概率統(tǒng)計(jì)試題及答案(本科完整版)

1、最新可編輯word文檔填空題(每題 2 分，共 20 分)A1、記三事件為A,B, C 則用A,B, C 及其運(yùn)算關(guān)系可將事件，“A,B, C 中只有一個(gè)發(fā)生”表示為ABCUABCTUABCA3 已知 P(A)=0.3 ,P( B) = 0.5 ,當(dāng) A, B 相互獨(dú)立時(shí)，P( A. B) = _ 0.65 _,P( B | A)二_ 0.5_。A4 袋中有 9 個(gè)紅球 1 個(gè)白球，現(xiàn)有 10 名同學(xué)依次從袋中摸出一球(不放回)，則第 6 位同學(xué)摸出白球的概率為 1/10。A5 若隨機(jī)變量 X 在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，則對(duì) a：c：b 以及任意的正數(shù) e 0，必e b -a，b-c b

2、 -a，一一22A6 設(shè) X 服從正態(tài)分布N(*；)，則 Y=3-2X N ( 3-2 u, 4c ).A7、設(shè)XB(n,p),且EX=12,DX曲則 n =_36 _,p = _蔦_A8 袋中裝有 5 只球，編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5,在袋中同時(shí)取出 3 只，以 X 表示取出 3 只 球中的最大號(hào)碼。則 X 的數(shù)學(xué)期望E(X)二 4.5。A9 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X|12310.120.100.2820.1800.12 1300.150.05則條件概率PX =3|Y =2 =2/5 .込時(shí)，kY 服從2分布。A 二、計(jì)算題(每小題 10 分，共 70 分)A1、三臺(tái)機(jī)器因故

3、障要人看管的概率分別為(1) 沒有一臺(tái)機(jī)器要看管的概率(2) 至少有一臺(tái)機(jī)器不要看管的概率(3) 至多一臺(tái)機(jī)器要看管的概率解：以 Aj 表示“第 j 臺(tái)機(jī)器需要人看管”，j=1, 2, 3,則：P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15，由各臺(tái)機(jī)器間的相互獨(dú)立性可得(1 )P(A A2A3)= P(A ) P(A2) P(A3)=0.9 漢 0.8 漢 0.85 = 0.612有概率Pc：x：A10、設(shè)X1，,X12來自正態(tài)總體N(0, 1),(4Y(8Y/ 122Y = Z Xi I +Z Xi 1 +Z Xi 1 ,當(dāng)常數(shù) k2 丿(y丿2

4、 丿0.1 , 0.2 , 0.15，求:最新可編輯word文檔(2 )P(A,uA =A3)=1 P(AA2A3)=1-0.1 .2X0.15 = 0.997最新可編輯word文檔3PAA2A3 UA A2A3 UA A2A3 UA A2A3 I二 P AA2A3P AAA3PAA2A3P A A2A3= 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15 0.9 0.8 0.85= 0.068 0.153 0.108 0.612 = 0.941A2、甲袋中有 n 只白球、m 只紅球；乙袋中有 N 只白球、M 只紅球。今從甲袋任取一球放入 乙袋后，再從乙袋任取一球。

5、問此球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？解：?W甲表示“第一次從甲袋取出的為白球” ，R甲表示“第一次從甲袋取出的為紅球”W乙表示“第二次從乙袋取出的為白球”，則所求概率為 P W乙二 P W甲W乙U R甲W乙二 P W甲W乙P R甲W乙=PW甲P W乙W甲P R甲PW乙R甲C1C1CN 1C1+mC1CNC1Cn mC1N:;M1C1Cn mC1N M 1nN 1：mNn m N nn m N M 1一n m N M 1設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f(x)二Acosx,I 0 ,分布函數(shù)F (x); (3) 概率P 0 : X：二4A4( 1)已知 X 的分布律為X-13012P1111126312A3

6、1X、2，試求(1)常數(shù) A其它解:(1) 由歸一性可得：1 f x dxn2- Acosxdx = 2A，從而 A =(2)F (x )= J( (x dx = xf X dx,OUx_fxdx,_，2x2fxdx.x %一二2乞x廠2二二2Sinx 1 ,一2豈2%0,1,3 .P0 X4 =042CO*最新可編輯word文檔13計(jì)算D(1 2X2)。(5 分)解：D( 1-2 X2) = 4D X2=4E X4g-E X2=4罟 _琴 二晉(2)、設(shè)X N(0,1)，求Y =X2的概率密度.(5 分)A6 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)=k(1X),Or*1,求常數(shù)

7、k 及邊緣概0,其它率密度.并討論隨機(jī)變量 X ,Y 的相互獨(dú)立性。bo bo解：由歸一性知：1二-f(x, y)dxdy二k 1 - x dxdy0o,y00 ,其它試求分布函數(shù)F(x,y)；求概率 Px, y)G?其中區(qū)域 G 由 X 軸,廠x yY 軸以及直線xy=1所圍成.x y1 .F x,y 二.f x,y dxdy 二0I0,e-1 e-y-1 ,=s0,右y)e4x y)dxdy, x 0,y 0其他x 0, y 0其他(2 ).p(x,y)wG=f (x,y)dxdy=|G-dy dx 二 1-2e0： ：x :16 x 1 - x ，0：x1其他0，其他0 :：y13( y

8、-1)2，0 y1其他0，其他0,解：Y 的密度函數(shù)為:y 0y - 0最新可編輯word文檔A7、設(shè)總體 X 的概率密度為f(x)二“x 乞 x,其中 0 為未知參數(shù).若i 0,其它Xi,，Xn是來自母體的簡單子樣，試求 二的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)nnnL 飛 R =坊x九idyA 三、證明題(每題 5 分，共 10 分)A 1、Xi,X2為來自總體 X 的樣本，證明當(dāng) a 5 = 1 時(shí)，aXibX?為總體均值E(X)的無 偏估計(jì)。證明：設(shè)總體均值E(X)=卩，由于X1,X2為來自總體 X 的樣本，因此 E X1二 E X2而3X1bX2為總體均值E(X)的無偏估計(jì)，故應(yīng)該有E aX1bX2

9、 i=aE X1bE X2 i=a b=二從而 a b = 1A 2、設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為-1,2的泊松分布，證明Z = X Y 服從參數(shù)為1 *匕的泊松分布。_- mr , n由題知 X P ,YP2，即Px二mei-2,PY二2二m !n!令 Z =X Y，且由X,Y的相互獨(dú)立性可得：kk, i, k iPZ =k；= PX Y 二 k 八PX =i,Y二k- 門八 e1e2Jmm-i! （k i）!對(duì)數(shù)似然函數(shù)l n L（日）=nl n弋門3-込X n2i -4令：ln L r n1 n2二In xi二01 _解：（1）令 X 二 EXXC解得二的矩估計(jì)為解得

10、二的極大似然估計(jì)為n2(2)似然函數(shù)證明:2iH Inx最新可編輯word文檔即 Z =X Y 服從參數(shù)為2的泊松分布 B 一、填空(每小題 2 分，共 10 分)*e2Jk! i 2 12k!i 出 i! k -i !最新可編輯word文檔B1若隨機(jī)變量 X 的概率分布為一沖一乙，(上 T，2,可，則心二_B2.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從鳳 2, P),且円 X 刻飛,則 p 二_ 。B3.設(shè)隨機(jī)變量丫服曲卜 h 4),則PX+0)=_ 。B4.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從可 2),則戲 2 二_ 。B5.若隨機(jī)變量；的概率分布為X0P0.20.50.3則価 X 卜_。B 二、單項(xiàng)選擇(每題的四個(gè)選項(xiàng)中只

11、有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題 2 分，共 20 分)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使B1.設(shè) 1 林：與是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取(1,3d(二一,b=-一(B) j2丄b = -220 x2臥=，則(_2“ =一r5 =(A):33 A 2a = , b-(C):：(D)J4COSxB2.設(shè)隨機(jī)變量丄的概率密度為7T(A)【(C)廠B3.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是(B)(D)10)?？?(A)p(x)(C)sinx , 0 x20 i其它sinx , 0 x.0,其它(B)B4.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是I滬*(A)、呦=-J(C

12、)】-一B5.設(shè)隨機(jī)變量二的概率密度為二,(A)；門(D)。(B)n3-Tanx , 0 20,其它aux D x210,其它I -仝P()=j=4(D)，則 T 的概率密度為(B)丨最新可編輯word文檔最新可編輯word文檔(A)(B)丄丄1L 1(C)亡匚二 J 弓 -(D)設(shè) X 服朋卩 4),則町*(42)二()。(A) 一(B)-(C) .(D)：1弓祕(mì)X) )二一54(-00 X +00) )設(shè)隨機(jī)變量丄的分布密度為 r,貝 X-(B)1(C)1/2(D) 4B9.對(duì)隨機(jī)變量二來說，如果二一 1 ,貝冋斷定丄不服從()(A)二項(xiàng)分布(B)指數(shù)分布(C)正態(tài)分布(D)泊松分布B10

13、.設(shè)二為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則一二 ()(A)9(B) 6(C)4(D)-3B 三、計(jì)算與應(yīng)用題(每小題 8 分，共 64 分)B1.盒內(nèi)有 12 個(gè)乒乓球，其中 9 個(gè)是新球，3 個(gè)是舊球。采取不放回抽取，每次取一個(gè), 直到取到新球?yàn)橹?。求抽取次?shù)丄的概率分布。B2.車間中有 6 名工人在各自獨(dú)立的工作， 已知每個(gè)人在 1 小時(shí)內(nèi)有 12 分鐘需用小吊車 求(1)在同一時(shí)刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？(2)若車間中僅有 2 臺(tái)小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？B3.某種電子元件的壽命二是隨機(jī)變量，其概率密度為0 x100150 小時(shí)后仍能正求二、二概率密度 5 :二。B6

14、.若隨機(jī)變量；服從泊松分布，即，且知7 = ?求r：-Lp(x - -e(-oa x 4oo)B7.設(shè)隨機(jī)變量丄的概率密度為1。求 和。B8. 一汽車沿一街道行使，需要通過三個(gè)均沒有紅綠燈信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，求紅或綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等。以二表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。求(1) 的概率分布；U+疋丿。B 四、證明題(共 6 分)設(shè)隨機(jī)變量丄服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布。證明：！一 在區(qū)間：I：上，服從均勻分布參考答案一、填空1.63y/=1由概率分布的性質(zhì)有 二1即 11，得 一七。12. -皿(2P)，則沿胡二借與-p)*=0,L2)3.

15、 0.55 91* r最新可編輯word文檔最新可編輯word文檔4)FI+1O)= F(I(o)=o5Y01P0.50.5即1 2J最新可編輯word文檔:是單減函數(shù)，其反函數(shù)為=(y)-y，求導(dǎo)數(shù)得 f(y)=T 由公式，x 的密度為內(nèi)卩)二毗仞|叩)卜葉刃6. ( 1)由已知丄服從二項(xiàng)分布，則1-=T 丿-:又由方差的性質(zhì)知,二7. ( J)V X服從4).噠“DX=A于是町 X(X-2)卜盛-2 瞇=加+(瞇)-2 瞇=4! 辱p(x) = ._e加(-oo V x +co8. ( A)由正態(tài)分布密度的定義,有I三由奴力=* (-coxu+ca)h2打2*=4芋? =29. ( D)V

16、 20泊松分布,則耽匸磁J如果二 工 時(shí)，只能選擇泊松分布.10. ( D) X 為服從正態(tài)分布 N (-1,2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、計(jì)算與應(yīng)用題 解：設(shè)二為抽取的次數(shù)：只有？個(gè)舊球,所以 X 的可能取值為：L 2, 4 由古典概型，有9?刊無二1二一=LJ12 4p2T=2=-x- = A1J1211 44299解：設(shè)二表示同一時(shí)刻需用小吊車的人數(shù)，則丄是一隨機(jī)變量，由題意有1234P3494492201220則一1.2.pX二3二一x % 二一1112 11 10 220PUM=?291-X X X =12 11 10 9 220最新可編輯word文檔(Y

17、服從方 6 -I 5丿，最新可編輯word文檔3.解:4.5.(1)(2)6Sc(0 丄#6)曰，于是7x115妬二(并+1)戸=X 的最可能值為L丿刃耽艇作二P肌2 = 1-P層2達(dá)到最大的二1-麗疋二乃z-O1丫=1遼咪円必=1-coJMXS子可得-.J由串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個(gè)元件都能正常工作，而這里三個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的，因此，若用 表示“線路正常工作”，則 F(ji)=P(Z150)JPX川0二廣理必二？而 -827(1)(2)(2故3解：=300, J=35 P250=l-?y 250 = l-250-300i 355035丫(！)“-&) 250= 1-(1-

18、*5(1.428)川丨(查正態(tài)分布表)=0.9236P300-aZ (2)由題意 上二岀丿=1(3Q0+a-3Q035a=_I 35一300-30035)= 0.9查表得： _ J O最新可編輯word文檔最新可編輯word文檔6.7.8.丁二;.忙對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為旳）又由題設(shè)知以鬥lx2其它p?（y）二匕 2（刃|孑（刃 |二故由公式知：10,x= g() =7/y，求導(dǎo)數(shù)得y4)= PP(Z4)= l-f le-1故3 1y-e1=0.981查泊松分布表得，1= 1-0.931= 0.019解：EX = xp（xdx = - xedx由數(shù)學(xué)期望的定義知，EX2=廠“譏力必二-

19、廣嚴(yán)訂怯二總 而故解：(1的可能取值為-0冷PX= 1 = x -=12 24PM二2二m1J2 2 2pX = 3=-x-x-1J2 2 2即-且由題意,可得1 1 - - 8181 - - 8 80123最新可編輯word文檔最新可編輯word文檔P124151S(2)由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有X二0+占xP徑二1)+占xPX二2 +占xFX = 3 1111111=_+X+ X + X 2 2 4 3 S 4 S6796四、證明題 證明：一IQ其它即：I ir- f-：0 aAO-又由y=i-嚴(yán)得嚴(yán)x-ln(l-y)且坯 當(dāng) Z 時(shí)， 叫小故為仞也皿訕曲)|=0叫2(卜川. a1

20、, 0 yl卜曠連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù)12(1-刃則 0 yl其它1 +疋丿由已知了扎則最新可編輯word文檔貝 y -_ -_.C2.設(shè)隨機(jī)變量二和 r 相互獨(dú)立，其概率分布分別為,T1y-11121212貝 y 屯二了 二_ .C3.若隨機(jī)變量丄與相互獨(dú)立，且二丄一，門1:,則X+Y服從_布C4.已知與 T 相互獨(dú)立同分布，且01P0.10?則左(府)=_.C5.設(shè)隨機(jī)變量匚的數(shù)學(xué)期望為 D 二、 方差二-，則由切比雪夫不等式有C 二、單項(xiàng)選擇(在每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案， 請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào) 內(nèi)。每小題 2 分，共 20 分)C1.若二維隨機(jī)變量；的(M 0)，貝療數(shù)肛

21、(2(B)譏凡丿)二聯(lián)合概率密度為最新可編輯word文檔(C)(D)C2.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量丄和 T 分別服從正態(tài)分布兒 論正確的是().PX + Y0) = -(A)1PJT-K 0)C3.設(shè)隨機(jī)向量(X , Y)的聯(lián)合分布密度為(A) (X ,Y)服從指數(shù)分布(C) X 與丫相互獨(dú)立71和兒二，則下列結(jié)刊JT+F列二丄(B)1PX-Y = -(D)J1_和嚴(yán)爐pg)二 L2則()(B) X 與 Y 不獨(dú)立(D) cov(X , 丫)工 0C4.設(shè)隨機(jī)變量。相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 均勻分布的有()(A)匸(C)則下列隨機(jī)變量中服從(B)車 /(D)= -1) =P(Y

22、= -1)=C5.設(shè)隨機(jī)變量二與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，且-最新可編輯word文檔P(X=i = P(Y= = -1；1；2,則下列各式中成立的是()刊疋二F)二丄?(z+y=o)-lw=i)=-(A)1 (B)- - -(C)(D)-C6設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在，則下列各式中成立的是()(B)E(XY) = EX EY(D)工一；二且隨機(jī)變量丄存在數(shù)學(xué)期望與方).(D)；是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量：I /與二不相關(guān)的充要條件是 ).EX = EYEX2-(EX =EY2-(EY)EX2+(EX) =EY2+(EYEX2二EY2C 三、計(jì)算與應(yīng)用題(每小題 8 分，共 64 分)C1.將

23、 2 個(gè)球隨機(jī)地放入 3 個(gè)盒子，設(shè)二表示第一個(gè)盒子內(nèi)放入的球數(shù)，-r表示有球的 盒子個(gè)數(shù).(A)V 亠汀(C)丨C7.若隨機(jī)變量是二的線性函數(shù)，差，則丄與的相關(guān)系數(shù)-(.(B).； (C).(A)C8.設(shè)；.(A)(B)(C)(D)C9.設(shè)一二亠是 1 個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量， 以二 4(212-/)_1耳21 有129加則對(duì)于(A)(B)(C)C10.設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且 Xi( i = 1,2,)服從參數(shù)為入的指(D)數(shù)分布，正態(tài)分布 N ( 0, 1 )的密度函數(shù)為,則(衛(wèi))limP彳KT 8一久(C)lim(Z?) li m i卜=e(x)(B) limP彳JET IE

24、最新可編輯word文檔求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.C2.設(shè)二維隨機(jī)變量；宀：的聯(lián)合概率密度為求二C3.設(shè)的聯(lián)合密度為/、J】5燈，爪?。?.（1）求邊緣密度. 和：；（2）判斷二與是否相互獨(dú)立.C4.設(shè) （x n 的聯(lián)合密度為1譏鬲y）= y2.，Z =-求的概率密度.C5.設(shè)刃族均勻分布 UR 4,服從指數(shù)分棍（2），且 X 與y相互獨(dú)立求（1）區(qū)Y）的聯(lián)合概率密度；（2）（3）C6.設(shè) （x n 的聯(lián)合概率密度為P（xy）=扣+心0,求：吭.乙及；.C7.對(duì)敵人陣地進(jìn)行 100 次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是 4,標(biāo)準(zhǔn)差是 1.5. 求 100 次炮擊中有 380 至 420

25、 課炮彈命中目標(biāo)的概率.C8.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10 個(gè)， 則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品才能使次品率為 10%勺這批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá) 0.9.C 四、證明題（共 6 分）C 設(shè)隨機(jī)變量二的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量 二與任一常數(shù)上的協(xié)方差是零.論y）= 0iy Q其它0 xy l, 1其它最新可編輯word文檔試卷三參考解答12產(chǎn)産二r二尸崖二一h尸=-1+嚴(yán)乂 =1, r=1111111 X + X 二12 2 2 2 2、填空1 . 1a jb =46由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得1 1-=4 411.-101 1 - - 2121 -

26、 - 2 22.最新可編輯word文檔3.陽25)4.相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布M(幽.于+或)且)k+y)二就+DF = 9+16二廿，.;m：T0.31E(XY) = EXxEY = m2=(0 x0.1+lx0.9)2= 0.315.2a、單項(xiàng)選擇1. (B)4/_24r+ $、r fdx*譏石川嗆二1 n由/xx = 1A. *即選擇(B).1+x2.(B)最新可編輯word文檔由題設(shè)可知，-用加卞二花址二 故將標(biāo)準(zhǔn)化得匸打到選擇(B).3. (C)1衛(wèi)確嚴(yán)珊v由;心y) = 2知,尸則cov(X?) = 0故 X相互獨(dú)立. 二選擇(C).4. (C)隨機(jī)變量.V :相互獨(dú)立

27、且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則P(xfy) = p0)出(為 二選擇(C).5. (A)；p(x= r)=p(x=I)F(F=i)+p(x =-i)p(r = -i)11111=x +X-=-2 2 2 2 2選擇(A).6. (A)由期望的性質(zhì)知E(X+Y) = EX+EY選擇(A).7. (D)EXY-EXOEY(從 顧口殛Q)_ EX(aX+b)-EXUSaX+b) 4DXUD(aX+b) _aUDXaDXa選擇(D).8. (B)與;U 不相關(guān)的充要條件是匚門Jl, 0 x7iyl b其它=_22最新可編輯word文檔即 If 丁丁 則 h :/選擇(B).9.(C)DX = -、:nPX-u1-=1，1 9/ 選擇(C).10. (A).Xi( i = 1,2,)服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則 跖冷辱乂需(衛(wèi))A2站-如J選擇(A).、計(jì)算與應(yīng)用題1.解顯然無的可能取值為 0? L 2 ； y 的可能取值為 1, 2 注意到將一個(gè)球隨機(jī)的放入一個(gè)盒子共有二“種放法,則有Y=l = y=?919PX = QfY=2= = -,PX = l, Yl) = 0r1nr14咻=1 w竽冷?Jf = 2 , Y=1二卜右PX2 ,Y=2 = 0即 J的聯(lián)合分布律為YX122525045DX_ XlimP最新可編輯word文檔12- 092. 解(1)由概率密度的性質(zhì)有匚匚p