三角函數(shù)和反三角函數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載4第二章 三角、反三角函數(shù)一、考綱要求1. 理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進(jìn)行弧度和角度的互換。2. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三 角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義。3. 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4. 能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值和恒等式的證明。5. 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)，余 弦函數(shù)和函數(shù) y=Asin(wx+:)的簡(jiǎn)圖，理解Aw、的物理意義。6. 會(huì)由已知三角

2、函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào) arcsinx、arccosx、arctgx 表示。7. 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決三角形 的計(jì)算問(wèn)題。8. 理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖像得出反三角函數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用反三 勿函數(shù)的定文、性質(zhì)解譏一些簡(jiǎn)單訕題。9. 能夠熟練地寫(xiě)出最簡(jiǎn)單的三角方程的解集。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.角的概念(1) 定義：一條射線 0A 由原來(lái)的位置 0A 繞著它的端點(diǎn) 0 按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置0B就形成了角a。其中射線 OA 叫角a的始邊，射線 OB 叫角a的終邊，O 叫角a的頂點(diǎn)。(2) 正角、零角、負(fù)角：由始邊的旋轉(zhuǎn)方向而定。(3) 象限

3、角：由角的終邊所在位置確定。角)，可以表示為 k 360 +a, k Z。(5)特殊角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合a|a第二象限角： 2kn兀+ Va V2kn+n,kZ2第三象限角： 2kn+n V a V2kn+3:,kZ2第四象限角： 2kn3:+ -VaV2kn+2n,kZ2第一象限角:(4)終邊相同的角：一般地，所有與2kn VaV2kn+ ,kZ2a角終邊相同k Z終邊在一、三象限角平分線上角的集合終邊在二、四象限角平分線上角的集合終邊在四個(gè)象限角平分線上角的集合a | a =kn+,kZ4JIa | a =kn-,kZ4JIa | a =kn -kZ兀學(xué)習(xí)必備歡迎下載42.弧

4、度制:(1) 定義：用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度，叫做弧度制。(2) 角度與弧度的互化：兀1801=弧度，1 弧度=(旦)180二(3)兩個(gè)公式：(R 為圓弧半徑，a為圓心角弧度數(shù))。 弧長(zhǎng)公式：1= |a| R學(xué)習(xí)必備歡迎下載112扇形面積公式：S=IR= | a | R223同期兩數(shù):(1)定義：對(duì)于函數(shù) y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T,使得 x 取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有 f(x+T)=f(x)，那么函數(shù) y=f(x)叫 做周期函數(shù)，其中非零常數(shù)T 叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期， 如果 T 中r j/剛存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小正數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周a-X期。(2)幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)

5、論：1如果 T 是函數(shù) y=f(x)的一個(gè)周期，那么 kT(k Z,且 k豐0)也是 y=f(x)的周期。(1)2如果 T 是函數(shù) y=f(x)的一個(gè)周期，那么T也是 y=f(wx)(w豐0)的周期。co3一個(gè)周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)y=f(x)=c。4.三角函數(shù)定義：(1) 定義：設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，P(x , y)是角a終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離|PO| =r,那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分別是sina = ,COSa= ,tgarrrxxy.= ,ctga= ,SeCa= ,CSCa=(女口圖(1)。yyrr(2) 六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：(如

6、圖(2)a2kn+a-an-an+a2n-aJI-a2+ a2正弦sina-sinasina-sina-sinaCosaCosa余弦CosaCosa-Cosa-CosaCosasina-sina正切tga-tga-tgatga-tgactga-ctga余切ctga-ctga-ctgactga-ctgatga-tga上述公式可以總結(jié)為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。5.已知三角函數(shù)值求角6.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì):(1)三角函數(shù)線:(3)冋角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系： sinacsca=1,cosa seca=1,tga商數(shù)關(guān)系： tga=sin:丄,ctga=cos-cos二sin二平方關(guān)系：2

7、sina2+cosa=1,1+tg2 2a=seca,1+ctg(4)誘導(dǎo)公式：-ctga=12 2a=CSCa學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì):函數(shù)y=s inxy=cosxy=tgxy=ctgx圖象定義域RRxIxR 且 x豐kn+ 一 ,k2ZxIxR 且 x 工kn,k Z值域:-1 , 1 x=2kn +時(shí)2yma)=1nn,x=2kn-時(shí) ymin=-12-1,1:x=2kn時(shí) ymax=1x=2kn+n時(shí) ymin=-1R無(wú)最大值 無(wú)最小值R無(wú)最大值 無(wú)最小值周期性周期為 2n周期為 2n周期為n周期為n奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在: 2kn- -

8、 ,2kn+:2 2上都是增函數(shù)；在2kn兀2丄+ ,2kn + n上都23是減函數(shù)(k Z)在2kn-n, 2kn上都是增函 數(shù)；在 2kn, 2kn+n上都是 減函數(shù)(k Z)在 (kn- , kn2+上)內(nèi)都是增2函數(shù)(k Z)在(kn, kn+n) 內(nèi)都是減函數(shù)(k Z)7.函數(shù) y=Asin(wx+:)的圖像：函數(shù) y=Asin(wx+:)的圖像可以通過(guò)下列兩種方式得到: 0，圖像左移(1)y=sinx_ ：) v 0，圖像右移丨申I1w 1，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍wy=sin(wx+*申)10vwv1,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的-倍wA 1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的A 倍y=Asin(wx+0vA

9、v1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的A 倍1w 1,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍w(2)- y=si nx1vwv1,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的-倍w:0,圖像左移y=si n( wx):v 0,圖像右移一w 1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái) A 倍-y=Asin(wx+-Ay=sin(wx+)：)學(xué)習(xí)必備歡迎下載vAv1,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)A 倍學(xué)習(xí)必備歡迎下載2a2tg?sina =2 1 tg1cosa=-2(2)各公式間的內(nèi)在聯(lián)系:+ 2 :-tg-,tg2a1 tga2tg-2 1 -tg -y28.兩角和與差的三角函數(shù)：(1)常用公式：兩角和與差的公式：sin(a 3)=sinacos3 cosasin3 ,cos(a 3

10、)=cosacos3二 sinasin3 , tgo tgP倍角公式：sin2a=2sinacosa ,2 2 2 2cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina , 2tg atg2a=廠.1 -tg a半角公式：a ,1一cosasin = 2tg(a 3)=-_ 一acos =21 cost丄a丄1 cos口sin口1cos口tg =2積化和差公式：3=丄213=-23=丄213=-一,1 + cosa 1 +cosasin二sincoscossincossincossinsin(a+3)+sin(sin(a+3)-sin(cos(a+3)+cos(a-3)丨，cos(

11、a+3)-cos(和差化積公式：sin+sinsin-sincos+cosa + P- cos2a + P=2 cos- sin2a + P=2 cos- cos=2sincos-cos=-2sin2a + P- sin2萬(wàn)能公式:學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：1凡使公式中某個(gè)式子沒(méi)有意義的角，都不適合公式。2靈活理解各公式間的和差倍半的關(guān)系。3在半角公式中，根號(hào)前的符號(hào)由半角所在像限來(lái)決定。sin 2.21 - cos2：21 cos2：丄 丄4吊具的變形公式有： cosa=,SIna=,COSa=,tga+tg2si na22tg(a+3)(1-tgatg3).Joo5asIna

12、+bcosa = 2bsin(a+：).(其中所在位置由 a, b 的符號(hào)確定，的值K由 tg;:=-確定)。a9.解斜三角形：在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表:名稱(chēng)公式變形內(nèi)角和定理A+B+CnA B兀C_+ =_ -,2A+2B= 2n-C2 22 2余弦定理a2=b2+c2-2bccosA2 2 2b =a +c -2accosB2 2 2c =a +b -2abcosCb+c -acosA=-2bc2 .2.2ma + c b cosB=-2aca +b -ccosC-2ab正弦定理abc十- =- =- =2Rsin A sinB sin CR 為厶 ABC 的外接圓半徑a=2Rs

13、i nA,b=2Rsi nB,c=2Rs inCsinA=,sinB= ,sinC= 2R2R2R射影定理acosB+bcosA=c acosC+cosA=bbcosC+ccosB=a學(xué)習(xí)必備歡迎下載面積公式1111SA= aha= bhb= 一 chc2221112SA= absi nC= acsi nB= bcsi nA22223sinA=-ab2Ssi nB= ac學(xué)習(xí)必備歡迎下載3S=abc4R4SA=JP(P-a)(P-b)(P-c)(P=-2(a+b+c)15SA= (a+b+c)r2(r 為AABC 內(nèi)切圓半徑)sinC=2SAab10.反三角函數(shù):名稱(chēng)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切

14、函數(shù)反余切函數(shù)定義y=s in x(x31JI厶厶L-,丨的反2 2函數(shù)，叫做反正弦 函數(shù)，記作y=cosx(x 0,n)的反函數(shù)，叫 做反余弦函數(shù)，記 作x=arccosyy=tgx(x (-上，2jr一)的反函數(shù)，叫2做反正切函數(shù)，記作x=arctgyy=ctgx(x (0,n)的反函數(shù)， 叫做反余切函 數(shù)，記作x=arcctgy理解arcsinx 表示屬于】-,:2 2且正弦值等于x的角arccosx 表示屬于:0,n,且余弦 值等于 x 的角arctgx 表示屬于TT TT(-二，二)，且正切2 2值等于 x 的角arcctgx 表示屬 于(0 ,n)且余切 值等于 x 的角圖像忙44

15、V-L.性 質(zhì)定義域-1 ,1-1,1(-oo,+m)(-oo,+o)值域JiJi，一220, n兀JI(-，)22(0, n)單調(diào)性在-1 , 1上是 增函數(shù)在-1 , 1上是減 函數(shù)在(-o,+o)上是增 數(shù)在(-o,+o)上 是減函數(shù)奇偶性arcsi n(-x)=-arc si nxarccos(-x)=n-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=n-arcctgx周期性都不是同期函數(shù)恒等式si n(arcsi nx)=x( x : -1,1 )arcsin(sinx )=x(xJi Ji-,)2 2cos(arccosx)=x(x :-1,1)arccos

16、(cosx)=x(x0,n )tg(arctgx)=x(xR)arctg(tgx)=x(xJI JI (-,)2 2ctg(arcctgx)=x(xR)arcctg(ctgx)=x (x(0,n)互余恒等式JIarcs in x+arccosx= (x -1,1 )2JIarctgx+arcctgx= (X R)211.三角方程：(1)最簡(jiǎn)單三角方程的解集:方程方程的解集sin x=a1a|11a1=1x|x=2kn+arcsina,kz1a|v1kx|x=kn+(-1) arcsina,kz學(xué)習(xí)必備歡迎下載Ia|1cosx=aIaI=1x|x=2kn+arccosa,k zPIa|v1x|x

17、=2kn arccosa,kztgx=ax|x=kn+arctga,kzctgx=ax|x=kn+arcctga,kz(2)簡(jiǎn)單三角方程：轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單三角方程。三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是每年高考的必考內(nèi)容，其主要內(nèi)容由以下三 部分構(gòu)成：三角函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)；三角恒等變形；反三角函數(shù)。在高考中，第二部 分為主要內(nèi)容，進(jìn)行重點(diǎn)考查，當(dāng)然也不放棄前后兩部的考查，對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行分析 后，可以看出：對(duì)三角函數(shù)的考查主要有兩種方式：?jiǎn)为?dú)考查三角函數(shù)或與其它學(xué)科綜合考 查，前一部分通常是容易題或中等題，而后一部分有一定難度。下面對(duì)常見(jiàn)考點(diǎn)作簡(jiǎn)單分析：1. 角、三

18、角函數(shù)定義的考點(diǎn)：這是對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查，一般不會(huì)單獨(dú)成題，更 多地是結(jié)合其它方面的內(nèi)容(如：三角恒等變形，三角函數(shù)性質(zhì)等)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)作綜合考查。2. 三角函數(shù)圖像的考查：通常有三種方式：由圖像到解析式：由圖像到性質(zhì)；圖像的應(yīng) 用。3. 三角函數(shù)性質(zhì)的考查(1) 定義域和值域：(2) 周期性：通常結(jié)合恒等變形考查如何求三角函數(shù)的最小正周期，或考查與周期性相關(guān)的問(wèn)題，如：設(shè) f(x)是(-a,+8)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x) ，當(dāng) Owx0.4 sin0 =,從而5應(yīng)填-3.4例 3 tg20 +tg40 + ,3 tg20解： . 3 =tg60 =tg(20 +40 )=1

19、 -tg20tg40例 5 關(guān)于函數(shù) f(x)=4sin(2x+) (x R),有下列命題:31由 f(x1)=f(x2)=0 可得 X1-X2必是n的整數(shù)倍；2y=f(x)的表達(dá)可以改寫(xiě)為 y=4cos(2x-);6n3y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱(chēng)；64y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x= 對(duì)稱(chēng)；6其中正確命題的序號(hào)是 _ .(注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)解：分別討論四個(gè)命題.nn令 4sin(2x+ )=0,得 2x+ =kn(k Z),x=33g“k2: :X1=- ,x2=- ,k1工 k2,k1,k2 Z,26 26原式= .3(1-tg20 =.3 tg40 )+3tg

20、20 tg40應(yīng)填.3.例 4 求值：5二JIcos -cos =88加5JI解：cos cos 8813-兀1 “、.2 c、 2=(cos -+COS(-+0)=- .242224 tg20 +tg40 = . 3 (1-tg20 tg40 ).).cos0=-3ctg0=-tg40 的值是(k Z),設(shè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載6則 f(x1)=f(x2)=0,n但 X1-X2= (k1-k2),當(dāng) k1-k2為奇數(shù)時(shí)，X1-X2不是n的整數(shù)倍2命題不正確學(xué)習(xí)必備歡迎下載2y=f(x)=4sin(2x+ )=4cos -(2x+ ) =4cos(-2x+ )=4cos(2x- )32366 命題正

21、確3根據(jù)n2x+ 一302n3 兀22nXJi2n7兀5兀6126126Y040-40作出 y=f(x)=4sin(2x+)的草圖，如圖3由圖知，f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-丄，0)對(duì)稱(chēng)，6命題正確4由圖知，y=f(x)的圖像不關(guān)于直線 x=-1 對(duì)稱(chēng)6命題不正確應(yīng)填、例 6 函數(shù) y=sin(x- ) cosx 的最小值是 _.6解：利用積化和差公式(注：今后高考試卷中會(huì)印寫(xiě)公式)，得1y= sin(2x-) +sin(_ )2 6 61二1=sin( 2x-)-.264Tt sin(2x-) -1,1 :,6_ 3ymin .43應(yīng)填-4sin3x sinxcos3x cosx例 7 y=+s

22、in2x,則 y 的最小值是cos 2x解：利用 3 倍公式：33sin3x=3sinx-4sinx,cos3x=4cos x-3cosx.(3sinx-4sin3x) sin3x (4cos3x - 3cosx)cos3xy=+sin2xcos 2x3sin4x - 4sin6x 4cos6x - 3cos4x=+sin2xcos 2x3(sin4x - cos4x)4(cos6x - sin6x)=+sin2xcos 2x2 2 2 2 2 2=3(sin x - cos x) +4(cos x-sin x(1 - cos xsin x)+S|n2xcos22x-3cos2x 4cos2x

23、 - 4sin2xcos2xcos2x=+sin2xcos 2x學(xué)習(xí)必備歡迎下載=1-sin22xcos2x+sin2x學(xué)習(xí)必備歡迎下載=cos2x+s in2x/3T=.2 sin(2x+ )41A.有最大值丄和最小值 02 1B. 有最大值但無(wú)最小值2C. 既無(wú)最大值也無(wú)最小值D. 有最大值 1 但無(wú)最小值 解： A+B=.2/ sinA sinB=sinAJIA(0,)=2A(0,n)21 sinAcosA 有最大值但無(wú)最小值.2應(yīng)選 B.例 9 求函數(shù) y=sin x+2sinxcosx+3cos的最大值22 ,21 cos2x解：v2sinxcosx=sin2x,sinx+cos x

24、=1,cos x=22 2 y=sin x+2sinxcosx+3cos x2 2 2=(sin x+cos x)+2sinxcosx+2cos x1 + cos2x=1+sin2x+2 2=sin 2x+cos2x+2L兀Jl=一2(sin2x cos +cos2x sin )+244=.2 sin(2x+ )+24nKr-當(dāng) 2x = 2kn時(shí),ymax=2+、-242nt-即 x= +Kn(K Z) , y 的最大值為 2+2824a例 10已知a是第三象限角，且sina=則 tg =()2524334A.B.c.-D.-3443a解：vsina2tg2i=,sina :=242 1 t

25、g2-252應(yīng)填-2例 8 在直角三角形中，兩銳角為A 和 B,貝 U si nA si nB()cosA=si n2A,2學(xué)習(xí)必備歡迎下載24_ a2tg 2aa即(4tg2+3)(3tg +4)=0.J；- 3 y. 4解出 tg2=-4,tg2=-33兀又已知a是第三象限角，即a(n+2kn,+2kn),2a 2兀 2+k3二n,4+kn),a tg2(-m, -1)a4a tg2=-3(舍去 tg2=-1).應(yīng)選 D.例 11 sin22(0+cos280+ . 3 sin20 cos80解：2sina :202+cos 80 +.3 sin20 cos80 =141應(yīng)填丄.4例 12

26、 求 sin220+COS250+sin20 cos50 的值_2 2解:sin 20 +cos 50 +sin20 cos50 =sin220 +sin240 +sin20 sin40 2=(sin20 +sin40 )-sin20 sin40 21=(2sin30 cos10 ) + (cos60 -cos20 )2cos 201,1/1=+( -cos20 )22 21 - cos401 cos160 2sin20= +222丄1=1-(cos40 +cos20 )+(si n10022v3=1-cos30 cos10 +cos10-324 cos80 -sin60 )25化簡(jiǎn)得1 tg

27、2：22 _12tg2+25tga2+12=0 ,學(xué)習(xí)必備歡迎下載24應(yīng)填.4例 13 tg20解：tg20 +4sin20+4sin20 學(xué)習(xí)必備歡迎下載sin204sin20 cos20cos20 sin20 2si n40cos20(sin20sin40 ) sin40cos20cos10 sin40cos 20sin80 sin40 cos20.3 cos20cos 20=,3.例 14 cos275+COS215+COS75=1 +1=54 *應(yīng)選 C.e例 15 已知 ctq =3,則 cos0=21解：由已知有 tg =.2 3例 16 已知 tgA+ctgA=m,貝 U sin

28、2A_2解：tgA+ctgA=m= tg A+1=mtgAsin 2A=A=絕=?.1+tg A mtgA m例 17 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.(1)b豐0 時(shí)，求 tg3A 的值(用 a、b 表示)；2求(1+2cos2A)(用 a、b 表示).解：(1)利用和差化積公式可得：a=si n3A(1+2cos2A),b=cos3A(1+2cos2A),tg3A=.b(2)由上可知 ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)22ab-cos15。的值等于（）6r3-5A.B.C.D.1224解cos275+COS215+ cos75

29、cos15)+ -si n152二 cos02日1 -tg22=1515291 tg294=(sin215+COS215學(xué)習(xí)必備歡迎下載 (1+2cos2A)=.sin 6A學(xué)習(xí)必備歡迎下載在(+2kn, 一 +2kn)上有 sin2x cos2x.44應(yīng)選 D.例 20 下列四個(gè)命題中的假命題是()A. 存在這樣的a和B的值，使得cos(a+3)=cosacos3+sinasin3B. 不存在無(wú)窮多個(gè)a和3的值，使得cos(a+3)=cosacos3+sinasin3又 sin6A=2tg3A21 tg 3A2abb222ab2 , 2 (1+2cos2A) =a +b .2ab2 2a +

30、b亦-1.5 -1A.arcos -B.arcsin221 -v51 - . 5C.arccos D.arcsin22解：不妨設(shè)此直角三角形三內(nèi)角為AB C 且AVBVC=90例 18 一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為由已知，si nA,si nB,si n90 =1 成等比數(shù)列, sin B=sinA又 A+B=90，得 sinB=cosA,2 2 cos A=sinA,1-sinA=sinA,即 sin2A+sinA-1=0.解出 sinA= A=arcs in-1.51一 5、(舍去 sinA=)2 2.5-12應(yīng)選 B.19 如圖,若 sin2x cos2x，貝 U

31、 x 的取值范圍是（）.A.B.x |C.x |D.x |由于3兀兀2kn-VxV2kn+ ,kZ44n5兀2kn + VxV2kn+ ,k Z44nnkn- V xVkn+ ,kZ44兀3兀kn + VxVkn+ ,kZ=44sin2x 和 cos2x 的周期都是n解：在同一坐標(biāo)系在區(qū)間0,n上作出 sinx， 故可先研究在 0,n:上不等式的解. 和 cosx的圖像.把,n的 cosx 的圖像沿 x 軸上翻后,2求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為JiX1= ,x432=4學(xué)習(xí)必備歡迎下載C. 對(duì)于任意的a和3,使得cos(a+3)=cosacos3-sinasin3D. 不存在這樣的a和3的值，使得

32、cos(a+3)半cosacos3-sinasin3學(xué)習(xí)必備歡迎下載x7t解：C 是兩角和的余弦展開(kāi)公式，當(dāng)然正確，從而D 也正確.對(duì)于 A,取a=3=0,則 cos(0+0)=cos0cos0+s in Os in 0,/ A 正確.對(duì)于 B,取a=3=2kn, k Z,貝 U cos(2kn+cos2kn)=cos2kncos2kn+sin2knsin2kB.不正確. 應(yīng)選 B. 例 21 解不等式(arctgx)-3arctgx+2 0.解：(arctgx)-1 (arctgx)-2 0.arctgxv1 或 arctgx2. 兀n:又-varctgxv.22 - varctgxv1,即

33、有-vxvtg1.222 滿足 arccos(1-x)-1,-:210,2解：反余弦函數(shù)的定義域?yàn)?1A.C.B.D. arccosx 的 x 的取值范圍是-丄,021,1 :2-1,1:,且為減函數(shù).1-x應(yīng)選wxD.例 23 已知 cos2a25求a+3(用反三角函數(shù)表示.1解：由題設(shè)得 sina= 一(0,n),sin23=-,313).2-cos -,從而 cos25又a+3 (n,2n)(a+3-n)(0,n),33 asin3=- .65、33a+3)=-.65cos(a+3)=cosacos3-sin.cos(a+3-n)=cos n-(33 .-n+(a+3)=arccos -

34、6533即卩a+3=n+arccos651例 24 記函數(shù) y= 的圖像為xA.無(wú)窮多個(gè)B.2解：作出函數(shù)草圖可知有a=3,且 cos3=-12513l1,y=arctgx 的圖像為 l2,那么 l1和 12的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(個(gè) D.0 人n又 x:0T一 時(shí),arctgx:02.x 0 時(shí)，I1和 I2有一個(gè)交點(diǎn).C.12 個(gè)交點(diǎn).1T+m, :+TOT0.1又 arctgx 和都是奇函數(shù)，x xv0 時(shí)，丨1和丨2也有一個(gè)交點(diǎn) 應(yīng)選 B.學(xué)習(xí)必備歡迎下載x學(xué)習(xí)必備歡迎下載四、能力訓(xùn)練1.設(shè) Mk第一像限角 , N=小于 90角貝 UMAN 是()(A)第一像限角(B)銳角 (C)小于 90。角

35、(D) 非以上答案(考查象限角的概念)2.扇形圓心角為60,半徑為 a,則扇形內(nèi)切圓面積與扇形面積之比是()(A)1 : 3(B)2 : 3(C)4: 3(D)4: 9(考查扇形面積公式)Qe63.0是第四象限角，且丨 cos | = cos ，則一在()222(A)第一象限(B)第四象限(C)第一四象限(D)第二、三象限(考查象限角與三角函數(shù)值的符號(hào))4. sin 1 +sin 2 + +sin 90 的值屬于區(qū)間()(A)(43, 44)(B)(44, 45)(C)(45, 46)(D)(46, 47)(考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)的有界性)5. 已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與 x 軸正

36、半軸重合，終邊為射線 4x+3y=0(x 0)，則 sin2a(sina+Ctga)+COsa的值是()(A)f(cosx) (B)-f(cosx)(C)f(si nx) (D)-f(si nx)(考查誘導(dǎo)公式與函數(shù)解析式(考查三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像10. 如圖是周期為2n的三角函數(shù) 那么 f(x)的解析式可以寫(xiě)成()(A) f(x)=si n(1+x)(B) f(x)=-si n(1+x)(C) f(x)=si n(x-1)(D) f(x)=si n(1-x)(考查三角函數(shù)的圖像與解析式)11. 對(duì)于函數(shù) y=cos(sinx)，正確的命題是(A)它的定義域是-1 , 1:(B)它是奇函數(shù)

37、(C) y cos1,1(A)-5(B)25(C)85(D)-56.己知 0vav1,JIV a V -，則下列元數(shù)42a)logasin“的大小關(guān)系是()(A)MN P(B)MPN (C)MvNvP(考查三角函數(shù)定義和直線方程)logasinalogacosa/M=(sina) ,N=(cosa) ,P=(cos(D)MvPvN(考查對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)關(guān)系)則 cos3x 等于()8.方程 sinx=lgx(A)1(B)2(C)3的實(shí)根個(gè)數(shù)是()(D)以上都錯(cuò)9.函數(shù) y=sin(2x+5:(A)x=- 一 (B)x=-42)的圖像中的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是2兀(C)x=(D

38、)x=y=f(x)的圖像,7.右 f(sinx)=sin3x.)(考查三角函數(shù)圖像的特征學(xué)習(xí)必備歡迎下載(D)(考查三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)及弧度制)x 112.函數(shù) y=tg -的最小正周期是()2 sinx學(xué)習(xí)必備歡迎下載3(A)-(B)n(C)(D)2n2 2(考查三角函數(shù)的周期和恒等變形)13.函數(shù) y=cscxcos3x-cscxcos5x 是()(A)周期為的奇函數(shù)(B) 周期為的偶函數(shù)2 2(C)周期為n的奇函數(shù)(D) 周期為n的偶函數(shù)(考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系)14. 若 a=sin14 +cos14 , b=sin16 +cos16 ，則下列不等式中成立的是()晶晶Vbb

39、 (B)av vb (C)avbv(D)bvav2 222(考查輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性)15. 下列四個(gè)命題中的假命題是()(A) 存在這樣的a和B的值，使得 cos(a+3)=cosacos3+sinasin3(B) 不存在無(wú)窮多個(gè)a和3的值，使得 cos(a+3)=cosacos3+sinasin3(C) 對(duì)于任意的a和3,都有 cos(a+3)=cosacos3-sinasin3(D) 不存在這樣的a和3的值，使得 cos(a+3)豐cosacos3-sinasin3(考查公式的記憶，理解和邏輯語(yǔ)言的理解)16. tga、tg3是方程7X2-8X+1=0 的二根，則a+3)cos(

40、a+3)+COS?(a+3)的值是(72118.若 ctgx=3，貝Ucos x+ sin2x 的值是()2(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，半角公式，萬(wàn)能公式+tg63 +tg81 的值為()(C)2(D)-2(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式，和積互化公式5420.在厶ABC中，(1)已知 tgA= sinB= ，則/ C 有且只有一解，(2)已知17.si n(a+3)=-35sin(a-3)=3,5且a-3 ( , n), a+32cos23 =()(A)-1(B)1(C)24(D)-42551111(A) -(B)-(C)(D)-3579(考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及有關(guān)求值(考查同

41、角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式(,2n)。則22sin (a+3)-sin(7(A)-6(B)-519.tg9 -tg27(A)-4(B)4(C)(D)學(xué)習(xí)必備歡迎下載125123tgA= ,sinB=,則/ C 有且只有一解，其中正確的是()55(A)只有(1)(B) 只有(2)(C)(1) 與 都正確 (D)(1) 與 均不正確(考查綜合有關(guān)公式，靈活處理三角形中的計(jì)算)21. 在厶 ABC 中，若 a, b, c 為/ A,/ B,ZC 的對(duì)邊，且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1，則()(A)a , b, c 成等差數(shù)列(B)a, c, b 成等差數(shù)列(C)a , c, b

42、 成等比數(shù)列(D)a, b, c 成等比數(shù)列(考查三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，和差化積，倍角公式，兩個(gè)基本數(shù)列)22. 給出下列四個(gè)命題：1若 sin2A=sin2B，則 ABC 是等腰三角形；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(考查反函數(shù)的求法，誘異公式，反三角弦函數(shù)定義24.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的一組是()(A) y=arcsin(cosx)與 y=arccos(sinx)(B) y=sin(arccosx)與 y=cos(arcsinx)1(C) y=arctgx 與 y=arcctg -x(D) y=sin(arcsinx)與 y=tg(arctgx)n左平移一單位，這樣得到的圖像的解析式是 _

43、。6(考查三角函數(shù)圖像的變換)30.若函數(shù) y=sin(x+申)+cos(x+申)是偶函數(shù)，則 的值是_。(考查函數(shù)的奇偶性，三角恒等變形，最簡(jiǎn)單三角方程)31: (1)tg70 +tg50 -T3tg70 tg50 =_(2) ABC 中，(1+tgA)(1+tgB)=2 U log2Sinc=_25.設(shè) m=arcsin ，n=arccoV5s,p=arctg 、22，貝 y m, n, p 的大小關(guān)系是()(A)p n m (B)n m p(C)p m n (D)m n p(考查反三角函數(shù)的運(yùn)算及其單調(diào)性26.設(shè)函數(shù) y=2arcs in( cosx)的定義域?yàn)?-,2)，則其值域是()

44、33JI兀(A)(,-)(B)(n)323JIJI(C)(-,)(D)(-n)323(考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義域和值域27.函數(shù) y=logsinxcosx+的定義域是。(考查函數(shù)定義域的求法，數(shù)形結(jié)合解三角不等式28.f(x)=sinx-sin| x | 的值域是)(考查絕對(duì)值定義，誘異公式，正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，函數(shù)值域一 一1一 、29.把 y=sinx 的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)。然后將新得圖像向2(考查有關(guān)反三角恒等式及其運(yùn)算，函數(shù)的定義2若3若4若()(A)1sinA=cosB，則 ABC 是直角三角形；2 2 2sin A+sin B+sin Cv2，則 AB

45、C 是鈍角三角形；cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1 ，則 ABC 是等邊三角形，以上命題正確的個(gè)數(shù)是個(gè) (B)2 個(gè) (C)3 個(gè) (D)4 個(gè)(考查靈活運(yùn)用公式判斷三角形形狀和判斷正誤的能力23.函數(shù) y=cosx(nWx 2n)的反函數(shù)是()5n-arcsinx2(A)y=n+arccosx(B)y=(C)y=3n+arcsinx2(D)y=%-arccosx學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3) (1+tg1 )(1+tg2 )(1+tg3 )(1+tg45 _ )=_(4) 己知 tgA+tgB+ . 3 = - 3 tgAtgB , 且 sinAcosB 出，則 ABC 的形狀是

46、_4(5) 己知 A、C 是銳角 ABC 的兩個(gè)內(nèi)角，且 tgA,tgC 是方程 x2-U3px+1-p = 0(p豐0，且p R),的兩個(gè)實(shí)根，貝 U tg(A+C)=_ , tgA,tgC 的取值范圍分別是 _和_, P 的取值范圍是_學(xué)習(xí)必備歡迎下載(考查兩角和的正切公式的變形運(yùn)用，倍角公式，韋達(dá)定理，對(duì)數(shù)值計(jì)算)32. 函數(shù) y=cosx-1(0 xcosA+cosB+cosC銳角 ABC 中，求證：tgAtgBtgC 1.2口 2sin-sin :-小+_ =222 R，cos：cos(考查三角函數(shù)的單調(diào)性41.解答下列各題：若 y=acosx+b 的最大值是 1,最小值是-7 ,求

47、 acosx+bsinx 的最大值。求 y=2-sinX的最值2-cosx設(shè)函數(shù) y=-2sin2x-2cosx-2a+1 的最小值是 f(a)，寫(xiě)出 f(a)的表達(dá)式;試確定能使 f(a)=-的 a 的值。2sin xcosx求 f(x)=的值域1 +si nx +cosx求 y=2s in xs in 2x的最大值2b2若0為鈍角，求 y= + 匕 (a b 0)的最小值cos 6 sin 61(7) 己知 sinxsiny=，求 cosxcosy 的取值范圍2(8) 己知 3sin2a+2sin23=2sina，求 cos2a+cos23的最值(考查三角函數(shù)常見(jiàn)最值的求法2 242.a、

48、b、c ABC 的三邊，求證：1 cos(A - B)cosC=0_1+cos(AC) cosB a+c(考查三角形中恒等式的證明43. 在厶 ABC 中，a、b、c 分別是角 A、B、C 的對(duì)邊，設(shè) a+c=2b, A-C=,求 sinB 的值。3(考查三角形中的有關(guān)計(jì)算)44. 在厶 ABC 中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若厶 ABC 的周長(zhǎng)為 12,求其面積的最大值。(考查三角形中的最值問(wèn)題)二二145. 己知 f(x)=tgx,x (0, )，右 x1,x2 (0,)，且 X1MX2,證明：一f(x1)+f(x2)L222X1x2 f(-)2(綜合考查三角

49、函數(shù)與不等式)46. 己知實(shí)數(shù) x, y 滿足 x. 1-y2+y1-x2=1，問(wèn) x2+y2是否為定值？若是，請(qǐng)求該值：否則求其取值范圍。(考查代數(shù)與三角的綜合題)47. 在高出地面 30m 的小山頂 C 處建造一座電視塔 CD(如圖)，今在距離 B 點(diǎn) 60m 的地面 上取一點(diǎn) A,若測(cè)得 CD 對(duì) A 所張的角為 45，求電視塔的高度。(考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力)48.如圖，海中小島 A 周?chē)?20 海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在 測(cè)得小島 A 在船的角偏東 30,在 C 處測(cè)得 A 在船的南偏東 60, 船不改變航向，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？-L 己知2求證:學(xué)習(xí)必備歡迎下載(考查應(yīng)

50、用正弦定理處理實(shí)際問(wèn)題的能力)49.外國(guó)船只，除特許者外，不得進(jìn)入離我海岸線D 里以內(nèi)的區(qū)域，設(shè)A, B 是我們的觀測(cè)站，A 與 B 間的距離是 S 里，海岸線是過(guò) A, B 的直線， 一外國(guó)船只在 P 點(diǎn)，在 A 處測(cè)得/BAPP,同時(shí)在 B 處測(cè)得/ ABP=3，問(wèn)a及3滿足什么三角不等式時(shí)， 就應(yīng)當(dāng)問(wèn)這艘未經(jīng)特許的外國(guó)船發(fā)出警告，命令退出我海域？C學(xué)習(xí)必備歡迎下載9（考查靈活應(yīng)用三角知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力）50.半圓 0 的直徑為 2，A 為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， 0A=2 B 為半圓周長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)，以 AB 為 邊，向形外作等邊 ABC 問(wèn) B 點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形 OACB 勺面積最大？

51、并求出這個(gè)最大值。（考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力）TT51. 己知半徑為 1，圓心角為的扇形，求一邊在半徑上的扇形的3內(nèi)接矩形的最大面積。（考查三角函數(shù)在圓形最值中的運(yùn)用）52. 腰為 a 的等腰 ABC 中，/ A=90 當(dāng) A, B 分別在 x 軸，y 軸正半軸上移動(dòng)，且點(diǎn) C 與原點(diǎn) 0 在 AB 的兩側(cè)時(shí)，求 0C 長(zhǎng)的最大值。（綜合考查三角、解幾、最值問(wèn)題）53.如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為 S,為使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底邊長(zhǎng)之和最小，問(wèn)此時(shí)腰與下底夾 角a應(yīng)該是多少？（考查代數(shù)與三角的綜合）54.用一塊長(zhǎng)為 a，寬為 b（a b）的矩形木塊

52、，在二面角為a的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的儲(chǔ)物倉(cāng)（使木板垂直于地面的兩邊緊貼墻面，另一邊與地面緊貼）試問(wèn)，怎樣圍才能使儲(chǔ)物倉(cāng)的容積最大？并求出這個(gè)最大值55.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在y 軸的正半軸上給定兩點(diǎn) A, B,試在 x 軸正半軸上求一點(diǎn) C,使/ ACB 最大。（考查代數(shù)，三角，解幾的綜合運(yùn)用）能力訓(xùn)練參考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D2兀27.x|2knVxV2kn+ 一14.BJI29.y=si n( 2x+ ) 30.33)(1-tgatg3)(1)-3(2)- 3 ; (0 , .3) ； (0 ,3);,且 x豐2k3Tt+ (k 41(3)22C2，1)3JIn + ,kz=228. : -2 , 2:z) 31.(23（提示:32.235.(1)M=1,m=-110二，TPk=32 (提示：應(yīng)用公式tga+tg3= tg(a+（2） 的結(jié)論）33.34.提示：令 TW1)n36.2cos0方法（一）:用數(shù)學(xué)歸納法方法（二）:x=cos0+