09-2017年全國初中數(shù)學聯(lián)賽決賽試卷B

1、2017 年全國初中數(shù)學聯(lián)賽決賽試卷B(3 月 26 日 上午 8:4511:15 )一、選擇題(本題滿分 42 分，每小題 7 分)本題共有 6 小題，每題均給出了代號為A、B、C、D 的四個答案，其中有且僅有一個是正確的。將你選擇的答案的代號填在題號的括號內(nèi)，每小題選對得7 分；不選、錯選或選出的代號字母超過一個(不論是否寫在括號內(nèi))，一律得 0 分。1、 若 q 是質(zhì)數(shù)，且 q +1 是完全平方數(shù)，就稱 q 為 P 型質(zhì)數(shù)，則 P 型質(zhì)數(shù)的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、無數(shù)個k.2、已知 k 為正實數(shù)，一次函數(shù) y=kx+1 與反比例函數(shù) y=-的圖象交于 A(X1, y，B(x2，X

2、y2)兩點，若|X1-X2|= ,5,則 k 的值是()A、 1B、 2 C、 ,3D、 2EF 53、已知 AD、BE、CF 為銳角 ABC 三邊上的高，若 AB=26，BC=后，貝VBE 的長度是( )A、10B、12C、13D、244、在梯形 ABCD 中，AB/ CD，/ ABC=90 E 是腰 AD 的中點，若 EC=鎖,AB+BC+CD=2 .26,貝打 BCE=()A、 30 B、 45C、 60D、 755、 若實數(shù) k 使得關(guān)于 x 的方程(x2-)(kx2-x -8)=0 恰有三個不同的實數(shù)根，則稱 k 為“好數(shù)”， 則“好數(shù)” k 的個數(shù)是(C、36、記正整數(shù) m 的各位

3、數(shù)字之和為 S(m)，比如S(2017)=2+0+1+7=10，現(xiàn)從 1 , 2 ,3,2016,2017 這 2017 個正整數(shù)中，任意取出 n 個不同的數(shù)，都能在這 n 個數(shù)中找到ai, a2，a7， a8,使得 S(a = S(a2)= = S(a7)= S(a8)，則正整數(shù) n 的最小值是()A、 185B、 187C、 189D、 191二、 填空題(本大題滿分 28 分，每小題 7 分)本題共有 4 小題，要求直接將答案寫在橫線上-2x117、 若 x/3 42,則-Xq-寧(|X|+1+帝)的值是_8、 在平面直角坐標系中，點O (0,0)、A (0,6)、B (-3,2)、C

4、(-2,9),點 P 為線段 OA (含端點)上任意一點，貝VPB+PC 的最小值是_9、 有 4 只杯口全朝上的茶杯，現(xiàn)在每次翻轉(zhuǎn)3 只，翻動的茶杯允許再翻，經(jīng)過n 次翻動后，使得杯口全朝下，則正整數(shù)n 的最小值是 _(注：所謂一只茶杯的一次翻轉(zhuǎn)是指將該茶杯的杯口朝上(下)翻為杯口朝下(上)10、設(shè) A、B 為拋物線 y= x2上兩點，該兩點在 y 軸兩側(cè)，滿足 AB=4,記厶 AOB 的面積為 S,其中 O 為坐標原點，則 S 的最大值是_三、 解答題(本題滿分 20 分)11、設(shè) a、b、c 是任意三個互不相等的有理數(shù)，證明：匕+匕+& 是(a -b)(b -c)(c -a)有理

5、數(shù)四、解答題（本題滿分 25 分）12、如圖，正方形 ABCD 繞 A 點逆時針旋轉(zhuǎn)到正方形 APQR,連接 CQ,延長 BP 交 CQ 于點 E.求證：E 是線段 CQ 的中點;Bp若 CP 丄 BE,求PE的比值A(chǔ)五、解答題（本題滿分 25 分） 13、如圖，以直角厶 ABC（其中/ C=90的三邊 CA、CB、AB 向外分別作正方形 CADE、BCFG、ABHI，記邊 CB、CA 的長分別為 a、b;凸六邊形 DEFGHI 的面積為 S.問:是否在正整數(shù) a、b 使得 S=2016?若存在，請求出所有的正整數(shù) a、b,若不存在，請說明理由IH2017年全國初中數(shù)學聯(lián)介競賽試題參考答案及評

6、分標準說明*評何試卷時.請依撫 4評兮標準邊斤題和填空旳只設(shè) 7 分 wo 分兩檔* trnn. 請嚴格按科本評分標準規(guī)定的評分檔次給分不要再增加其他中間檔次.如果考生的解齊力 法如衣解答不同只隻思路合理步驟正確.圧評栓時請夠照本評分標準劃分的檔次給十相 應(yīng)的分數(shù)一. 選掙 18（本邑満分 42 分.毎小 E 7 分）L B2. A3. D4. B5. D6.A二. 填空赳（本逍満分 28 分.毎小超 7 分）7、8、5 + VTJ9、410、8三.解答題（本題満分 20 分）1K站恥足任倉三個邸相有理飲呦,仙需占足自理故.tfWh 令 x = Wx) )c#0- II 丄 + 丄 + 丄=0

7、. 5 分x y 2十是少+忙二 x=0 （10分）從而-+- +- r(a-by(b_e) (e-a) *=x+ 廠+二=(x +y + :)2- 2(xy+ 齊 h)= (x + y +二)：.（15分）=+- * - 是 h 理數(shù). a bb_c ca（20分）2017 勺乞國杓陀説堂 0 訣&$*及評分加応M 1 ill R 3 ii）12. talM. iF 方彫仏 O 繞4 .占迪時忡険轉(zhuǎn)到 iF 方形.iPQR. mtCQ.址長 BP 交 C0 于點（I）求 if$段 CQ 的中點$（2）杵 CP 一 BE.求需的比值.1）謹結(jié)才 C.AQ. AE.正方形.IBCDA時什

8、険轉(zhuǎn)列正方形APQR.ACAQ.厶 B 心 ZG4Q 所以BAPCAQ.所以乙 IBP-厶 4C0（5 分）li|）Z.15ACE.所以兒B、C三四點妹:烏 所以二OiUO180 即冇*丄（70 又因為ACAQ.所以 E 是枚段CQ 的中恵.（10分）2）iZl:由 1A. B.C、E 四點共 M 可如.ZCP-ZCfl=ZC=45%所以所以PEC （15分）從而 C = V2P （20分）故4匹=密=樂BP BP BP（25分法 2：由（1） J.B. C.四點共卯可知.ZCPZC2UZC45=450.出以 MJC.IRfiP 中 4 lAM.WJtliABiP.rwM丄丄BP.由ZAMBM

9、BPCM.（15分）BMM-ZPBC口口ZPCB. AB二二BC 所以所以MBPC.BP 2BM7EPCQ0 分）25分）13. ttltL其中 ZC 9(T)的三邊 C.CB.川刃向外分別作正方形CADE. BCFG、ABH1.記邊 CB Q 的長分別為 a. 6：凸兀邊形凸兀邊形DEFGHI的曲的曲枳為 S.何，是否是否存任正矗救 a.b.便得 S = 2016?若任.請求出所升的正整故 a.bi若不訥說明理由解：如用.延長必至廳便BA -= AB .ii7C.則峪址 VCmMQ.從而= S4C= Sxac5 分 同理* S 乂 b=EMC= StyaG 則 S 4xab + 2(a+F) 2(a+b 4ab)f?設(shè)存任正廉 tSd.b.便得 S=2016 即瑚+b + ab) = 2016 于a2bab24x32x7 由 2 a+ab + X 知 a 上均為tt ( (15分)不妨設(shè)xy.W32X73X故 x2ll.注x.y 為正 Cft.則 x = 1.23.4.當 x = lH 有 y】 + y = 6