數(shù)學(xué)練習(xí)題高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題考點透析08 數(shù)列(陳飛林）

1、考點透析8 數(shù) 列數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。

2、（2）數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。（文科考查以基礎(chǔ)為主，有可能是壓軸題）一、知識整合1在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題；2在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)

3、學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力3培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二、方法技巧1判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若  ，則為等比數(shù)列。(3)中項公式法：驗

4、證中項公式成立。2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項變號法求解：  (1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。三、注意事項1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：= ， =4數(shù)列極限

5、的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路5解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略四典型考例【問題1】等差、等比數(shù)列的項與和特征問題P49 例1 3。P50 例2 P56 例1 P59 T6【注1】文中所列例題如末給題目原文均為廣州市二輪復(fù)習(xí)資料上例題例（四川卷）數(shù)列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理

6、能力與運算能力。滿分12分。解：（）由可得，兩式相減得又 故是首項為，公比為得等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為 由得，可得，可得故可設(shè) 又由題意可得 解得等差數(shù)列的各項為正， 1.設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.()若a11=0,S14=98,求數(shù)列an的通項公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的數(shù)列an的通項公式2(上海卷)設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，。（1）求數(shù)列的通項公式？（2）設(shè)數(shù)列的前項和為,對數(shù)列，從第幾項起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 當(dāng)n2時, an= SnSn1=(4096an)(

7、4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn<509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n46. 從第46項起Tn<509.3. (全國卷) 設(shè)正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且。（）求的通項；（）求的前n項和。解：（）由 得 即可得因為，所以 解得，因而 （）因為是首項、公比的等比數(shù)列，故則數(shù)列的前n項和 前兩式相減，得 即 【問題2】等差、等比數(shù)列的判定問題P53 T7 例P54 T9例P54 T9(上海卷)已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)2），首項2設(shè)該數(shù)列的前項和為，且2

8、（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值(1) 證明 當(dāng)n=1時,a2=2a,則=a； 2n2k1時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時, bn<； 當(dāng)nk+1時, bn>. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2

9、k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.4例，已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑【注2】本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似.解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(

10、a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當(dāng)n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用【問題3】函數(shù)與數(shù)列的綜合題 P51 例3數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定

11、義域為正整數(shù)集，且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點.P51 例3（2006湖北卷）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項公式；（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；點評：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數(shù)的圖像上

12、，所以3n22n.當(dāng)n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.5設(shè)，定義，其中nN*.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，解：（1）2，數(shù)列an上首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）兩式相減得： 6（湖北卷）設(shè)數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)y3x2的圖像上。（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m。本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和

13、基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。解：（I）依題意得，即。當(dāng)n2時，a;當(dāng)n=1時，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必須滿足，即m10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10?！締栴}4】數(shù)列與解析幾何數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點內(nèi)容之一，求解時要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解.例3在直角坐標(biāo)平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列.求點的坐標(biāo)；子設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜

14、率為，求：.解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=點評：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運用幾何知識算出. 7已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設(shè)點（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項和為解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得， 故是以為公比的等比數(shù)列；，【問題5】數(shù)列與算法8. 數(shù)列的前項和為=n2+2n-1,試用程序框圖表示數(shù)列通項的過程,并寫出

15、數(shù)列的前5項和通項公式.9.根據(jù)流程圖,(1)求;(2)若,求n. 【問題6】數(shù)列創(chuàng)新題10.（安徽卷）數(shù)列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和。解：由得：，即，所以，對成立。由，相加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立。（）由，得。而，11.（福建卷）已知數(shù)列an滿足a1=a, an+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時，得到無窮數(shù)列：（）求當(dāng)a為何值時a4=0；（）設(shè)數(shù)列bn滿足b1=1, bn+1=，求證a取數(shù)列bn中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列an； （I）解法一： 故a取數(shù)列bn中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列a

16、n12. (全國卷III) 在等差數(shù)列中，公差的等比中項.已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解：由題意得：1分即3分又4分 又成等比數(shù)列,該數(shù)列的公比為，6分 所以8分又10分所以數(shù)列的通項為12分課后訓(xùn)練:一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1如果-1，a, b,c,-9成等比數(shù)列，那么Ab=3,ac=9B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-92在等差數(shù)列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.453（06廣東卷）已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為A.5 B.4 C. 3

17、 D. 24若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則A4 B2 C2 D45（06江西卷）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.2016(文科做)在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于A. B. C. D.7已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD8（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則A. B. C. D.9已知等差數(shù)列an中,a2+a8=8,則該數(shù)列前9項和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.4510（06天津卷）已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項

18、分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項和等于（）A55 B70C85D100二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，14，S1030，則S9.12在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)列的通項an=_.13. 已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1,則m的取值范圍是_ _ 14. 等差數(shù)列an共有2n+1項，其中奇數(shù)項之和為319，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_ 15設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .三、解答題（共4小題，每

19、小題4分，共24分）16已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項17.（文科做）（06福建）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)18（山東卷）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.()令 ()求數(shù)列()設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。答案與點撥：1 B 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac（1）×（9）9，b×b9且b與奇數(shù)項的符號相同，故b3，選B2 B解：在等差數(shù)列中，已知 d=3，a5=14，=3a5=42，選B.3 D解：，故選C.4 D解

20、：由互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)abd，cbd，由可得b2，所以a2d，c2d，又成等比數(shù)列可得d6，所以a4，選D5 A解：依題意，a1a2001，故選A6 （文）C 解：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。7 .A提示：由a1=0,得a2=- 由此可知：數(shù)列an是周期變化的,且三個一循環(huán)，所以可得:a20=a2=故選A8 A 解:由等差數(shù)列的求和公式可得且所以,故選A點評：本題主要考察等比數(shù)列的求和公式,難度一般9 C 解：在等差數(shù)列an中，a2+a8=8， ，則該數(shù)列前9項和S9=36，選C10 C 解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項和等于=， =，選C.11.（文）解：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意得，聯(lián)立解得a1=2,d=1，所以S912. 解：在數(shù)列中，若， ，即是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的通項