插值和擬合資料講解

1、插值和擬合精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2插值和擬合都是函數(shù)逼近或者數(shù)值逼近的重要組成部分他們的共同點(diǎn)都是通過已知一些離散點(diǎn)集 M 上的約束， 求取一個(gè)定義 在連續(xù)集合 S （M包含于 S）的未知連續(xù)函數(shù)，從而達(dá)到獲取整體規(guī)律的 目的，即通過窺幾斑來達(dá)到知全豹。簡(jiǎn)單的講，所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值f1,f2,fn,通過調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù) f （入 1,入 2,入 3） ,使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的 差別（最小二乘意義）最小。如果待定函數(shù)是線性，就叫線性擬合或者 線性回歸（主要在統(tǒng)計(jì)中），否則叫作非線性擬合或者非線性回歸。表 達(dá)式也可以是分段函數(shù)，這種情況下叫作

2、樣條擬合。而插值是指已知某函數(shù)的在若干離散點(diǎn)上的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)信息，通過求解該函數(shù)中待定形式的插值函數(shù)以及待定系數(shù)，使得該函數(shù)在給定離散點(diǎn)上滿足約束。插值函數(shù)又叫作基函數(shù)，如果該基函數(shù)定義在 整個(gè)定義域上，叫作全域基，否則叫作分域基。如果約束條件中只有 函數(shù)值的約束，叫作 Lagrange插值，否則叫作 Hermite 插值。從幾何意義上將，擬合是給定了空間中的一些點(diǎn)，找到一個(gè)已知形式精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝3未知參數(shù)的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點(diǎn)；而插值是找到一個(gè)(或幾個(gè)分片光滑的)連續(xù)曲面來穿過這些點(diǎn)。一、 概念的引入1. 插值與擬合在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用l 機(jī)械

3、制造：汽車外觀設(shè)計(jì)l 采樣數(shù)據(jù)的重新建構(gòu)：電腦游戲中場(chǎng)景的顯示，地質(zhì)勘探，醫(yī)學(xué)領(lǐng)域(CT)2. 概念的定義I 插值：基于a,b區(qū)間上的 n 個(gè)互異點(diǎn)，給定函數(shù) f(x)，尋找某個(gè)函數(shù)去逼 近 f(x)。若要求 (x)在 xi 處與 f(xi)相等，這類的函數(shù)逼近問題稱為插值問 題，xi 即是插值點(diǎn)I 逼近：當(dāng)取值點(diǎn)過多時(shí)，構(gòu)造通過所有點(diǎn)的難度非常大。此時(shí)選擇一個(gè)次數(shù) 較低的函數(shù)最佳逼近這些點(diǎn)，一般采用最小二乘法I 光顧：曲線的拐點(diǎn)不能太多，條件：二階幾何連續(xù)不存在多余拐點(diǎn)曲率變化較小I 擬合：曲線設(shè)計(jì)過程中用插值或通過逼近方法是生成的曲線光滑(切變量連續(xù))光顧二、 插值理論設(shè)函數(shù) y=f(x)

4、在區(qū)間a,b上連續(xù)，在a,b上有互異點(diǎn) xo,x1,xn處取值 yo,y1,yn。如果函數(shù) (x)在點(diǎn) Xi上滿足 (xi)=yi(i=0,1,2,n)，則稱 (x)是函數(shù) y=f(x)的插值函數(shù)，xo,xi,xn是插值節(jié)點(diǎn)。若此時(shí) (x)是代數(shù)多項(xiàng)式 P(x)，則稱 P(x)為插值多項(xiàng)式。顯然 f(x)(x) , x a,b精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝41. 拉格朗日插值構(gòu)造 n 次多項(xiàng)式 Pn(x)= ykIk(x)=yol0(x)+yil1(x)+ +ynln(x)，這是不超過 n 次的多項(xiàng)式，其中基函數(shù) lk(x)=顯然 Ik(x)滿足 Ik(xi)=此時(shí) Pn(

5、x) f(x),誤差 R(x)=f(x)-Pn(x) =其中 (a,b)且依賴于 x,= (x-x0) (x-xi)(x -xn)很顯然，當(dāng) n=1、插值節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè) xk,xk+i時(shí)Pi(x)=yklk(x)+yk+ilk+i(x)其中基函數(shù)|k(x)= lk+i(x)=2. 牛頓插值構(gòu)造 n 次多項(xiàng)式 Nl(x)=f(xo)+f(xo,xi)(x-xo)+f(x0,Xi,X2)(X-Xo)(x-xi)+ +f(x0,x1,x2,xn)(x-xo)(x-xi)(x -xn)稱為牛頓插值多項(xiàng)式，其中(二個(gè)節(jié)點(diǎn)，一階差商)(三個(gè)節(jié)點(diǎn)，二階差商)(n+i 個(gè)節(jié)點(diǎn)，n 階差商)注意：由于插值多項(xiàng)式的

6、唯一性，有時(shí)為了避免拉格朗日余項(xiàng)R(x)中 n+i 階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用牛頓插值公式 R (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,xn)3n+i(x),其中3n+1(x)=(x-xo)(x-xi)(x -xn)精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝53.分段插值-子區(qū)間內(nèi)，避免函數(shù)在某些區(qū)間失真1)線性插值已知 n+1 個(gè)不同節(jié)點(diǎn) xo,x1,xn,構(gòu)造分段一次線性多項(xiàng)式 P(x)，使之滿足I P(x)在a,b上連續(xù)I P(xk)=ykI P(x)在Xi,xi+1上是線性函數(shù)，P(x)=2)兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)插值-避免尖點(diǎn)、一階連續(xù)區(qū)間a,b上兩個(gè)互異節(jié)點(diǎn) Xi,Xi+i，已知實(shí)數(shù) yi

7、,yi+i,mi,mi+i，為了構(gòu)造次數(shù) 不大于 3的多項(xiàng)式滿足條件引入，使之滿足可以求出此時(shí)=+ ，其中4.三次樣條插值二階可導(dǎo)對(duì)于給定 n+1 個(gè)不同節(jié)點(diǎn) xo,xi,xn及函數(shù)值 yo,yi,yn，其中a=x1n=b。構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)S(x)。S(x)稱為三次樣條函數(shù)時(shí)需滿足：I S(x)在a,b上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)I S(xk)=yk(k=0,1,n)I 每個(gè)子區(qū)間xk,xk+1上 S(x)是三次多項(xiàng)式(k=0,1,n)5.例題精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝6已知函數(shù) y=f(x)的觀測(cè)值X123 4丫0-5-63求三次插值多項(xiàng)式 (x)及 (2.5).解：(1) 拉

8、格朗日插值P3(x)=yolo(x)+yili(x)+y212(x)+y313(x)=(-5) + (-6) +33 *2c=x -4x +3(x)P3(x)= x3-4X2+3(2.5)=2.53-4*2.52+3=-6.375(2) 牛頓插值Xif(xi)一階差商 二階差商 三階差商102-5-53-6-12439512(x)=f(xo)+f(xo,xi)(x-xo)+f(x0,Xi,X2)(X-XO)(X-Xi)+f(Xo,Xi,X2,X3)(X-XO)(X-xi)(x-x2)=0+(-5)(x-1)+2*(x-1)(x-2)+1*(x-1)(x-2)(x-3)3 *2 c=x -4x

9、+3三、Matlab 在插值中的應(yīng)用精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝71. Lagrange 插值1)方法回顧對(duì)給定的 n 個(gè)節(jié)點(diǎn) xi,X2,xn及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 yi,y2,yn,利用 n 次 Lagrange插值多項(xiàng)式公式，插值區(qū)間內(nèi)任意 x 的函數(shù)值 y 可以通過下式求出：2) Matlab 實(shí)現(xiàn)函數(shù) Lagrange.mfun cti on y=lagra nge(xO,yO,x)n=len gth(xO);m=le ngth(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1: np=1.0;for j=1: nif j=kp=p*(z-x0(j)/(

10、x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;end精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝8y(i)=s;end3)例題的 Matlab 實(shí)現(xiàn)x=1 2 3 4;y=0 - 5 - 6 3;lagra nge(x,y,2.5)2. Runge 現(xiàn)象及分段線性插值1)Runge 現(xiàn)象Runge 在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)：在-1,1上用 n+1 個(gè)等距結(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式 Pn(x)，使 其在個(gè)結(jié)點(diǎn)的值與函數(shù) y(x)=1 心+25x2)在結(jié)點(diǎn)的值相等。但在 n-x時(shí)，插值 多項(xiàng)式 Pn(x)在區(qū)間中部趨于 y(x)。但對(duì)于 0.7261xIn 由于該超定方程個(gè)數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)，當(dāng)增

11、廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩時(shí)無 解。現(xiàn)在求其最小二乘解，它就是使余向量rx=b-Ax 的譜范數(shù)|rxI2=(5匕)2最小的 n 維向量。具體解法可以通過求解該方程組的法方程組AAx=Ab 獲得。2. Matlab 的實(shí)現(xiàn)1)線性擬合及多項(xiàng)式擬合精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝13ployfit(x,y,i)以最高次為 i 的多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)例 1x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;coef=polyfit(x,y,1);a仁coef(1),a0=coef(2);ybest=a1*x+aO;s=sum(y-ybest).A2);axi

12、s(-1,6,-20,120);plot(x,y, *)hold onplot(x,ybest)例 2如下給出從二階到十階多項(xiàng)式擬合曲線的比較程序，并給出擬合曲線x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;xi=0:0.2:5;for n=2:10bb=polyfit(x, y,n);精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝14yi=polyval(bb,xi);plot(xi,yi,x,y, * )title(int2str(n),次多項(xiàng)式擬合曲線)grid on pauseend例 3在某個(gè)實(shí)驗(yàn)中得到如下一組數(shù)據(jù):x1 二 234567y0.3101 0.4900 0.6400 0.8000 0.9200 1.0500 1.2000已知 x,y 滿足 y=kxn，求參數(shù) k 與 n提示：y=kxnalny=lnk+nlnxLOG(x)EXP(x)*可線性化的非線性模型變量和參數(shù)的變化YXala2模型形式變換后形式精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝152）超定方程的解法例：用最小二乘法求一個(gè)形如 y=a+bx2 的經(jīng)