理論力學第三章空間力系

1、第三章第三章空間力系空間力系空間平行力系空間平行力系空間任意力系空間任意力系空間匯交力系空間匯交力系cosyFFcoszFF直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐標軸上的投影、力在直角坐標軸上的投影cosFFx31 空間匯交力系空間匯交力系,ABCDFGE已知：間接（二次）投影法間接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFFABCDEFG,已知：RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF2 2、空間匯交力系的合成與平衡條件、空間匯交力系的合成與平衡條件RiFF空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理合力的大小合力的大

2、小222()()()RxyzFFFFcos(, )xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點過匯交點.空間匯交力系空間匯交力系平衡平衡的充分必要條件是：的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程稱為空間匯交力系的平衡方程. .0 xF 0yF 0zF 0RF 該力系的合力等于零，該力系的合力等于零，即空間匯交力系平衡的充要條件：空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數和分別為零標

3、軸上的投影的代數和分別為零.合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFFW例例三角支架由三桿三角支架由三桿AB、AC、AD用球鉸用球鉸A連接而成，并用球鉸支座連接而成，并用球鉸支座B、C、D固定在地面上，如圖所示。設固定在地面上，如圖所示。設A鉸上懸掛一重物，已知其重量鉸上懸掛一重物，已知其重量W=500N。結構尺寸為結構尺寸為a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若桿的自重均忽略不計，求。若桿的自重均忽略不計，求各桿所受的力。各桿所受的力。取研究對象取研究對象:A鉸鉸解題步驟：1.取研究對象，畫受力圖；2.列平衡方程；3.解未知量。解：各桿均為二力桿解：各桿均為二力桿FX

4、=0FCAcos FDAcos=0FY=0FCAsincosFDAsin cos FBAcos=0FZ=0FCAsinsinFDAsinsin FBAsin W=0列平衡方程列平衡方程WDAFCAFBAF ACBEFxyzW已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m5 .3325.31)()(sin22222chbahbaADAE25.155 . 2sin22hbhABAF25.315 . 2)(sin22hbahAEAFACBxyzEFccbah聯立求解求得：拉力）(86525.33150NFFDACA（壓力）NFBA195325.15500W求

5、：三根桿所受力.已知：G=P=1000N ,各桿重不計.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖建坐標系如圖。0 xF 由045cos45cosOCOBFF0yF 045sin45sin45sinOAOCOBFFF0zF 045cos PFOA解得 （壓）N1414OAF（拉）N707OCOBFF1 1、 力對點的矩以矢量表示力對點的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩( )OMFrF O力對點O的矩 在三個坐標軸上的投影為( )OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF xyzFF iF jF krxiyjzk又( )()() ()Ox

6、yzMFrFxiyjzkFiF jFk則xxxijkxyzFFFyFzFkyFxFjxFzFizFyFxyzxyZ)()()(xyZOyFxFFM)( )OMFrFPFFz2.力對軸的矩( )()zoxyxyM FM FFh說明：（1）代數量代數量，符號判符號判斷：右手螺旋法則斷：右手螺旋法則Fxyhzo力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該軸力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該軸的矩為零的矩為零. .( )()zoxyxyM FM FF h（2）何時0)(FMZPFFzFxyhzo（3) 解析表達式解析表達式)()(xyOZFMFM)()(yOxOFMFMxyyFx

7、F yzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)(幻燈片 8( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF xyZOyFxFFM)(xFyFxyF 3 3、 力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系 ( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxyyMFzFxFMF 即力對點的矩矢在過該點的某軸上即力對點的矩矢在過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩的投影，等于力對該軸的矩.)()(FMyFxFFMzxyZO例題.力F作用在邊長為a的立方體上如圖所示.求力F對三個坐標軸的矩.Fxyz例例已知已知:P=2000N, C點在Oxy平面內求：力求：力P

8、對三個坐標軸的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解：kPjPiPP224246kjir006. 005. 0kjiPPPkji2 .387 .708 .84224246006. 005. 0).(8 .84)(mNPMx).(7 .70)(mNPMy).(2 .38)(mNPMxyzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)()(FMZxyyFxF ( )OMFrF2、或者用解析表達式PFFz2.力對軸的矩( )()zoxyxyM FM FFh說明：代數量代數量，符號判斷：符號判斷：右手螺旋法則右手螺旋法則Fxyhzo33 空間力偶空間力偶

9、1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1） 力偶矩大小力偶矩大小：力與力偶臂的乘積；力與力偶臂的乘積；（3） 作用面作用面：力偶作用面。力偶作用面。 （2） 力偶矩方向力偶矩方向：右手螺旋；右手螺旋；力偶矩矢力偶矩矢BAMrF 轉向：右手螺旋；轉向：右手螺旋；( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABM F FrrFM 2 2、力偶的性質、力偶的性質BAMrF力偶矩矢FF因（2）力偶對任意點的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改變而力偶對任意點的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改變而改變。改變。(1）力偶中兩力在任意

10、坐標軸上投影的代數和為零力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數和為零 . .FrBA（3）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內任意移只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變體的作用效果不變. .=空間力偶等效定理：作用在同一剛體上的兩個空間力偶，如果力偶矩矢相等，則他們彼此等效。(4)(4)只要保持力偶矩矢不變，力偶可從其所在平面移至只要保持力偶矩矢不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不

11、變. .=(5) (5) 力偶只能由力偶來平衡力偶只能由力偶來平衡. .3 3空間力偶系的合成與平衡條件空間力偶系的合成與平衡條件=空間力偶可以合成為一個合力偶，合力偶空間力偶可以合成為一個合力偶，合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .inMMMMM.21合力偶矩矢的大小和方向合力偶矩矢的大小和方向,xixyiyzizMMMMMM稱為空間力偶系的平衡方程稱為空間力偶系的平衡方程.000 xyzMMM簡寫為簡寫為0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 :合力偶矩矢等于零合力偶矩矢等于零，即 MMixcosMMiycosMMizcos有

12、有0ixM0iyM0izM各力偶矩矢在三各力偶矩矢在三個坐標軸上投影個坐標軸上投影的代數和為零的代數和為零iMM222()()()xixiyizMMMMM34 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化主矢和主主矢和主矩矩1 1 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化其中，各 ，各iiFF( )ioiMM F空間匯交力系與空間力偶系等效代替一空間任意力系空間匯交力系與空間力偶系等效代替一空間任意力系. .1F2FnF力的平移定理)(FMMB可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點A的力的力F平行移平行移到任一點到任一點B，但必須同時附加一個力偶，但必須同時附加一個力偶，這個附加

13、力偶的矩等于原來的力這個附加力偶的矩等于原來的力F對新對新作用點作用點B的矩的矩.稱為空間力系的主矩稱為空間力系的主矩( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k稱為稱為空間空間力系的主矢力系的主矢空間力偶系的合力偶空間力偶系的合力偶由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力)(FMMMOOiRiixiyixFFFiF jFkkFiz(1） 簡化為一個力簡化為一個力ORMdF最后結果為一合力最后結果為一合力. .合力作用線距簡化中心為合力作用線距簡化中心為2 2 空間任意力系的簡化結果分析空間任意力系的簡化結果分析ORMdF

14、0,0,ROROFMFM(b)0,0ROFM (a) 最后結果為一個合最后結果為一個合力力合力作用點過簡化中心合力作用點過簡化中心.RFOM()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的矢合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的矢量和量和. .合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數和合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數和. .（2）簡化為一個力偶簡化為一個力偶當 時，最后結果為一個合力偶。此時與簡化中心無關。0,0ROFM （3）力螺旋力螺旋力螺旋中心軸過簡化中心力螺旋中心軸過簡化中心(a)0,0,RORFMFOM右螺旋右螺旋左螺旋左螺

15、旋(b) 成角 且 既不平行也不垂直時既不平行也不垂直時0,0,ROROFMF M,ROF M力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為sinORMdF（4 4）平衡）平衡當 時，空間力系為平衡力系空間力系為平衡力系0,0ROFM 力系向任一點O簡化的結果 主矢 主 矩 力系簡化的 最后結果 說 明 OM0 平衡 平衡力系 0RF OM0 合力偶 主矩與簡化中心的 位置無關 OM0 合力 合力作用線通過 簡化中心 0OM RFOM 合力 合力作用線離簡化中心 O的距離ROFMd 0RMF / 力力螺螺旋旋 力螺旋的中心軸通 過簡化中心 0RF 0OM RF與0M 成角 力螺旋 力螺旋的中

16、心軸離簡化中心 O的距離ROFMdsin 2.2.空間約束的類型舉例空間約束的類型舉例（3）空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程000zxyFMM說明：（1）6個方程，求解個方程，求解6個未知量；個未知量；000 xyzFFF000 xyzMMM（2）也有四矩式、五矩式、六矩式，也有四矩式、五矩式、六矩式，條件比較復雜；條件比較復雜；1.空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件空間任意力系平衡的充要條件：0,0ROFM 35 35 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程例題例題1 :1 :重為重為G G的均質正方形板置于水平面內的均質正方形板置于水平

17、面內, ,求球鉸鏈求球鉸鏈O O和蝶鉸和蝶鉸鏈鏈A A處的約束力及繩的拉力處的約束力及繩的拉力. .AzyxoD600BCbAzyxoD600BCFt 解:以板為研究對象，畫受力圖以板為研究對象，畫受力圖GFAz FAx FoxFOy FOZ b0zM0bFAx0AxF0yM0260cos0bGbFtGFt0 xF02260sin0tAxoxFFFGFox460yF02260sin0toyFFGFoy460 xM0260cos0bGbFbFtAz0AzF0ZF060cos0GFFFtAzOzGFz210例題例題2. 邊長為邊長為a 的正方形薄板由六根桿支持如圖所的正方形薄板由六根桿支持如圖所示

18、示.不計板的重量不計板的重量,并把桿看作二力桿并把桿看作二力桿. 求當板上有一求當板上有一力偶力偶M作用時各桿的內力作用時各桿的內力.aADBCDABC123456MaADBCDABC123456M解: 取薄板為研究對象畫受力圖取薄板為研究對象畫受力圖.F1F2 F3F4F5F6xzyMDD = 0aADBCDABC123456MF1F2 F3F4F5F62202Ma F22 MFa Mz = 05202Ma F52 MFa Yi = 03cossin0FF3 = 0 x mCD(Fi) = 012202F aa F1MFa mAD(Fi) = 056202a Fa F6MFa mAC(Fi)

19、 = 0b F4 = 0F4 = 0aADBCDABC123456MF1F2 F3F4F5F6x例例3：重為重為W 的均質正方形的均質正方形板水平支承在鉛垂墻壁上，板水平支承在鉛垂墻壁上，求繩求繩1 1、2 2的拉力的拉力, , BC桿的內桿的內力和球鉸鏈力和球鉸鏈A A的約束力。的約束力。解：解：取板為研究對象取板為研究對象, , 畫受力圖畫受力圖1FAW xyzW xyzCF2FAxFAxFAyFAzF 0CyM 0 xMCzFM010FMyAxDzFM0W 1F2FCFAxFAyFAzFxyzDEAyCzFM002aWaFAz2WFAz02sin2aWaFsin22WF bbbPABCD

20、EFGH例題例題4：圖示正方形板：圖示正方形板ABCD，重量不計，由六根細直桿支持重量不計，由六根細直桿支持于水平位置，已知：于水平位置，已知：P求：各求：各桿受力。桿受力。FAEFDHFCGFDGFAFFCF解：板解：板ABCD為研究對象，為研究對象，受力如圖受力如圖bbbPABCDEFGHFAEFDHFCGFDGFAFFCF解：板解：板ABCD為研究對象，為研究對象，受力如圖受力如圖 MFB = 0FDG cos450 b + P b = 022PFDGP2 MEA = 0FCF cos450 b + FDG cos450 b = 0DGCFFFP2bbbPABCDEFGHFAEFDHFC

21、GFDGFAFFCF MHD = 0FCF cos450 b - FAF cos450 b = 0CFAFFFP2 MAD = 0- FCG b - FCF cos450 b = 0CFCGFF22P MDC = 0- FAE b - FAF cos450 b = 0AFAEFF22P MBA = 0- FDH b - FDG cos450 b - FCG b - FCF cos450 b = 0CFCGDGDHFFFF2222PBACOxyz例題例題5：均質桿：均質桿AB,BC分別重分別重P1，P2，A，C處為球鉸，處為球鉸，B端由球端由球鉸鏈連接，擱在光滑的鉛直墻鉸鏈連接，擱在光滑的鉛直墻

22、上，上，090BAC045BAO求：求：A,C處的約束力以及處的約束力以及墻上墻上B點所受的壓力。點所受的壓力。AxFAyFczFAzFCxFCyFBFP1P2AxFBAOxyzBzFAzFBxFByFNFAyFP1 0ZM00*AxAxFOAF解：取解：取AB分析分析BACOxyz再取整體分析，受力如圖再取整體分析，受力如圖AxF0CAMNFAyFczFAzFCxFCyFNFP1P2 0 xF 0yMBACOxyzAxF 0zMAyFczFAzFCxFCyFNFP1P2 0yF 0zF1 1、平行力系的中心、平行力系的中心36 重重 心心iiiRnnCFrFFrFrFrFr2211iiiCi

23、iiCiiiCFzFzFyFyFxFx ,:投影式平行力系合力作用點的位置平行力系合力作用點的位置稱為平行力系的中心稱為平行力系的中心RF2 2 重心重心有iiCPxxP有iiCP yyPiiCPzzPvzvzvyvyvxvxiiCiiCiiC ,對均質物體對均質物體iiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA重心為幾何中心（形心重心為幾何中心（形心）重力可看作平行力系重力可看作平行力系對均質等厚度的薄板對均質等厚度的薄板對均質等截面的細桿對均質等截面的細桿lzlzlylylxlxiiCiiCiiC ,3 3 確定重心的方法確定重心的方法（2 2） 實驗法（外形復雜或質量分布不均勻的物體）實驗

24、法（外形復雜或質量分布不均勻的物體）（1 1） 利用對稱性利用對稱性均質物體重心必在對稱面，對稱軸，對稱中心上均質物體重心必在對稱面，對稱軸，對稱中心上（a a） 懸掛法懸掛法（b b） 稱重法稱重法1CP xF l1CFxlP則有2CFxlP22211CFFzrlHPH 根據幾何關系得根據幾何關系得H例題：例題：求圖示平面圖形的形心求圖示平面圖形的形心.（3 3） 組合法組合法（a)a)分割法；（分割法；（b b）負面積法）負面積法5m5m15m15m20m解解:(1)分割法分割法 坐標如圖，把平面圖坐標如圖，把平面圖形分為形分為 和和兩部分兩部分.A1=75m2,C1(2.5,7.5)A2

25、=75m2,C2(12.5,2.5)mAxAxAxc5 .775755 .12755 .2752211mAyAyAyc575755.2755.7752211x5m5m15m15m20myoC1C2(2)負面積法負面積法取坐標如圖.使平面圖形組合成矩形A.5m5m15m20mxyo以及負面積的矩形B.A1=1520m2， C1(10,7.5)A2=1510m2， C2(12.5,10)mAxAxAxc5 . 7101515205 .1210151015202211112220 15 7.5 15 10 10520 15 15 10cA yA yymAC2AC1B例題例題.在半徑為在半徑為R的圓面積內挖去一半徑為的圓面積內挖去一半徑為r的圓的圓孔孔,求剩余面積的形心求剩余面積的形心.RR/22rOAxy解:RR/22rOAxy21RA01Cx22rARxC212212211AAxAxAxCCC22221rRRr)(2222rRRr由對稱性可知：由對稱性可知：0cy邊長為邊長為2a的均質正方形簿板，截去四分之的均質正方