三角形輔助線

1、三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延 長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不 等關(guān)系證明，如：例 1 已知如圖 1-1 : D、EABC 內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB + AO BD+ DB CE. 證明：(法一)將 DE 兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC 于 M N,在厶 AMN 中, AW AN MD+ DE+ NE; (1)在厶 BDM 中, MB MD BD(2)在厶 CEN 中, CN+ NE CE;( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AM + AN+ MB MD CN+ NE M

2、D DE NE+ BD CE AB+ AC BD+ DE+ EC(法二：)如圖 1-2 , 延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F,延長(zhǎng) CE 交 BF 于 G, 在厶 ABFDGFCDGDE 中有：AB + AF BD+ DG+ GF (三角形兩邊之和大于第三邊)(1)GF + FC GH CE (同上).(2)DG + GE DE(同上).(3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AB + AF+ GH FC+ D GE BD DG GH GE+ CH DE - AB+ AC BD+ DE+ EG二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，

3、使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1 :已知。為厶 ABC 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDOZBAC分析 因?yàn)? BDC 與/ BAC 不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔 助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC 處于在外角的位置，/ BAC 處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E,這時(shí)/ BDC EDC 的 外角，/BDOZDEC 同理/ DEOZBACBDOZBAC證法二：連接 AD,并延長(zhǎng)交 BC 于 F/ZBDF 是厶 ABD 的外角ZBDFZBAD 同理，ZCDFZCADZBDFZCDFZBAD

4、ZCAD即：ZBDOZBAGBFC圖2 1注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1 :已知 ADABC 的中線，且/ 1 =72,73=74,求證：BE+ CF EF。分析：要證 BE+ CF EF ,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE, CF,到同一個(gè)三角形中， 而由已知/ 1 =72, / 3=Z4，可在角的兩邊截取相等的線段, 用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN FN, EF 移到同一個(gè)三角形中。證明：在 DA 上

5、截取 DN= DB 連接 NE, NF,貝UDN= DC 在厶 DBE DNE 中:DNEF 移利EDDB （輔助線的作法）2（已知）ED（公共邊）DBEADNE（SAS BE= NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF= NF在 EFN 中 EN+ FN EF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三 角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1 :ABC 的中線，且/ 1 =Z2,Z3=Z4,求證：BE+ CF EF證明：

6、延長(zhǎng) ED 至使 DM=DE 連接在厶 BDED CDM 中,CD（中點(diǎn)的定義）CDM （對(duì)頂角相等）MD（輔助線的作法）CM MF。BD1ED BDEACDM（SAS又 / 1 =Z2,Z3=Z4 （已知）/ 1 +Z2+Z3+Z4 = 180（平角的定義）/3+Z2=90即：/ EDF= 90/FDM=ZEDF=90在厶 EDF 和厶 MDF 中ED MD（輔助線的作法）EDF FDM （已證）DF DF （公共邊）EDFAMDF（SAS EF= MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在厶 CMF 中, CF+ CM MF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF EF 注：上題也可加倍 FD,證

7、法同上。注意 當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全 等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1 : AD 為ABC 的中線，求證： AB+ AO2AD分析：要證 AB+ Ad 2AD,由圖想至 U：AB+ BD AD,AC+ CDAD,所以有 AB+ AC + BD +CDAD+ AD= 2AD,左邊比要證結(jié)論多 BD+ CD 故不能直接證出此題， 而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) AD 至 E,使 DE=AD 連接 BE,貝 U AE= 2AD

8、ABC 的中線（已知） BD= CD （中線定義）在厶 ACDD EBD 中BD CD（已 證）ADCEDB（對(duì)頂角相等）AD ED（輔助線的作法）ACDAEBD（SAS BE= CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE 中有：AB+ BE AE （三角形兩邊之和大于第三邊） AB+ AC 2AD（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知 ABC AD 是 BC 邊上的中線，分別以 腰直角三角形，如圖 5-2， 求證 EF= 2ADb圖5 2六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC 中, ABAC, / 1 =Z2, P 為 AD 上任一點(diǎn)。求證：AB- AC PB- P

9、G分析 要證:AB- AC PB- PC,想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，我用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 AB- AC 故可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB- AC= BN, 再連接 PN 貝 U PC= PN,又在 PNB 中，PB- PN PB- PG證明：（截長(zhǎng)法）AB 邊、AC 邊為直角邊各向形外作等在 AB 上截取 AN= AC 連接 PN , 在厶 APND APC 中AN AC（輔助線的作法）12（已知）AP AP（公共邊）APNAAPC(SAS PC= PN (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在 BPN 中，有 PB PN PM- PC（三角

10、形兩邊之差小于第三邊 AB- AC PB- PCo七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1 :已知 AC= BD AD 丄 AC 于 A , BCL BD 于 B, 求證：AD= BC分析：欲證 AD= BC,先證分別含有 AD, BC 的三角形全等，有幾種方案：BCD AODWABOC ABD 與 BAC 但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) DA CB 它們的延長(zhǎng)交于 E 點(diǎn),/ ADL AC BC 丄 BD（已知） / CAE=ZDBE = 90（垂直的定義）在厶 DBE-與 CAE 中EE（公共角）DBECA

11、E（已證）BD AC（已 知） DBEm CAE（ AAS ED= EC EB = EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ED- EA= EC EB即: AD= BCo（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖 8-1 : AB/ CD AD/ BC 求證：AB=CD分析:：圖為四邊形,我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接 AC （或 BD）/ AB/ CD AD / BC （已知） /1= 72,73=74 在厶ABCWCDA 中（兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）12（已證）AC C

12、A（公共邊）34（已證）ABCACDA（ASA AB= CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1 :在 Rt ABC 中，AB= AC, / BAC= 90,/ 1 =Z2, CE 丄 BD 的延長(zhǎng) 于E。求證：BD= 2CE分析要證 BD= 2CE 想到要構(gòu)造線段 2CE 要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng) BA CE 交于點(diǎn) Fo/ BE! CF （已知）/BEF=/ BEC= 90 （垂直的定義）在厶 BEF 與厶 BEC 中,12（已 知）BE BE（公共邊）BEFBEC（已證） BEFABEC（ASA1 CE=FE CF （全等三角形對(duì)

13、應(yīng)邊相等）2/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）/BAC=/ CAF= 90/ 1 + / BDA= 90/BDA=/BFC 在厶 ABD 與厶 ACF 中BACCAF （已證）BDABFC （已證）AB=AC（已知） ABDAACF（AASBD= CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）BD=2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1 ; AG BD 相交于 O 點(diǎn)，且 AB= DC, AC= BD,求證：分析：要證/ A=/ D,可證它們所在的三角形厶 ABO 和厶 DCC 全等，而只有 對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AC= BD

14、 若連接 BC,則厶 ABC 和DCB 全等，所以，證得/ A=/ D。證明：連接 BC,在厶 ABC 和 DCB 中AB DC （已知）IAC DB （已知）BC CB （公共邊） ABCADCB （SSS）/ A=/ D （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。同時(shí) CE 與/ ABC 的平分線垂直，想到/1+ ZBFC=90/A=ZDbAB= DC 和AB= DC圖101例如：如圖 11-1 : AB= DC / A=ZD 求證：/ ABC=ZDCB分析：由 AB= DC / A=ZD,想到如取 AD 的中點(diǎn) N,連接 NB, NC,再由 SAS 公理有 ABNADCN 故 BN= CN / ABN=ZDCN 下面只需證/ NBC=ZNCB 再取 BC 的中點(diǎn) M 連接 MN則由 SSS 公理有 NBMANCM 所以/ NBC=ZNCB 問題得證。證明：取 AD, BC 的中點(diǎn) N M,連接 NB NM NG 貝