幾何概型教學(xué)文檔

1、緊扣“等可能”，突破幾何概型教學(xué)的難點(diǎn)前一陣在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考上看到這樣一個(gè)例子：1 1 等腰 RtRt ABCABC 中，在斜邊 ABAB 上任取一點(diǎn) M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率2.2.等腰 RtRt ABCABC 中，過(guò)直角頂點(diǎn) C C 在/ ACBACB 內(nèi)部任作一條射線 CMCM 與線段 ABAB 交于點(diǎn) M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率3前者的概率是，后者的概率是 4 4這兩個(gè)看上去很相近的問(wèn)題，答案為什么會(huì)不同呢？這個(gè)問(wèn)題引起學(xué)生的很多的困惑.其實(shí)，要解決它，還得回到幾何概型的定義.幾何概型的定義是：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定

2、的幾何區(qū)域Q內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)， 該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣； 而一個(gè)隨機(jī)事件 A A 的發(fā)生 則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域 D D 中的點(diǎn)，這里的區(qū)域可以是線段， 平面圖形， 立體圖形等用這樣的方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型.列宙測(cè)度的測(cè)5從幾何概型的定義我們可以看出：解決幾何概型問(wèn)題的基本步驟是：（i i）找出等可能基本事件；（2 2）對(duì)應(yīng)幾何圖形（所有等可能基本事件所在的區(qū)域Q和隨機(jī)事件中等可能基本事件所在的區(qū)域 A A）；（ 3 3）由區(qū)域確定測(cè)度.第一個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的等可能基本事件應(yīng)該是在線段ABAB 上隨機(jī)取一點(diǎn)，這一點(diǎn)落在這個(gè)線段上是等可能的.第二個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的等可能

3、基本事件應(yīng)該是在直角區(qū)域內(nèi)任取一條射線，顯然若射線等可能出現(xiàn)在直角區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)M M 就不可能等可能出現(xiàn)在線段 ABAB 上.如何確定等可能基本事件？抓住“任意”、“隨機(jī)”等詞，確定等可能的基本事件空間.貝特朗悖論:幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科，使很多概率問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單而不 用運(yùn)用微積分的知識(shí)然而， 18991899 年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭 直指幾何概率概念本身：在一個(gè)圓內(nèi)隨機(jī)地畫(huà)一條弦，它的長(zhǎng)度大于該圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？從不同方面考慮，可得不同結(jié)果：(1) 由于對(duì)稱(chēng)性， 可預(yù)先指定弦的方向 作垂直于此方向的直徑， 只有交直徑于 1/41

4、/4 點(diǎn) 與 3/43/4 點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)所有交點(diǎn)是等可能的 , , 則所求概率為 1/21/2 (2)由于對(duì)稱(chēng)性，可預(yù)先固定弦的一端.僅當(dāng)弦與過(guò)此端點(diǎn)的切線的交角在6060120120 之間，其長(zhǎng)才合乎要求所有方向是等可能的，則所求概率為1/31/3 (3) 弦被其中點(diǎn)位置唯一確定.只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其 長(zhǎng)才合乎要求.中點(diǎn)位置都是等可能的，則所求概率為 1/41/4 .這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論.得到三種不同的結(jié)果，是因?yàn)樵谌∠視r(shí)采用了不同的等可能性假設(shè)：在第一種解法中 則假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布； 在第二種解法中假定端點(diǎn)在圓周上

5、均勻分布，而第三種解法中又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布. 這三種答案是針對(duì)三種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的.三個(gè)結(jié)果都正確！這就是讓老師和學(xué)生感到迷惑不解的原因.這一悖論揭示了幾何概率在1919 世紀(jì)剛興盛時(shí)期存在著其邏輯基礎(chǔ)的脆弱性，也反映出古典概率有著相當(dāng)?shù)木窒?這也推動(dòng)了 2020 世紀(jì)概率論公理化工作的早日到來(lái).關(guān)于這個(gè)悖論有很多種討論，在此不一一贅述.老師們只需明白的是確定“等可能基 本事件”的重要性，在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)，必須找準(zhǔn)觀察角度、明確隨機(jī)選擇的意義、判 斷好基本事件的等可能性.如何對(duì)應(yīng)幾何圖形？有的問(wèn)題，幾何特征較為明顯，能迅速找到相應(yīng)的幾何圖形，計(jì)算其測(cè)度.但有的問(wèn) 題中，找到相應(yīng)的幾何圖形較為困難.如：例.一家快遞公司的投遞員承諾在上午9 9： 0 0 0 0 1010： 0000 之間將一份文件送到某單位.11即接受人員在離開(kāi)單位之前能拿到文件的概率為12(I)如果這家單位的接收人員在上午9 9: 4545 離開(kāi)單位，寫(xiě)出他在離開(kāi)單位前能拿到文件的概率;解：(I)所求事件的概率為 ；.看成平面中的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?:.-I這是一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域，面積為設(shè)事件討表示“接受人員在離開(kāi)單位之前能拿到文件”，則事件1 1 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閲?yán)31111旨找XX =面積為i 2 j j -.這是一個(gè)幾何概型，所以(n)如果這