shù)根,10.因函數(shù)圖象不連續(xù)造成判斷失誤1函數(shù)f(x) =x+x的零點(diǎn)個數(shù)為B.D.(0,3)(0,1)11答案A12易錯防范1 函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的一切性質(zhì)，分析函數(shù)的有關(guān)問題時必須先求出定義域,1通過作圖，可知函數(shù)f(x) =x+-的圖象不是連續(xù)的.若忽視該特征，易由f( 1)0 ,X得出錯誤的答案 B.2零點(diǎn)存在性定理成立的條件有兩個：一是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲

12、線；二是f(a) f(b)0.這兩個條件缺一不可，如果其中一個條件不成立， 那么就不能使用該定理.活學(xué)活用X2+ 2x 3,x0A. 0B. 1C. 2D. 3解析：選 C 當(dāng)x0 時，令一 2+ lnx= 0,解得x= e ,r 2x+2x3,xw0,所以函數(shù)f(x)= *有 2 個零點(diǎn).2+ lnx,x0自主演練.百煉方成鋼隨堂即時演練1 .函數(shù)f(x) = log3X 8 + 2x的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A. (5,6)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)解析：選 Bf(3) = log33 8 + 2X3= 10.又因 為f(x)在(0,+)上為增函數(shù)，所以其零點(diǎn)一定位于區(qū)間

13、(3,4).2.函數(shù)f(x) =ax2+bx+c,若f(1) 0,f(2) 0，則f(x)在(1,2)上的零點(diǎn)()A.至多有一個B.有一個或兩個C.有且僅有一個D. 個也沒有13解析：選 C 若a= 0，則f(x) =bx+c是一次函數(shù)，由f(1) f(2) 0,與已 知矛盾.3.已知函數(shù)f(x) =x2axb的兩個零點(diǎn)是 2 和 3，則函數(shù)g(x) =bx2ax 1 的零點(diǎn)14解析：由題意知，方程x2axb= 0 的兩根為 2,3 ,152+3=a,2x3=一b,即a= 5,b= 6,方程bx2ax 1 = 6x2 5x 1 = 0 的根為一 1, 1，即為函數(shù)g(x)的零點(diǎn).1答案：1，4

14、.函數(shù)f(x) = 3x+x 5 的零點(diǎn)x a, b，且ba= 1,a,b N,則a+b=_解析：ba=1,a,bN*,f(1)=3+15=1v0,f(2)=9+25=60,f(1) f(2)v0,.a+b= 3.答案：35.求函數(shù)f(x) = log2Xx+ 2 的零點(diǎn)的個數(shù).解：令f(x) = 0,即 log2xx+ 2 = 0,即 log2X=x 2.令y1= log2x,y=x 2.畫出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示.有兩個不同的交點(diǎn).所以函數(shù)f(x) = log2xx+ 2 有兩個零點(diǎn).課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題x1234f(x)136.13615.5523.9210.88x567f(x)

15、52.488232.06411.238yj-log?*f(x)對應(yīng)值表x,1.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的由表可知函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有(16A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個解析：選 D /f(2)f(3)0 ,f(3)f(4)0 ,f(4) f(5)0 ,f(6)f0,則不存在實(shí)數(shù)c (a,b)，使得f(c) = 0B.若f(a)f(b)v0,則存在且只存在一個實(shí)數(shù)c (a,b)，使得f(c) = 0C. 若f(a)f(b) 0,則有可能存在實(shí)數(shù)c (a,b)，使得f(c) = 0D. 若f(a)f(b)v0,則有可能不存在實(shí)數(shù)c(a,b)，使得f(c)

16、 = 0解析：選 C 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可判斷，若f(a) f(b)v0,則一定存在實(shí)數(shù)c (a,b)，使f(c) = 0,但c的個數(shù)不確定，故 B、D 錯.若f(a) f(b) 0，則有可能存在 實(shí)數(shù)c (a,b)，使得f(c) = 0，如f(x) =x- 1,f( 2) f(2) 0，但f(x) =x- 1 在(一 2,2)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，故 A 錯，C 正確.4.已知f(x) = (x-a)(x-b) - 2，并且a, 3是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a,b,a,3的大小關(guān)系可能是()A.aab3B.aa3bC.aab3D.aa3b解析：選 CT a,3是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)，f(

17、a)=f(3)= 0.又f(x) = (x-a)(x-b) - 2,- f(a) =f(b) =-20.結(jié)合二次函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 可知，a,b必在a,3之間，只有 C 滿足.x15.已知X。是函數(shù)f(x) = 2 + 的一個零點(diǎn).若X1 (1,xo),X2 (xo,+s)，則()1 xA.f(xj0,f(X2)0B.f(xj02.A.0B.1C. 2D.3x22ix，則f(x)為減函數(shù)，值域為R,故有 1 個.方程 0.9x的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是(解析：選 B設(shè)f(x) = 0.917C.f(Xi)0,f(X2)0 ,f(X2)01解析：選 B 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y= 2X

18、和函數(shù) y=；x-11的圖象，如圖所示，由圖可知函數(shù)y= 2X和函數(shù)y=的圖象只有一個交x- 11點(diǎn)，即函數(shù)f(X) = 2X+只有一個零點(diǎn)X0,且X01.1 X因為X1(1,Xo),X2(X0,+8)，所以由函數(shù)圖象可知，f(X1)0.二、填空題6. 函數(shù)f(X) = InXX2+ 2X+ 5 的零點(diǎn)個數(shù)為 _ .解析：令 Inxx+ 2x+ 5= 0 得 Inx=x 2x 5,畫圖(圖略)可得函數(shù)y= Inx與函數(shù)y=x2 2x 5 的圖象有 2 個交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為 2.答案：27._已知方程mXx 1 = 0 在(0,1)上恰有一解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 _ .解析：設(shè)f

19、(x) =mXx 1,：方程mXx 1 = 0 在(0,1)內(nèi)恰有一解，且當(dāng)m= 0 時，方程一x 1 = 0 在(0,1)內(nèi)無解， m0,由f(0)f(1)v0,即一 1(m- 1 1)v0，解得 m 2.答案：(2,+R)&若函數(shù)f(x) =axxa(a0,且a* 1)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _ .解析：函數(shù)f(x) =axxa(a0,且a* 1)有兩個零點(diǎn)，就是函數(shù)y=ax(a0 且a* 1)與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng) 0a1 時，因為函數(shù)y=a(a1)的圖象過點(diǎn)(0,1),當(dāng)直線y=x+a與y軸的交點(diǎn)a)在(0,1)的上方時一定有兩個交點(diǎn).所以a1

20、.答案：(1,+8)三、解答題_ 2 _ _9.關(guān)于x的方程mx+2( m+ 3)x+ 2m 14= 0 有兩實(shí)根，且一個大于4, 一個小于求m的取值范圍.2解：令f(x) =mx+ 2( m 3)x+ 2m 14.(0,118n 0,依題意得f4mv0,或 cIf40,m 0,即26m 38v0,mV0,或 i26m 380,1919 解得13v m0)，則t2+mt+ 1 = 0.當(dāng) = 0，即吊一 4 = 0 時，m= 2;當(dāng) m= 2 時，t= 1;當(dāng) m= 2 時，t= 1 不合題意，舍去，2 = 1,x= 0 符合題意.當(dāng) 0,即卩m2 或m0,.t10,t20,則原方程有兩個根.這種情況不可能.綜上可知：m= 2 時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x= 0.22e11.已知函數(shù)f(x)