高中數(shù)學必修二空間幾何的結(jié)構(gòu)

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 空間幾何體一、知識梳理1簡單幾何體2幾種常用的多面體：(1)棱柱：一般地，有兩個在面互相平行，其余各面都有是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫棱柱；棱柱中互相平行的面叫棱柱的_;簡稱底；其余各面叫做棱柱的_,相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的_,側(cè)面與底面的公共點稱為棱柱的_按底面多邊形邊數(shù)棱柱可分為 ， ， ，六棱柱等。按側(cè)棱與底成是否垂直可分為 和 。斜棱柱： ；直棱柱： ；正棱柱： ；底面是 的四棱柱叫平行六面體； 的平行六面體叫直平行六面體；底面是 的直平行六面體叫長方體；底面是 的長方體叫正四棱柱； 的長方

2、體叫正方體；(2)棱錐：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做_,這個多邊形面叫做_；有公共頂點的各個三角形面叫_;各側(cè)面的公共頂點叫_;相鄰側(cè)面的公共邊叫做_。 正棱錐的兩個本質(zhì)特征： ； 。 正棱錐的性質(zhì)： ， ， 。 ； 。 (3)棱臺可由的平面截棱錐得到， 棱臺上下底面的兩個多邊形 ，各側(cè)棱延長線 。3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (請結(jié)合右圖分析) (1)圓柱可以由矩形繞其_旋轉(zhuǎn)得到 (2)圓錐可以由直角三角形繞其_旋轉(zhuǎn)得到 (3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線 或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到， 也可由_的平面截圓錐得到 (4)球可以由半圓

3、或圓繞其_旋轉(zhuǎn)得到 4、空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開關和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。(1)三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的 、看到的物體 的圍成的平面圖形(2)一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在 的下面，長度與一樣，左視圖放在 的右面，高度與 的高度一樣，寬度與 的寬度一樣，即“、 、”，或說“、 ”，注意虛、實線的區(qū)別5、空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用畫法來畫，基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸 ，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應

4、的x軸、y軸，兩軸相交于O，且使xOy(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于6、中心投影與平行投影(1)平行投影的投影線，而中心投影的投影線 (2)從投影的角度看，三視圖和用斜二測畫法畫出的直觀圖都是在投影下畫出來的圖形注：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點觀察幾何體而畫出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形。7、側(cè)面積公式：直棱柱的側(cè)面積： ，斜棱柱的側(cè)面積： 。 圓柱的側(cè)面積： ，圓錐的側(cè)面積： ， 正棱錐的側(cè)面積： ，正

5、棱臺的側(cè)面積： ， 圓臺的側(cè)面積： ，球的表面積： ，8、體積公式：柱體的體積： ，錐體的體積： ， 臺體的體積： ， 球體的體積： ，二、典例精析考點一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件 充要條件 思路解析：利用類比推理中“線面”再驗證一下所給出的條件是否正確即可。解答：平行六面體實質(zhì)是把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質(zhì)上的“相似性”。平行四邊形平行六面體兩組對邊分別平行一組對邊平行且相等對角線互相平分兩組相對側(cè)面

6、分別平行一組相對側(cè)面平行且全等對角線交于一點且互相平分答案：兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個即可）。2、一正方體表面沿著幾條棱裁開放平得到如圖的展開圖，則在原正方體中（ ）A ABCD B ABEF C CDGH D ABGH解答：選C。折回原正方體如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見CDGH3、下列命題中，不正確的是_棱長都相等的長方體是正方體有兩個相鄰側(cè)面為矩形的棱柱為直棱柱有兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱底面為平行四邊形的四棱柱叫平行六面體解析：由平行六面體、正方體的定義知正確；對于，相鄰兩側(cè)面垂直于底面，則側(cè)棱垂直于底

7、面，所以該棱柱為直棱柱，因而正確；對于，若兩側(cè)面平行且垂直于底面，則不一定是直棱柱答案：4下面是關于三棱錐的四個命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號是_(寫出所有真命題的編號)解析：對于，設四面體為DABC，過棱錐頂點D作底面的垂線DE，過E分別作AB，BC，CA邊的垂線，其垂足依次為F，G，H，連結(jié)DF，DG，DH，則DFE，DGE，DHE分別為各側(cè)面與底面所成的

8、角，所以DFEDGEDHE，于是有FEEGEH，DFDGDH，故E為ABC的內(nèi)心，又因ABC為等邊三角形，所以F，G，H為各邊的中點，所以AFDBFDBGDCGDAHD，故DADBDC，故棱錐為正三棱錐所以為真命題對于，側(cè)面為等腰三角形，不一定就是側(cè)棱為兩腰，所以為假命題對于，面積相等，不一定側(cè)棱就相等，只要滿足斜高相等即可，所以為假命題對于，由側(cè)棱與底面所成的角相等，可以得出側(cè)棱相等，又結(jié)合知底面應為正三角形，所以為真命題綜上，為真命題答案：5、關于如圖所示幾何體的正確說法為_ 這是一個六面體這是一個四棱臺這是一個四棱柱這是一個四棱柱和三棱柱的組合體這是一個被截去一個三棱柱的四棱柱答案：6、

9、(2009年高考安徽卷)對于四面體ABCD，下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD三條高線的交點；若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；任何三個面的面積之和都大于 第四個面的面積；分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點解析：中的四面體如果對棱垂直，則垂足是BCD的三條高線的交點；中如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合答案：7、下面命題正確的有_個長方形繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓柱過圓錐側(cè)面上一點有無數(shù)條母線三棱錐的每個面都可以作為底面圓錐的軸截面(過軸所作的截面)是等

10、腰三角形解析：錯，正確錯在繞一條直線，應該是繞長方形的一條邊所在的直線；兩點確定一條直線，圓錐的母線必過圓錐的頂點，因此過圓錐側(cè)面上一點只有一條母線答案：28、給出以下命題：底面是矩形的四棱柱是長方體；直角三角形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐；四棱錐的四個側(cè)面可以都是直角三角形其中說法正確的是_解析：命題不是真命題，因為底面是矩形，若側(cè)棱不垂直于底面，這時四棱柱是斜四棱柱；命題不是真命題，直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐，如果繞著它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體則是兩個具有共同底面的圓錐；命題是真命題，如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平

11、面ABCD，則可以得到四個側(cè)面都是直角三角形故填.9、下列結(jié)論正確的是 各個面都是三角形的幾何體是三棱錐以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線解析：錯誤如圖(1)所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐錯誤如圖(2)(3)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐錯誤若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長

12、正確答案：10、如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個命題中，假命題是_等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上解析：如圖，SA=SB=SC=SD，SAO=SBO=SCO=SDO，即等腰四棱錐腰與底面所成的角相等，正確；等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角相等或互補不一定成立；如圖，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱錐的底面四邊形存在外接圓，正確；等腰四棱錐各頂點在同一個球面上，正確故選.答案：考點二、空間幾何體的三視圖1將

13、正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A點評：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。2、由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個數(shù)是 俯視圖主視圖左視圖解：以俯視圖為主，因為主視圖左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個幾何體的正方體木塊數(shù)的個數(shù)為5個。點評：從三視圖到確定幾何體，應根據(jù)主視圖和俯視圖情況分

14、析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體，最后便可得出這個立體體組合的小正方體個數(shù)。3、如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）.在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖。思路解析：根據(jù)正視圖和側(cè)視圖可確定出點G、F的位置，從而可以畫出俯視圖。解答：如圖：考點三、空間幾何體的直觀圖1、如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖。2、已知正三角形ABC的邊長為a,那么ABC的平面直觀圖的面積為 思路解析：（1）三視圖確定幾何體結(jié)構(gòu)畫直觀圖（2）根據(jù)規(guī)則求出的高即可。解答：（1）由三視圖知該幾何體是一個簡單的組合體，

15、它的下部是一個不在此列四棱臺，上部是一個正四棱錐。畫法：畫軸。如圖，畫x軸、y軸、z軸,使xOy=450,xOz=900.畫底面。利用斜二測畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取使等于三視圖中相應高度，過作的平行線，Oy的平行線，利用與畫出底面；畫正四棱錐頂點。在Oz上截取點P，使P等于三視圖中相應的高度；成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖所示（2）如圖、所示的實際圖形和直觀圖。由圖可知，在圖中作答案：考點四 截面問題1、棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積。思路解析：截面過正四面體的兩頂點及球心，則必過

16、對棱的中點。解答：如圖，ABE為題中的三角形，由已知得AB=2，BE=，BF=，AF=，ABE的面積為注：解決這類問題的關鍵是準確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對照分析，找出幾何體中的數(shù)量關系。與球有關的截面問題為了增加圖形的直觀性，解題時常常畫一個截面圓起襯托作用。2、過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是_解析：設截面的圓心為O，由題意得：OAO60°，OA1，S·12.答案：3、(2009年高考遼寧卷改編)如果把地球看成一個球體，求地球上北緯60°緯線長和赤道線長

17、的比值解：設地球的半徑為R，那么對應的赤道線的大圓的半徑為R，而對應的北緯60°緯線所在的小圓的半徑為R，那么它們對應的長度之比為RR. 即所求比值為.4、下列三個命題，其中正確的有_個用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；有兩個面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面體是棱臺解析：中的平面不一定與底面平行，可用反例圖去驗證答案：05、(2008年高考江西卷)如圖(1)，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過

18、點P(圖(2) 有下列四個命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點PC任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點PD若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是：_(寫出所有真命題的代號)解析：設正四棱柱底面邊長為b，高為h1，正四棱錐高為h2，則原題圖(1)中水的體積為b2h2b2h2b2h2，圖(2)中水的體積為b2h1b2h2b2(h1h2)，所以b2h2b2(h1h2)，所以h1h2，故A錯誤，D正確對于B，當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點，故B正確對于C，假設C正確，當水

19、面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，經(jīng)計算得水的體積為b2h2>b2h2，矛盾，故C不正確答案：BD考點五 幾何體的展開與折疊幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得的。利用了空間問題平面化的思想。把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點；（1）多面體的展開圖：直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形。（2）旋轉(zhuǎn)體的展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓周長，寬是圓柱的母線長；圓錐的側(cè)面展開圖是

20、扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長。注：圓錐中母線長與底面半徑r和展開圖扇形中半徑和弧長間的關系及符號容易混淆。1、如圖所示，長方體的長、寬、高分別為4 cm,3 cm,5 cm，一只螞蟻從A到C1點沿著表面爬行的最短距離是多少？解：長方體ABCDA1B1C1D1的表面可如下圖三種方法展開后，A、C1兩點間的距離分別為：3，4，三者比較得是從點A沿表面到C1的最短距離，最短距離是 cm.2(2009年高考全國卷改編)紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體

21、剪開，外面朝上展平，得到如圖的平面圖形，則標“”的面的方位是_解析：將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北答案：北3、有一根長為3cm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？思路解析：把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離。解答：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖），由題意知BC=3cm，AB=4cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。A

22、C=5cm，故鐵絲的最短長度為5cm。4、如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60°，E為AB的中點，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積. .5、如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值是 .答案 56.如圖所示，正ABC的邊長為4，D、E、F分別為各邊中點，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點，將ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.（1）MNP等于多少度？60°（2）擦去線段EM

23、、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？考點六 幾何體的面積和體積1、幾何體的面積：高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準確應用面積公式，就可以順利解決；多面體的表面積是各個面的面積之和。圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理。2、幾何體的體積：求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧透?，然后應用公式進行計算即可。常用方法為：割補法和等積變換法：割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和

24、柱體的體積，從而得出幾何體的體積；等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面。求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；利用“等積性”可求“點到面的距離”。1、 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中BAC=30°)及其體積.答案：R2，R3.2、一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3 cm和6 cm,高是 cm,（1）求三棱臺的斜高；（2）求三棱臺的側(cè)面積和表面積.答案：三棱臺斜高為 cm,側(cè)面積為 cm2，表面積為 cm2.3、如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 思路解析：三視圖直觀

25、圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解解答：由三視圖可知，該幾何體是由一個球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，幾何體的表面積為S=4+8=12。答案：124、一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1，h2，h3，求h1h2h3的值解：選依題意，四棱錐為正四棱錐，三棱錐為正三棱錐，且棱長均相等，設為a，h2h3，h1 a，h2 a，故h1h2h322.5、一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)

26、棱上已知正三棱柱的底面邊長為2，求該三角形的斜邊長解：如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為正三角形，邊長為2，DEF為等腰直角三角形，DF為斜邊，設DF長為x，則DEEFx，作DGBB1，HGCC1，EICC1，則EG，F(xiàn)I，F(xiàn)HFIHIFIEG2，在RtDHF中，DF2DH2FH2，即x24(2)2，解得x2.即該三角形的斜邊長為2.6、（10全國卷1）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為（ ） （A） (B) (C) (D) 答案】B7、（10北京）如圖，正方體的棱長為2，動點E、F在棱上。點Q是CD的中點，動點P在棱AD上

27、，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：【答案】 C（A）與x，y都有關； （B）與x，y都無關；（C）與x有關，與y無關； （D）與y有關，與x無關；8、一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積。思路解析：本題為求棱錐的體積問題。已知底面邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積。解答：如圖所示，正三棱錐S-ABC。設H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高。連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AHBC。ABC是邊長為6的正三角形，AE=，AH= AE= 2。在ABC中，9、(2008

28、年高考湖北卷)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為_解析：截面圓的半徑為1，又球心到截面距離等于1，所以球的半徑R，故球的體積VR3.答案：10、在三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，ABC，ACD，ADB的面積分別為，則該三棱錐的體積為_解析：AB·AC，AD·AC，AB·AD，AB，AC1，AD.V··1··.答案：11、(2010年福建廈門檢測)已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是_解析：由R3，得R2.正三棱柱的高h4.設其底面邊

29、長為a，則·a2.a4.V(4)2·448.答案：4814、(2009年高考陜西卷改編)若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為_解析：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1×1×，故八面體體積V2V1.答案：12、(2009年高考全國卷)已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_解析：由題意得圓M的半徑r，又球心到圓M的距離為，由勾股定理得R2r2()2，R2，則球的表面積為4×2216.答案：1613、(2009年

30、高考江西卷)體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于_解析：設正方體棱長為a，則a38，a2.S正方體S球，6×224R2，R .V球R3( )3.答案：14、若長方體的三個共頂點的面的面積分別是，則長方體的體積是_解析：可設長方體同一個頂點上的三條棱長分別為a，b，c，列出方程組解得所以長方體的體積V1××.15、在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為13，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為_解析：利用一個錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，而這個截面面積與底面面積之比等于

31、相似比的平方答案：1316、(2010年南通調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則四面體AB1CD1的外接球的體積為_解析：四面體AB1CD1的外接球即為正方體的外接球，所以2r.r3，V球r3×2736.答案：3617、(2009年高考寧夏、海南卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAB是等邊三角形，PACPBC90°.(1)證明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱錐PABC的體積解：(1)證明：因為PAB是等邊三角形，PACPBC90°，所以RtPBCRtPAC，可得ACBC.如圖，取AB中點D，連結(jié)PD、CD，則PDAB，CDAB

32、，所以AB平面PDC，所以ABPC.(2)作BEPC，垂足為E，連結(jié)AE.因為RtPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90°.因為RtAEBRtPEB，所以AEB，PEB，CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面積S2.因為PC平面AEB，所以三棱錐PABC的體積V×S×PC.18、如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB2，F(xiàn)為CD的中點(1)求證：AF平面CDE；(2)求證：AF平面BCE；(3)求四棱錐CABED的體積解：(1)證明：F為等邊三角形CD邊上的中點，AF