2019年高考秘籍-破解導數(shù)壓軸題策略：5.導數(shù)不等式的證明-多元不等式策略(2)

1、1【考點點睛】放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學生卻常考常怕。不等式的應用 體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性，多出現(xiàn)在壓軸題的位置。數(shù)學的基本特點是應用的廣泛性、理論的抽 象性和邏輯的嚴謹性，而不等關系是深刻體現(xiàn)數(shù)學的基本特點。即使如此，只要我們深入去探索，總有方 法規(guī)律可循，總會有“撥得云開見日出”的時刻！放縮法的合理使用， 往往能起到事半功倍的效果，有時能令人拍案叫絕；但其缺點也是顯而易見，如果使用放縮法證題時沒有注意放和縮的“度”，容易造成不 能同向傳遞，即放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及，所以要熟練地駕馭它是件不 容易的事。命題角度 1 構

2、造函數(shù)命題角度 2 放縮法命題角度 3 切線法命題角度 4 二元或多元不等式的證明思路命題角度 5 函數(shù)凹凸性的應用在求解過程中，力求“腦中有形，心中有數(shù)”依托端點效應，縮小范圍，借助數(shù)形結合，尋找臨界命題角度 4 二元或多元不等式的解證思路【典例 7 7】（20192019 年安慶市二模）已知函數(shù)f x = x2ax bl nx，曲線y=f x在點1, f 1門處 的切線方程為y=2x.（1）求實數(shù)a,b的值；（2）設F x二f x；-x2，mx R,治必0：為：x2分別是函數(shù)F x的兩個零點，求證:F、x: 0.【解析】（1）a=1,b-1；（2）f x =x2x-l nx，F(xiàn) x =1m

3、xT nx，F(xiàn) x =m1- ，xi. 1 m / = In x1因為x1,x2分別是函數(shù)F x的兩個零點，所以，找到結構對等式I 1 m x2= In x2x -x2導數(shù)中的不等式證明兩式相減，得m，1 =ln x2含In x時兩式相減，含ex時兩式相比2由上述分析可知FXM: 0 .【規(guī)律總結】這是極值點偏移問題，此類問題往往利用換元把系變形為齊次式，設t=,t=In空，t =為-x2,t =7 等，構造函數(shù)來解決，可稱之為構造比較函x2x2數(shù)法.思路:因為0 v % 0,X xQ(X)Q(X2)= 0,即證In x lnx2Jx2xF莎 i=m 1X1X2Xj_x2x1x2要證明F一在：

4、0,只需證In為In x21.使用分析法，將待證式變形% -x2思路一：因為0：為：:x?，只需證In為In x2X1X2= 4X1X1X2X2X2x2令t =/蟲E(0,1 )，即證2Int-t+1：0.:x2t使用換元法,構造函數(shù)121令h t = 2In t t 0：t：1，則h t12 t2： ：0，所以函數(shù)h t即證12ln t -t 0.tx1, x2轉化為t的函數(shù)，常把X1, x2的關設Q x = In x -In x2x一x2亠“丁 (0 x v x2)，則X2X變多元為一元，構造函數(shù)X x22、x2x2、x2x - x - x2厶 x2x X.、X2- X2 x2x、x所以函

5、數(shù)Q x在0,x2上單調(diào)遞減,1x2x43由上述分析可知F mx2：0.4【規(guī)律總結】極值點偏移問題中，因為兩個變量的地位相同，將待證不等式實行變形，能夠構造關于Xi（或X2）的一元函數(shù)來處理應用導數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達到待證不等式的證明此乃主元法. .即證為2.航，由對數(shù)平均數(shù)易得In為一In x2【規(guī)律總結】極值點偏移問題中，如果等式含有參數(shù)，則消參，有指數(shù)的則兩邊取對數(shù)，轉化為對數(shù) 式，通過恒等變換轉化為對數(shù)平均問題，利用對數(shù)平均不等式求解，此乃對數(shù)平均法【知識拓展】對于a0,b0,a?b，則a+ b- a ,0b，其中b- a稱之為對數(shù)2 In b- In aIn b- I

6、n a（下略）【典例 8 8】（A10A10 聯(lián)盟 20192019 年高考最后一卷）已知函數(shù)f x二ex,g x二ax2 bx,a,bR.（1）當b=0時，方程f x g -0在區(qū)間0,：上有兩個不同的實數(shù)根， 求a的取值范圍;（2 2）當a= b0時，設x1,x2是函數(shù)Fx=fx-gx兩個不同的極值點,證明：X1X2In 2a.2X【解析】（1）因為f x i亠g x i=0,所以exax 0,即-a=與,xX設h x = 2x 0，則hx二x當x 0時，h x,當x上時，h x：，、e2e2要使方程f xg x =0在區(qū)間0,亠i上有兩個不同的實數(shù)根，貝V-a，解得a：44思路三:要證明

7、F XjX2:：0，只需證In為In x2Xl_ X2平均數(shù). .簡證如下:不妨設b = ax(x 1),只需證明也U,.X即可,2 In x即2(x- 1) Inx x+1x- 1Xx-2 ex3X變量分離，轉化為函數(shù)性質的研究所以h x在0,2上單調(diào)遞減，在2,=上單調(diào)遞增,2eh x -h 2 =4故a的取值范圍是oO45exex【一題多解】本題也能夠變形為ax，轉化為過原點的直線y二ax與函數(shù)y圖象有兩xx個交點問題，應用數(shù)形結合思想求解，直線與曲線相切對應所求范圍的界點（2）由題意，F(xiàn) x =ex_ax2-ax，F(xiàn) x =ex_2ax-a，因為xux2是函數(shù)Fx二fx-gx兩個不同的

8、極值點,不妨設 ：x2，F(xiàn) % = 0, F x2=0，即e51-2a% -a二0,ex2-2a/ -a = 0，% _x2K *2:ln 2a,即證明e2:2a,分析法是證明問題的重要方法xi x2ex _ex2生二生ex _1只需證e2:-，即e2: -1% 屜x2令卻 空=t：0,只需證當t : 0時，不等式2te e2t1 0恒成立，2設Q t =2tet-e211 t : 0，貝V靈活換元，構造函數(shù)Q t =2 t 1 e2e2t=2ett 1話,易證tett : 0，所以Q t : 0,所以Q t在：,0上單調(diào)遞減，Q t Q 0=0，即2tet-e2t10.綜上所述，x12:ln

9、 2a成立.【審題點津】函數(shù)的拐點偏移問題的證明思路能夠根據(jù)類似的結構特征，適當變形為兩個變量之差（或比值）的關系，整體換元，構造函數(shù)，借助于導數(shù)的應用解決問題1【典例 9 9】（20192019 屆合肥三模）已知函數(shù)f xi=ex-?x2-ax有兩個極值點x，x（e為自然對數(shù)的 底數(shù)）. .（1 1）求實數(shù)a的取值范圍；（2 2） 求證：f X1f x22. .1解析：（1 1）因為f x二ex-x2-ax，貝yfxi；=ex-x-a,XiXi卷兩式相減得2a=e剖析結構特點，靈活變形旳2，亦即為 -x2-e51210.6設g xi=f xi=exxa，貝U g xl=ex1. .7令g x =e-仁 0，解得X =0.所以當x,0時，g x : 0；當x0,=時，g x . 0.所以gxmin二g0Ja.1當a 2，只需證f -x2f x2i2,即證e e_x2- 2 0.利用單調(diào)性放縮，化多元為一元設函數(shù)k x二ex e* -x2-2,i0, ，則k x = ex-e* -2x.設二k x二ex-e* -2x，則x二exe* -2 0,所以x在0, *上單調(diào)遞增，:x八訂0 =0,即k x 0.8所以k x在0, :上單調(diào)遞增，k x k 0 =0. .故當xw 0, :時，ex