高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、 函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性與最值高一數(shù)學(xué)組yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-11.觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映 了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：隨x的增大，y的值有什么變化？能否看出函數(shù)的最大、最小值？函數(shù)圖象是否具有某種對稱性？2.畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：(1) f(x) = x 從左至右圖象上升還是下降 _? 在區(qū)間 _ 上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 _ (2) f(x) = 在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _ 在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _ 2x函數(shù)單調(diào)性的定義 1增函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如

2、果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 ，當(dāng) 時，都有 ，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)12,x x12xx12()()f xf x思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義 減函數(shù) 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 ，當(dāng) 時，都有 ，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)12,x x12xx12()()f xf x注意： 1.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 2.必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 .12,x x2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性

3、，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：例1.如圖是定義在區(qū)間 -5, 5 上的函數(shù) ，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？( )yf x解：函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2 ), -2,1 ), 1,3 ), 3,5 .其中 在區(qū)間 -5,-2 ), 1,3 )上是減函數(shù)，在區(qū)間 -2,1 ), 3,5 上是增函數(shù)。( )yf x( )yf x例2 證明函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)。 xxf1)(), 0(3判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且 ； 作差 ； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號

4、（即判斷差 的正負(fù)）； 判斷（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） 12xx12()()f xf x12()()f xf x 請你歸納利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟。3判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且 ； 作差 ； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差 的正負(fù)）； 判斷（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） 12xx12()()f xf x12()()f xf x課本第38頁 練習(xí)1、2、3、4題 函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫函數(shù)圖象通常借助計算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須

5、要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取 值 作 差 變 形 定 號 判斷課本第39頁 習(xí)題1.3(A組)第1234題例3.物理學(xué)中的玻意耳定律 （k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)P將增大，試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。kpV分析：按題意，只要證明函數(shù) 在區(qū)間( 0,+ )上是減函數(shù)即可。kpV證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè) 是定義域( 0,+ )上的任意兩個實(shí)數(shù)，且 ，則12,V V12VV21121212()().VVkkp Vp VkVVVV12,(0,)V V 12,0V V 由 ，得 ；210VV12VV由 ，得 ； 所以，函數(shù) 是減函數(shù)，也就是說，當(dāng)體積V

6、減小時，壓強(qiáng)P將增大。,(0,)kpVV12()().p Vp V即：12()()0,p Vp V又 k0，于是函數(shù)的最值函數(shù)的最值思考思考：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義嗎？最大值的定義 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： （1）對于任意的 ， （2）存在那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximum value）.)(,00MxfIx使得MxfIx)(, 都有例3.“菊花”煙花是最壯觀得煙花之一，制造時一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂。如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關(guān)系為 ， 那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的的最

7、佳時刻？ 這時距地面的高度是多少 （精確到1m）？187 .149 . 4)(2ttth 解：作出函數(shù) 的圖象，顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度。2( )4.914.718.h ttt 于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29m。 由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù) 我們有：2( )4.914.718.h ttt 當(dāng) 時，函數(shù)有最大值14.71.52 ( 4.9)t 24 ( 4.9) 18 14.729.4 ( 4.9)h 例4.求函數(shù) 在區(qū)間 2, 6 上的最大值和最小值。21yx課本第38頁 練習(xí)1、5題 函