(點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)?知識(shí)點(diǎn)

1、第4章連通性重要知識(shí)點(diǎn)本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)， 包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡(jiǎn)單的應(yīng)用 ?這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間 .4.1連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握連通與不連通的定義 .掌握如何證明一個(gè)集合的連通與否？掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性。我們先通過直觀的方式考察一個(gè)例子？在實(shí)數(shù)空間R 中的兩個(gè)區(qū)間（0, I）和1, 2）,盡管它們互不相交，但它們的并（ 0, 1） U :1, 2） =（ 0, 2）卻是一個(gè)“整體”；而另外兩 個(gè)區(qū)間（0, 1）和（ 1, 2）,它們的并（ 0, 1） U （ 1, 2）是明顯的兩個(gè)“部分” .

2、產(chǎn)生上述 不同情形的 原因在于，對(duì)于前一種情形，區(qū)間（0, I）有一個(gè)凝聚點(diǎn) 1 在1, 2）中；而對(duì)于后一種情形，兩個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè)都沒有凝聚點(diǎn)在另一個(gè)中 .我們通過以下的定義， 用術(shù)語來區(qū)別這兩種情形 .定義 4. 1. 1 設(shè) A 和 B 是拓?fù)淇臻g X 中的兩個(gè)子集.如果（A - B）（B - A）二?一則稱子集 A 和 B 是隔離的 .明顯地，定義中的條件等價(jià)于A r B =、和B r A二.一同時(shí)成立，也就是說，A 與 B 無交并且其中的任何一個(gè)不包含另一個(gè)的任何凝聚點(diǎn) .應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實(shí)數(shù)空間R 中，子集（ 0, 1）和（ 1, 2）是隔離的，而子集（ 0, I

3、）和1 , 2）不是隔離的 .又例如，易見，平庸空間中任何兩個(gè)非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個(gè)無交的子集都是隔離的 .定義 4. 1. 2 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果 X 中有兩個(gè)非空的隔離子集 A 和 B 使得 X=AUB,則稱 X 是一個(gè)不連通空間；否則，則稱X 是一個(gè)連通空間.顯然，包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是連通空間.定理 4. 1. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則下列條件等價(jià)：（1）X 是一個(gè)不連通空間；（2） X 中存在著兩個(gè)非空的閉子集A 和 B 使得 AAB= ?一和 AUB = X 成立；（3） X 中存在著兩個(gè)非空的開子集A 和

4、B 使得 AAB= ?一和 AUB = X 成立；（4）X 中存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集 .證明（I）蘊(yùn)涵（2）:設(shè)（1）成立.令 A 和 B 是 X 中的兩個(gè)非空的隔離子集使得AUB = X，顯然 AAB= ?_ ,并且這時(shí)我們有B = B一X = B（A一B）=（B一A）一（B一B）= B因此 B 是 X 中的一個(gè)閉子集；同理 A 也是一個(gè) X 中的一個(gè)閉子集.這證明了集合A 和 B滿足條件（ 2 中的要求 .（2 ）蘊(yùn)涵（3）.如果 X 的子集 A 和 B 滿足條件（2 ）中的要求，所以 A、B 為閉集，貝V由于 這時(shí)有A = B，和 B=A，因此 A、B 也是開集，所以 A 和 B

5、 也滿足條件（3）中的要求.（3）蘊(yùn)涵（4）.如果 X 的子集 A 和 B 滿足條件（3）中的要求，所以 A、B 是開集， 則由 A =B和B=A易見 A 和 B 都是 X 中的閉集，因此 A、B 是 X 中既開又閉的真A、B豐、,AUB=X ,? A B豐X）子集，所以條件（4）成立.（4）蘊(yùn)涵（ l） . 設(shè) X 中有一個(gè)既開又閉的非空真子集 A . 令 B=A. 則 A 和 B 都是 X 中的 非空的閉子集， 它們是無交的并且使得 AUB=X . 易見兩個(gè)無交的閉子集必定是隔離的（因?yàn)殚]集的閉包仍為自己）.因此（I）成立.例 4. 1 . 1 有理數(shù)集 Q 作為實(shí)數(shù)空間 R 的子空間是一

6、個(gè)不連通空間 ?這是因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)無理數(shù) r ? R-Q，集合（-3r）nQ=（-A, rnQ 是子空間 Q 中的一個(gè)既開又閉的非空真子集.定理 4. 1. 2 實(shí)數(shù)空間 R 是一個(gè)連通空間 .證明 我們用反證法來證明這個(gè)定理 .假設(shè)實(shí)數(shù)空間 R 是不連通空間 . 則根據(jù)定理4. 1. 1, 在 R 中有兩個(gè)非空閉集 A 和 B使得 AnB=和 AUB = R 成立.任意選取 a? A 和 b ? B，不失一般性可設(shè) avb.令A(yù)=Ana,b，和B=Bna,b.于是A和B是 R 中的兩個(gè)非空閉集分別包含a 和 b,并且使得A nB=0 和A U B=a, b成立.集合A有上界 b,故有上確界

7、，設(shè)為b.由于A是一個(gè)閉集， 所以？A,并且因此可見vb，因?yàn)?b 將導(dǎo)致 b ?A n B，而這與A n B=0 矛盾.因 此（b ,b uB.由 于E3是一個(gè)閉集，所以b?B.這又導(dǎo)致b?A n B，也與A n B=0 矛盾.定義 4. 1. 3 設(shè) Y 是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)子集.如果 Y 作為 X 的子空間是一個(gè)連通空間，則稱 Y是 X 的一個(gè)連通子集；否則，稱 Y 是 X 的一個(gè)不連通子集.拓?fù)淇臻g X 的子集 Y 是否是連通的，按照定義只與子空間Y 的拓?fù)溆嘘P(guān)（即 Y 的連通與否與 X 的連通與否沒有關(guān)系.）.因此，如果丫Z X，則丫是 X 的連通子集當(dāng)且僅當(dāng) Y 是 Z 的連通子

8、 集 . 這一點(diǎn)后面要經(jīng)常用到 .定理 4. 1. 3 設(shè)丫丫是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)子集，A , B Y .貝 U A 和 B 是子空間丫丫中的 隔離子集 當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻gX 中的隔離子集 .因此，丫丫是 X 的一個(gè)不連通子集當(dāng)且僅當(dāng)存在丫丫中的兩個(gè)非空隔離子集 A 和 B 使得 AUB = 丫丫（定義）當(dāng)且僅當(dāng)存在 X 中的兩個(gè)非空隔離子集 A 和 B 使得 AUB = 丫丫 .證明因?yàn)椋–Y（A廠B）一（CY（B） A二（CX（A廠 丫廠B）一（CX（B廠丫廠A）二（CX（A）-（丫 一B） ）_?（CX（B）-（丫一A）二（Cx（AT B_?（CX（B廠A因此根據(jù)隔離子集的定義可見

9、定理成立 .定理 4. 1. 4 設(shè)丫丫是拓?fù)淇臻g X 中的一個(gè)連通子集.如果X 中有隔離子集 A 和 B 使得丫丫 A U B，則或者丫丫 A，或者丫丫 B.證明 如果 A 和 B 是 X 中的隔離子集使得 Y AUB ，貝 U（A -丫） - B -丫）一（B -丫） - A -丫）（A -丫- B）一（B -丫- A）=丫- （A - B） （B - A）=.這說明 An丫丫 和 Bn丫丫 也是隔離子集 . . 然而(AnY)u(BnY)=(AUB)nY=Y因此根據(jù)定理 4. 1 . 3 ，集合 AnY 和 BnY 中必有一個(gè)是空集 . 如果AnY= , 據(jù)上式立即可見 丫二 B，如果

10、BnY 二二、，同理可見丫二 A .定理 4. 1. 5 設(shè) Y 是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)連通子集， Z X 滿足條件Y Z丫 . 則 Z 也是 X 的一個(gè)連 通子集 .證明 假設(shè) Z 是 X 中的一個(gè)不連通子集.根據(jù)定理4. 1. 3，在 X 中有非空隔離子集A 和 B 使得 Z=AUB .因此 Y AUB .由于 Y 是連通的，根據(jù)定理 4. 1 . 4,或者 丫二 A,Z二 丫 二A = Z - B二A - B -. 一一B = Z - B =或者 Y B,同理，A=:； 一。這兩種情形都與假設(shè)矛盾 .定理 4. 1 . 6 設(shè)Y二是拓?fù)淇臻g X 的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族.如果八三廠丫】

11、-心，則.三廠丫是 X 的一個(gè)連通子集.證明 設(shè) A 和 B 是 X 中的兩個(gè)隔離子集，使得.三廠丫，= AUB .任意選取 x ?三廠丫，不失一般性，設(shè) x ? A ?對(duì)于每一個(gè)丫 ?，由于丫連通，根據(jù)定理4. 1 . 4, 或者丫A或者Y：. B；由于 x ?Y nA，所以 Y:A= - X一A B =.根據(jù)定理 4. 1. 3,這就證明了？三廠丫是連通的.定理 4. 1 . 7 設(shè) Y 是拓?fù)淇臻g X 中的一個(gè)子集.如果對(duì)于任意x, y ? Y 存在 X 中的一個(gè)連通子集Yxy使得 x, y?YxyY,則 Y 是 X 中的一個(gè)連通子集.證明 如果丫 = ?一，顯然 Y 是連通的.下設(shè) Y

12、 工?一，任意選取 a ? Y ,容易驗(yàn)證 Y =- yxYxy并且 a? yYYay.應(yīng)用定理 4. 1. 6,可見 Y 是連通的.我們?cè)?jīng)說過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)(參見2. 2). 所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個(gè)拓?fù)淇臻g具有必為任何一個(gè)與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì).事實(shí)上，如果拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì)，它是藉助于開集或者藉助于經(jīng)由開集定義的其它概念表達(dá)的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) .拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì). 由于同胚是連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓

13、撲不變性質(zhì)拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具 有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)可商性質(zhì) . 由于拓?fù)淇臻g到它的商空間的自然的投射是一個(gè)連續(xù)的 滿射， 所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商性質(zhì) .以下定理 4.1 . 8 指出，連通性 ( 即一個(gè)拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì) ) 是一個(gè)在連續(xù)映 射下保持不變的性質(zhì) . 因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì) .定理 4. 1. 8 設(shè) f: XTY 是從連通空間 X 到拓?fù)淇臻g Y 的一個(gè)連續(xù)映射.則 f (X)是 Y 的一個(gè)連 通子集 .證明 如果 f (X)是 Y 的一個(gè)不連通子集，則存在Y 的非空隔離子集 A 和

14、 B 使得f (X )= AUB .于是f(A)和f(f(A)- f伽)一(f(B) - f(A)(f(A)十(B)- (f(B) - f(A)二fA(A一B)一(B一A)卞所以f(A)和f二(B )是 X 的非空隔離子集此外，iii if (A)U f這說明 X 不連通.與定理假設(shè)矛盾拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì) P 稱為有限可積性質(zhì)，如果任意n0 個(gè)拓?fù)淇臻gXi,X2,.Xn都具有性質(zhì) p,蘊(yùn)涵著積空間XjMX2工.AXn也具有性質(zhì) p.例如，容易直接證明，如果拓?fù)淇臻gXl,X2,.Xn都是離散空間(平庸空間)，則積空間XiX2. Xn也是離散空間(平庸空間)，因此我們可以說拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性

15、都是有限可積性質(zhì).根據(jù)定理 3. 2. 9 以及緊隨其后的說明可見：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì) p 是一個(gè) 拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).為了證明性質(zhì) p 是一個(gè)有限可積性質(zhì)我們只要證明任何兩個(gè)具有性質(zhì) p 的拓 撲空間的積空間也是具有性質(zhì) p 的拓?fù)淇臻g.定理 4. 1. 9 設(shè)Xi,X2,.Xn是 n 個(gè)連通空間.則積空間XAXAV.A Xn也是連通空間.證明 根據(jù)前一段中的說明，我們只要對(duì)于n=2 的情形加以證明.首先我們指出：如果x=(Xi,X2), y = (yi,y2)，XiX2兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)相同，則XiX2有一個(gè)連通子集同時(shí)包含X 和 y不失一般性，設(shè)xA yi定義映射 k :X2 XiX2

16、使得對(duì)于任何Z Xi是取常值Xi的映射，P2k : X2 X2為恒同映射，它們都是連續(xù)映射，其中Pi，P2分別是XiX2到第 i 和第 2 個(gè)坐標(biāo)空間的投射？因此，k 是一個(gè)連續(xù)映射.根據(jù)定理 4.i.8,k(X2)是連通的.此外易見，k(X2Axi X2,因此它同時(shí)包含 x和 y.現(xiàn)在來證明：XiX2中任何兩個(gè)點(diǎn)x =(Xi,X2), y =(yi,y2),XiX同時(shí)屬于XiX2的某一個(gè)連通子集.這是因?yàn)檫@時(shí)若令z = (Xi,y2)?XiX2，則根據(jù)前段結(jié)論，可見有XiX2的一個(gè)連通子集Yi同時(shí)包含 x 和 乙也有XiX2的一個(gè)連通子集 丫2同時(shí) 包含 y 和 z .由于 z?Yi-丫2,

17、所以根據(jù)定理 4. i. 6 ,W2是連通的，它同時(shí)包含 x 和 y.于是應(yīng)用定理 4. i .7 可見XiX2是一個(gè)連通空間.由于 n 維歐氏空間Rn是 n 個(gè)實(shí)數(shù)空間 R 的笛卡兒積，而實(shí)數(shù)空間 R 又是一個(gè)連通空間，所以應(yīng)用這個(gè)定理可見，n 維歐氏空間Rn是一個(gè)連通空間 .作業(yè)：P.ii6 3.5.6. 8.i4.4.2連通性的某些簡(jiǎn)單應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)空間 R 中的連通子集的”形狀” 掌握實(shí)數(shù)空間 R 的子集中常見的連通子集與不連通子集.掌握常見的幾種空間的同胚與否的事實(shí).讓我們回憶 實(shí)數(shù)集合 R 中區(qū)間的精確定義：R 的子集 E 稱為一個(gè)區(qū)間，如果它至少包含兩個(gè)點(diǎn)，并且如果 a,

18、 b? E, avb,則有a, b=x ? R | ax b E讀者熟知，實(shí)數(shù)集合 R 中的區(qū)間共有以下九類：(-m,m) , (a,g) , :a,g) , (-g,a),(-,a(a , b), ( a, b, : a , b), : a , b 因?yàn)?，一方面以上九類集合中的每一個(gè)顯然都是區(qū)間；另一方面，如果 E R 是一個(gè)區(qū)間，可視 E 有無上(下)界，以及在有上(下)界的情形下視其上(下)確界是否屬于E ,而將 E 歸入以上九類之一在定理 4. 1 . 2 中我們證明了實(shí)數(shù)空間R 是一個(gè)連通空間.由于區(qū)間(a,g),(g, *和(a , b)都同胚于 R (請(qǐng)讀者自己寫出必要的同胚映射

19、)，所以這些區(qū)間也都是連通的；由于(a,：) =a,：),(：,a) =(：,a(a,b) a,b) a,b,(a,b) (a,b a,b麗根據(jù)定理 4.1.5 可見區(qū)間a,R), (a,a:,:a,b), (a,b和a,b:都是連通的.另一方面，假設(shè) E 是 R 的一個(gè)子集，并且它包含著不少于兩個(gè)點(diǎn) ?如果E 不是一個(gè)區(qū)間，貝 Ua, b ? R,a : b? a,b二E,也就是說,存在 acb,使得c - E;從而，若令A(yù)=(a,c)AE,B=(c,m)nE則可見 A 和 B 都是 E 的非空開集，并且有 AUB=E 和 AnB=，因此 E 不連通.綜合以上兩個(gè)方面，我們已經(jīng)證明了：定理

20、4. 2 . 1 設(shè) E 是實(shí)數(shù)空間 R 的一個(gè)子集 .E 是包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)的一個(gè)連通子 集當(dāng)且僅 當(dāng) E 是- 一個(gè)區(qū)間 .定理 4. 2. 2 設(shè) X 是一個(gè)連通空間，f: XTR 是一個(gè)連續(xù)映射.則f(X)是 R 中的一個(gè)區(qū)間.因此，如果 x, y? X，則對(duì)于 f(x)與 f(y)之間的任何一個(gè)實(shí)數(shù) t (即當(dāng) f(x) f(y)時(shí)，f(x)wtwf(y);當(dāng) f(y)Wf(x)時(shí)，f(y) t R2在單位圓周上的限制 . 其中，映射 I 定義為對(duì)于任何x =(X1, X2) ? R2,l (X )= -X，容易驗(yàn)證(請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證)是一個(gè)連續(xù)映射.定理 425 : Borsuk-

21、Ulam 定理設(shè) f:SITR 是一個(gè)連續(xù)映射.則在S1中存在一對(duì)對(duì)I 2x?S,有 r(x)=-x ，稱為對(duì)徑映射 . 對(duì)徑映射是一個(gè)連續(xù)映射，因?yàn)樗菤W氏平面R至洎徑點(diǎn) X 和-X，使得 f(x)=f(-x).證明(略)我們已經(jīng)知道 n 維歐氏空間R11是連通空間，下面進(jìn)一步指出:定理 426 n 1 維歐氏空間Rn的子集Rn-0是一個(gè)連通子集，其中 0= (0,0,，0)?Rn.2證明 我們只證明 n = 2 的情形 . 根據(jù)定理 4. 1. 9,R中的子集(-R,0)XR 和( 0,g)xR 都是連通的 . 由于(0,: :)R二:0,: :)R-0二:0,: :)R=(0,:J R所

22、以根據(jù)定理 4.1.5,R2中的子集 A=:0,m)xR-0是連通的；同理，子集2B=(-汽 0XR-0是連通的.由于 AnBM以及 AUB=R-0,所以根據(jù)定理 4. 1. 6可見，R2-0是連通的.一般情形的證明類似，請(qǐng)讀者自行補(bǔ)證定理 4. 2. 6 可以得到進(jìn)一步的改善(參見習(xí)題第4 題. )2II 2我們有g(shù)(R -0)二R-f(0)?但根據(jù)定理4.2.6,R -0 是連通的，而根據(jù)定理 4.2.1,R-f (0) 是不連通的.這與定理 4. 1. 8 矛盾.定理 4. 2. 7 給出了利用拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)判定兩個(gè)空間不同胚的第一個(gè)實(shí)例定理 4. 2. 4, 定理 4. 2. 5 和定理

23、 4. 2. 7 盡管簡(jiǎn)單但確有意思，特別是這幾個(gè)定理 都有高維 “版本”，我們分別陳述如下:定理 4. 2. 8 : Brouwer 不動(dòng)點(diǎn)定理設(shè) f:Dn“D是一個(gè)連續(xù)映射，其中Dn是n 維球體 . 則存在 z?Dn使得 f(z) = z.定理 4. 2. 9 Borsuk Ulam 定理設(shè) f:Sn Rm是一個(gè)連續(xù)映射，其中nm,貝 U存在 x?Sn使得 f(x) =f ( -x ).定理 4. 2. 10 如果 nMm，則歐氏空間Rn和Rm不同胚.這些定理的證明(除去我們已經(jīng)證籍曰.明過的情形)般都需要例如同調(diào)論或同倫論， 請(qǐng)參閱有關(guān)的專門書定理 4. 2. 7 歐氏平面R和實(shí)數(shù)空間

24、R 不同胚 .2 2證明 假設(shè)R與 R 同胚，并且設(shè) f:RTR 是一個(gè)同胚.因此對(duì)于連續(xù)映射2g二f 4。：R -0八R作業(yè)： P. 121 4.4.3連通分支本節(jié)重點(diǎn)：掌握連通分支的定義 .（即連通”類”的分法）掌握連通分支的性質(zhì)（定理 431）從前面兩節(jié)中的內(nèi)容可以看出， 知道一個(gè)拓?fù)淇臻g是否連通給我們處理一些問題帶來很 大的方 便.這導(dǎo)致我們?nèi)タ疾煲粋€(gè)我們并不知道是否連通的拓?fù)淇臻g中的“最大”連通子集（即連通分支 ）.定義 4. 3. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x, y ? X .如果 X 中有一個(gè)連通子集同時(shí)包含 x 和 y,我們 則稱點(diǎn) x 和 y 是連通的 .（注意:是點(diǎn)連通）

25、根據(jù)定義可見，如果 x, y, z 都是拓?fù)淇臻g X 中的點(diǎn)，則（1）x 和 x 連通（因?yàn)槊恳粋€(gè)單點(diǎn)集都是連通子集 ）；（2）如果 x 和 y 連通，則 y 和 x 也連通； （顯然）（3）如果 x 和 y 連通，并且 y 和 z 連通，則 x 和 z 連通.（這是因?yàn)椋@時(shí)存在 X 中的 連通子集 A 和 B使得 x, y ? A 和 y, z? B.從而由于 y ? AnB 可見 AUB 連通，并且 x, z ? AUB .因此 x 和 z 連通.）以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系 .定義 4. 3. 2 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g？對(duì)于 X 中的點(diǎn)的連通關(guān)系而言的每一個(gè)

26、等價(jià)類稱為拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)連通分支 .如果 Y 是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)子集.Y 作為 X 的子空間的每一個(gè)連通分支稱為X 的子集Y 的一個(gè)連通分支 .拓?fù)淇臻g X 工?一的每一個(gè)連通分支都不是空集；X 的不同的連通分支無交；以及 X 的 所有連通分支之并便是 X 本身. 此外， x, y? X 屬于 X 的同一個(gè)連通分支當(dāng)且僅當(dāng) x 和 y 連通.拓?fù)淇臻g X 的子集 A 中的兩個(gè)點(diǎn) x 和 y 屬于 A 的同一個(gè)連通分支當(dāng)且僅當(dāng)A 有一個(gè)連 通子集同時(shí)包含點(diǎn) x 和 y.定理 4. 3. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，C 是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)連通分支.則（1）如果 Y 是 X 的一個(gè)連通

27、子集，并且 YnCMY C；（2）C 是一個(gè)連通子集；（3）C 是一個(gè)閉集 .本定理中的條件（1）和（2）說明，拓?fù)淇臻g的每一個(gè)連通分支都是X 的一個(gè)最大的連通子集 .證明（1）任意選取 x ? YnC.對(duì)于任何 y? Y 由于 x 和 y 連通，故 y? C .這證明 Y C.（2）對(duì)于任何 x, y ? C,根據(jù)定義可見，存在 X 的一個(gè)連通子集Yxy使得 x, y ?Yxy.顯（3）由于 C 連通，根據(jù)定理 4. 1. 5,C連通.顯然，CC = C =。所以根據(jù)（1）,C C,= C二C. 從而 C 是一個(gè)閉集 .但是，一般說來連通分支可以不是開集？例如考慮有理數(shù)集Q （作為實(shí)數(shù)空間

28、R 的子空間）.設(shè) x, y ? Q, x豐y.不失一般性，設(shè) xvy.如果 Q 的一個(gè)子集 E 同時(shí)包含 x 和 y,令 A=（-s,r）nE 和 B=（r,）nE,其中 r 是任何一個(gè)無理數(shù)，xvrvy.此時(shí)易見 A 和 B都是 Q 的非空開集，并且 E=AUB .因此 E 不連通.以上論述說明 E 中任何一個(gè)包含著多 于兩個(gè)點(diǎn)的 集合都是不連通的，也就是說，Q 的連通分支都是單點(diǎn)集.然而易見 Q 中的每一個(gè)單點(diǎn)集都不是開集 .記住這個(gè)事實(shí)：任一個(gè)集合 A 都可以由含于它內(nèi)部的所有連通分支的并而成（且這些連通分支互不相交）.即使是離散空間，它的每一個(gè)點(diǎn)自成連通分支，這個(gè)結(jié)論也成立 ?作業(yè)：

29、P.1231.3. 4. 8. 4.4局部連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握局部連通的定義與性質(zhì)（定理 4.4.1-4.4.3 ）掌握連通與局部連通的關(guān)系 .引進(jìn)新的概念之前，我們先來考察一個(gè)例子 ._2例 4. 4. 1 在歐氏平面R中令 S=（x,sin（ 1/x）| x ?（0,1. T=0X-1,1,其中 S 被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間（ 0, 1在一個(gè)連續(xù)映射下的象，因此是連通的 .此外，也 容易驗(yàn)證S= SUT,因此S1= SUT 也是連通的.盡管如此，倘若我們查看S1中的點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類： S 中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)“較小的”鄰域中都包含著一個(gè) 連通的鄰域，而 T中的每

30、一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域都是不連通的.我們用以下的術(shù)語將這兩個(gè)類型的點(diǎn)區(qū)別開來 .定義 4. 4. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x ? X .如果 x 的每一個(gè)鄰域 U 中都包含著 x 的某一個(gè)連 通的鄰域 V，則稱拓?fù)淇臻g X 在點(diǎn) x 處是局部連通的.如果拓?fù)淇臻g X 在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱X 是一個(gè)局部連通空間.回到例 4. 4. 1 中所定義的拓?fù)淇臻gS1.容易證明，S1在其屬于 S 的每一個(gè)點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于T 的每一個(gè)點(diǎn)處都不是局部連通的.也因此，盡管S,是一個(gè)連通空間，但它卻不是一個(gè)局部連通的空間 .局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的 . 例如，每一個(gè)離散空間都

31、是局部連通空間，但包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間 .又例如，n 維歐氏空間Rn的任何一個(gè)開子空間都是局部連通的（這是因?yàn)槊恳粋€(gè)球形鄰域都同胚于整個(gè)歐氏空間Rn，因而是連通的），特別，歐氏空間Rn本身是局部連通的.另一方面，歐氏空間Rn中由兩個(gè)無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通的(請(qǐng)讀者自己證明)此外根據(jù)定義立即可見：拓?fù)淇臻gX 在點(diǎn) x? X 處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x 的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn) x 處的一個(gè)鄰域基，定理 4. 4. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g .則以下條件等價(jià)：(1)X 是一個(gè)局部連通空間；(2)X 的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)連通分支都是開集；(3)X 有一個(gè)基，它

32、的每一個(gè)元素都是連通的 .證明(1)蘊(yùn)涵(2)?設(shè) C 是 X 的一個(gè)連通分支，CuU ETx?如果 x ? C,由于 U 是 x 的一個(gè)鄰 域，所以當(dāng)(1)成立時(shí) x 有一個(gè)連通鄰域 v 包含于 u .又由于 vnC 包含著點(diǎn) X,所以不是空集，根據(jù)定 理 4. 3. 1 可見V C?因此 C ?Ux.這證明 C 是屬于它的任何 一個(gè)點(diǎn) x 的鄰域，因此 C 是一個(gè)開 集.(2)蘊(yùn)涵(3).若(2)成立，則 X 的所有開集的所有連通分支(它們都是開集)構(gòu)成的集族，由于每一個(gè)集合是它的所有連通分支之并，恰是X 的一個(gè)基.(3)蘊(yùn)涵(1).顯然.我們常用到定理 4. 4. 1 的一個(gè)推論：局部連

33、通空間的每一個(gè)連通分支都是開集 .定理 4. 4. 2 設(shè) X 和 Y 都是拓?fù)淇臻g，其中 X 是局部連通的又設(shè) f: XTY 是一個(gè)連 續(xù)開映射. 則 f (X )是一個(gè)局部連通空間 .證明 根據(jù)定理 4. 4. 1,可設(shè) B 是 X 的一個(gè)基，其中的每一個(gè)元素都是連通的.對(duì)于每一個(gè) B ? B,集合 f(B)是連通的，并且由于 f 是一個(gè)開映射，f( B)是 Y 中的一個(gè)開集， 因此也是 f (X)的一個(gè)開集.這證明集族 B 仁f ( B) | B ? B 是一個(gè)由 f (X )的連通開 集構(gòu)成的族.我們指出 B1 是 f(X)的一個(gè)基，這是因?yàn)?，如?U 是 f(X)中的一個(gè)開集，則fJ

34、( U )是 X 中的一個(gè)開集，因此B1B f(U)二 一B B二U二f(f(U)B耳f(B)是 B1 中某些元素之并.于是根據(jù)定理 4. 4. I 可知 f (X )是局部連通的.根據(jù)定理 4. 4. 2 易見，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)定理 4. 4. 3 設(shè)X1, X2,.Xn是 n1 個(gè)局部連通空間.則積空間X1X . Xn也是局部連通空間 .證明(略)應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會(huì)簡(jiǎn)單得多 .例如，實(shí)數(shù)空間R 由于所有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個(gè)基，所以它是局部連通的；n 維歐氏空間Rn是 n 個(gè) R 的積空間，所以它也是局部連通的 .當(dāng)然這些事情我們?cè)缇椭懒?.作業(yè)：P.1

35、271.2. 3.4.5道路連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握道路連通的概念、性質(zhì)。掌握連通、局部連通、道路連通之間的聯(lián)系與區(qū)別。 掌握道路連通分支的概念。掌握Rn中子集的連通性質(zhì)。較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺更符合我們的直覺因而易于理解 些. 我們先 定義“道路”定義 4. 5. 1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g .從單位閉區(qū)間 0,1TX 的每一個(gè)連續(xù)映射f:0,1TX 叫做 X 中的一條道路，并且此時(shí) f(0)和 f(1)分別稱為道路 f 的起點(diǎn)和終點(diǎn).當(dāng) x= f (0)和 y= f (1)時(shí)，稱 f是 X 中從 x 到 y 的一條道路.起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)

36、(也是它的終點(diǎn) )稱為閉路的基點(diǎn) .如果 f 是 X 中的一條道路，則道路f 的象集 f(0 , 1)稱為 X 中的一條曲線或弧，并且這時(shí)道路 f 的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f(0,1)的起點(diǎn)和終點(diǎn).或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們?cè)谶@里嚴(yán)格定義的道路和曲線這兩個(gè)不同的概念.定義 4. 5. 2 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果對(duì)于任何 x, y，存在著 X 中的一條從 x 到 y 的道路(或曲 線)，我們則稱 X 是一個(gè)道路連通空間.X 中的一個(gè)子集 Y 稱為 X 中的一個(gè) 道路連通子集，如果它作 為 X 的子空間是

37、一個(gè)道路連通空間.(Y 是否道路連通與 X 是否道路連通沒有關(guān)系)實(shí)數(shù)空間 R 是道路連通的這是因?yàn)槿绻?x, y ? R,則連續(xù)映射 f:0,1TR 定義為對(duì) 于任何 t? 0,1有f(t)=x+t(y-x)，便是 R 中的一條以 x 為起點(diǎn)以 y 為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的 .定理 4. 5. 1 如果拓?fù)淇臻g X 是一個(gè)道路連通空間，則X 必然是一個(gè)連通空間.證明 對(duì)于任何 x, y? X，由于 X 道路連通，故存在從x 到 y 的一條道路 f:0 , 1 X 這時(shí)曲線 f(0,1),作為連通空間0,1在連續(xù)映射下的象，是X 中的一個(gè)連通子集，并且我們有 x, y

38、? f (0 , 1). 因此根據(jù)定理 4.1.7 可見 X 是一個(gè)連通空間。連通空間可以不是道路連通的.我們已經(jīng)指出例4. 4. I 中的S1是一個(gè)連通空間.不難證明 (留作習(xí)題，見習(xí)題第 3 題)它不是道路連通的 .道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通空間了定理 4. 5. 2 設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X 是道路連通的，f: XTY 是一個(gè)連續(xù) 映射.貝 U f(X ) 是道路連通的 .證明 設(shè)y1,yAf (X), X1,X2 ?X ? f (xj = f(X2) = y2.由

39、于 X 是道路連通的，故 X 中有從X1到X2的一條道路 g:0,1TX.易見，映射 h: 0,1Tf(X)，定義為對(duì) 于任意 t? 0, 1有 h (t) =f:g (t),是 f (X)中從y1到y(tǒng)的一條道路.這證明 f ( X)是道路連通的.根據(jù)定理 4. 5 . 2 可見，空間的道路連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可商性質(zhì).定理 4.5.3 設(shè)X1,X2,.Xn是 n 1 個(gè)道路連通空間.則積空間X1X2. Xn也是道路連通空間 .證明 我們只需要對(duì) n = 2 的情形加以證明 .設(shè)x =(Xi,X2), y =(yi,y2)? XiX對(duì)于 i=i, 2,由于Xi是道路連通空間，故在

40、Xi中有從Xi到y(tǒng)的一條道路fi: 0,1TXi.定義映射f: 0,1TXiX2，使得對(duì)于任何 t? 0 , l有 f (t) = (ft), f2(t).容易驗(yàn)證(應(yīng)用定理3. 2. 7) f 是連續(xù)的，并且有 f(O)=x, f(1)=y ?這也就是說f 是X,X2中從 x 到 y 的一條道路？這證明X,X2是一個(gè)道路連通空間.作為定理 4.5.3 的一個(gè)直接的推論立即可見：n 維歐氏空間Rn是一個(gè)道路連通空間.(這 個(gè)結(jié)論 也容易直接驗(yàn)證.)為了今后的需要我們證明以下引理，定理 4. 5. 4粘結(jié)引理設(shè) A 和 B 是拓?fù)淇臻g X 中的兩個(gè)開集(閉集)，并且有 X=AUB .又設(shè) Y 是

41、一個(gè)拓?fù)淇臻g，f,: ATY 和f2:BTY 是兩個(gè)連續(xù)映射，滿足條件：f1|A f21A -B定義映射 f: XTY 使得對(duì)于任何 x ? X ,戈(x)xEB則 f 是一個(gè)連續(xù)映射f2|A-.B，映射 f 的定義是確切的.因?yàn)楫?dāng) x ? AnB 時(shí)，有fi(x)二f2(X)其次，我們有：對(duì)于 Y 的任何一個(gè)子集 Z 有f(Z)二f(Z)一 ?f2(Z)這是由于f(Z) = fJ(Z) - A, f2(Z) = fJ(z廠B1 1現(xiàn)在設(shè) U 是 Y 的一個(gè)開集.由于f, f2都連續(xù)，所以f,(U ), f2 (U )分別是 A 和 B 的開集.然而 A 和 B 都是 X的開集，所以f(U),

42、 f2(U )也都是 X 的開集.因此f (Z)二fT(Z) _? f2(Z)是 X 的一個(gè)開 集.這便證明了f 是f (x)=fi(x)證明首先注意，由于f,|A-B一個(gè)連續(xù)映射.當(dāng) A 和 B 都是 X 的閉集時(shí)，證明是完全類似的.我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念定義 4. 5. 3 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x, y ? X .如果 X 中有一條從 x 到 y 的道路，我 們則稱點(diǎn) x 和 y 是道路連通的.(注意:是”點(diǎn)”道路連通)根據(jù)定義可見，如果 x, y, z 都是拓?fù)淇臻g X 中的點(diǎn)，貝 V(1)x 和 x 道路連通；(因?yàn)槿〕Ｖ档挠成?f: 0,1

43、TX (它必然是連續(xù)的)便是 一條從 x 到 x 的道路 .)(2)如果 x 和 y 連通，則 y 和 x 也連通；(設(shè) f:0 , 1TX 是 X 中從 x 到 y 的一條道路.定義映 射 j: 0 , lTX，使得對(duì)于任何 t? 0 , I有 j (t)= f (1-1).容易驗(yàn)證 j 是一條從 y 到 x 的道路.)如果 x 和 y 連通，并且 y 和 z 連通，則 x 和 z 連通.(設(shè)f, f?: 0 , 1TX 分別是應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見 f 是連續(xù)的，此外我們有 f( 0) =fl(0) =x 和 f(1)=f2(1)=Z .因 此 f 是從 x 到 z 的一 條道路.)以上結(jié)論

44、歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的道路連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系 .定義 4. 5. 4 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g ?對(duì)于X 中的點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每一個(gè)等價(jià) 類稱為拓?fù)淇臻g X的一個(gè)道路連通分支 .如果 Y 是拓?fù)淇臻g X 的一個(gè)子集.Y 作為 X 的子空間的每一個(gè)道路連通分支稱為X 的子集 Y 的一個(gè)道路連通分支 .拓?fù)淇臻g X =. 一的每一個(gè)道路連通分支都不是空集；X 的不同的道路連通分支無交；以及 X 的所有道路連通分支之并便是X 本身.此外，x, y ? X 屬于 X 的同一個(gè)道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng) x 和 y 道路連通 .拓?fù)淇臻g X 的子集 A 中的兩個(gè)點(diǎn) x 和 y 屬于 A 的同一個(gè)道路連

45、通分支的充分必要條件是 A 中有一條從 x 到y(tǒng) 的道路 .根據(jù)定義易見，拓?fù)淇臻g中每一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)道路連通子集；根據(jù)定理4. 5. 1,它也是一個(gè)連通子集；又根據(jù)定理4. 3. I，它必然包含在某一個(gè)連通分支之中.作為定理 4. 5. l 在某種特定情形下的一個(gè)逆命題，我們有下述定理：定理 4. 5. 5 n 維歐氏空間Rn的任何一個(gè)連通開集都是道路連通的.證明 首先我們注意 n 維歐氏空間Rn中的任何一個(gè)球形鄰域都是道路連通的，這是因?yàn)樗哂?n 維歐氏空間Rn本身.其次證明 n 維歐氏空間Rn的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)開集：設(shè)U 是Rn的一個(gè)開集，C 是 U

46、 的一個(gè)道路連通分支.設(shè) x? C .由于 U 是一個(gè)包含 x 的開集，所以也包含著以 x為中心的某一個(gè)球形鄰域B ( x,).由于球形鄰域 B(x,)是道路連通 的，并且 B (x,)nC 包含著 x，故非空，這導(dǎo)致 B (x,) C .所以 C 是一個(gè)開集.最后，設(shè) V 是Rn的一個(gè)連通開集.如果 V - ，則沒有什么要證明的.下設(shè) V = ? . V 是它的所有道路連 通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個(gè)道路連通分支都是開集 . 因此如果 V 有多于一個(gè)道路連通分支，易見這時(shí)V 可以表示為兩個(gè)無交的非空開集之并，因此 V 是不連通的，這與假設(shè)矛盾。因此V 只可能有一個(gè)道路連通分支，

47、也就是說V 是道路連通的 .推論 4. 5. 6 n 維歐氏空間Rn中任何開集的每一個(gè)道路連通分支同時(shí)也是它的一個(gè)連通分支.X 中從 x 到 y 和從 y 到 z 的道路 . 定義映射f：0 , 1TX 使得對(duì)于任何 t ? 0,1,；fi(2t)f(t)上1)t0,1/t1/2,證明 由于 n 維歐氏空間Rn是一個(gè)局部連通空間，根據(jù)定理4. 4. 1,它的任何開集的任何連通分支都是開集？根據(jù)定理 4.5.5,Rn的任何開集的任何連通分支都是道路連通的，因此包含于這個(gè)開集的某一個(gè)道路連通分支之中另一方面 . 任何一個(gè)集合的道路連通分支，由于它是連通的，所以包含于這個(gè)集合的某一個(gè)連通分支之中?因

48、此，本推論的結(jié)論成立.通過引進(jìn)局部道路連通的概念， 定理 4. 5. 5 和推論 4. 5. 6 的結(jié)論可以得到推廣 .( 參 見習(xí)題 5.)作業(yè)：P.132 1.2.本章總結(jié)： (1 ) 有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個(gè)集合的概念，與這個(gè)集合的 母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān)。(2 ) 掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系。(3)記住Rn中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的。(4)連通、局部連通、道路連通分支是一個(gè)分類原則，即每個(gè)集合都是若 干個(gè)某某分支的并， 任兩個(gè)不同的分支無交， 每個(gè)分支非空。若兩個(gè)分支有交，則必是同一 個(gè)分支。(5)連通是本章的重點(diǎn)。(6)掌握

49、證明連通、不連通及道路連通的方法。特別注意反證法。(7)掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限 可積的、可遺傳 的。半期復(fù)習(xí)主要復(fù)習(xí)兩個(gè)內(nèi)容：拓?fù)鋵W(xué)研究的思路與成果；常見證明方法。?研究的思路與成果1.預(yù)備知識(shí)：(1)集合的三種運(yùn)算的定義與證明方法：并、交、差： AUB、 AAB、A-B(2)在映射 f 之下，集合的并、交、差的象有什么特點(diǎn)？當(dāng) f 為單射時(shí)，取等號(hào)當(dāng) f 為單射時(shí)，取等號(hào) 集合的并、交、差運(yùn)算關(guān)于f 的原象有什么特點(diǎn)？f(AUB)=f(A)Uf(B)f (AAB) f ( A)Af ( B)f (A-B ) 二 f (A ) -f ( B) (3)一句話

50、：保持運(yùn)算。即f * _? B) = f ?) _? f J(B)4_4f (AB) = f (A廠f (B)44f (A-B) = f (A) - f (B)(4)f (f4(A) Af 滿時(shí)取等號(hào)(5) 等價(jià)關(guān)系、等價(jià)類的定義，作用等價(jià)類是一種分類方法，將等價(jià)類看成一個(gè)元素，所有這樣元素的集合就是原集 合的商集。(5) 有限集與無限集、可數(shù)集與不可數(shù)集大不相同。2?拓?fù)淇臻g(1)度量空間、球形鄰域、開集、連續(xù)映射的定義。(2)拓?fù)淇臻g的定義 拓?fù)淇臻g是所有數(shù)學(xué)空間中最基礎(chǔ)的空間 (是所有數(shù)學(xué)空間的交集 ) 它只具有開 集。(3)模仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。 定義了鄰域、閉

51、集、閉包、凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集 定義了連續(xù)映射，并利用閉集、閉包給出了連續(xù)映射的等價(jià)命題。(4)模仿高等代數(shù)，給出了基的概念。(5)定義了序列及極限點(diǎn)。思路：模仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。同時(shí)也剖析了實(shí)數(shù)空間，使 我們對(duì)實(shí)數(shù)空間的認(rèn) 識(shí)更深刻。因此，我們?cè)谘芯扛鞣N性質(zhì)時(shí)，應(yīng)不斷探討： R 中是否具有這種性質(zhì)？與 R 中的相應(yīng)性 質(zhì)有何區(qū)別？3. 從拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g(1)子空間的定義，子空間中開集、閉集、閉包、導(dǎo)集、鄰域的結(jié)構(gòu)。(2 )積空間極其基的概念。(3) 商空間的定義4. 關(guān)于連通性(1) 不連通與連通的概念。這概念只是關(guān)于子集本身的性質(zhì)，與母空間、子空間無關(guān)。(2)如何

52、判斷連通與不連通？(3)R 中連通子集的性質(zhì)。(4 )局部連通、道路連通的定義及三種連通之間的蘊(yùn)涵關(guān)系。(5) 將一般空間中的點(diǎn)按連通、道路連通分類，即連通分支、道路連通分支。(6)Rn中子集的的連通性(7)連續(xù)映射對(duì)三種連通空間的象的影響。二. 常見證明方法1. 證明集合包含A=x?B二A B：= 8= x- A相等A = B二A二B B二A2.證明連續(xù)映射：反射開集、閉集、鄰域3.證明開集：定理 2.3.1 。在連續(xù)映射下，是否是開集的原象？4.證明基：定義及定理 2.6.2f *(f (A)二Af 單時(shí)取等號(hào)5?證明凝聚點(diǎn)；x d(A)=U Ux,二U(A-x)-證明不是凝聚點(diǎn)：x-d(A)二U uxU,(A-x) Y證明閉包：-U ? ux,U - A -6?證明序列收斂于 x,用定義；證明序列收斂,用反證法.7?證明連通，常用反證法，導(dǎo)出某個(gè)隔離子集是空集 .8?常在一個(gè)集合關(guān)系式的兩邊同取f、f、閉包等9 ?常用反證法復(fù)習(xí)參考：一?判斷題 （每小題 3 分）1. 集合 X 的一個(gè)拓?fù)溆胁恢灰粋€(gè)基