正弦定理與余弦定理的應(yīng)用(精)

1、1.3 正、余弦定的應(yīng)用課前回顧課前回顧（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理應(yīng)用范圍：）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知已知兩角和任意邊兩角和任意邊，求其他兩邊和一角，求其他兩邊和一角 已知已知兩邊和其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊，求另一邊的對(duì)角。的對(duì)角。(注意解的情況注意解的情況)正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R（3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

2、。的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題：）、余弦定理可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題：（1）已知三邊求三個(gè)角；）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。了解有關(guān)測(cè)量術(shù)語(yǔ)了解有關(guān)測(cè)量術(shù)語(yǔ):a.仰角和俯角仰角和俯角是指與目標(biāo)視線(xiàn)在同一垂直平是指與目標(biāo)視線(xiàn)在同一垂直平面內(nèi)的水平視線(xiàn)的夾角面內(nèi)的水平視線(xiàn)的夾角.其中目標(biāo)視線(xiàn)在水平其中目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)的目標(biāo)視

3、線(xiàn)上方時(shí)叫仰角視線(xiàn)的目標(biāo)視線(xiàn)上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線(xiàn)在水目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)的下方的時(shí)叫俯角平視線(xiàn)的下方的時(shí)叫俯角.b.方向角方向角是指從指定方向線(xiàn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的是指從指定方向線(xiàn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角水平角,如北偏東如北偏東300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指從正北方向是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目是指從正北方向是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角標(biāo)方向線(xiàn)的水平角.d.坡度坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù)是坡面與水平面所成的角的度數(shù).下面是幾個(gè)測(cè)量距離問(wèn)題例、如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)、之間例、如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)、之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測(cè)得的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測(cè)得ADC=85, BDC=60

4、, ACD=47, BCD=72,CD=100m.設(shè)，在同一個(gè)平設(shè)，在同一個(gè)平面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到m）解：在解：在中，中， ADC85, ACD=47, 則則 D=4，又，又100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得：)(05.13448sin85sin100sinsinmDACADCDCAC在在中，中， BDC=60, BCD=72,則則DC=又又100，由正弦定理，得由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05

5、 116.54cos253233.95134.05 116.54所以所以（m）.答：，兩點(diǎn)之間的距離約為答：，兩點(diǎn)之間的距離約為m.如圖如圖,隔河看兩目標(biāo)隔河看兩目標(biāo)A、B，但不能到達(dá)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距在岸邊選取相距 千米的千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)兩點(diǎn)，并測(cè)得得ACB=75ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB=45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求兩目標(biāo)，求兩目標(biāo)ABAB之間的距離。之間的距離。3ABCD學(xué)生練習(xí)一學(xué)生練習(xí)一（1）準(zhǔn)確地理解題意；）準(zhǔn)確地理解題意；（2）正確地作出圖形

6、；）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；序地解這些三角形；（）再根據(jù)實(shí)際意義和精確度的要求給出（）再根據(jù)實(shí)際意義和精確度的要求給出答案答案解三角形應(yīng)用題的一般步驟：解三角形應(yīng)用題的一般步驟：下面是幾個(gè)測(cè)量角度問(wèn)題例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為處，并測(cè)

7、得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營(yíng)救求艦艇的速度前去營(yíng)救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1 ,時(shí)間精確到時(shí)間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角的水平角北北北北BC105解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負(fù)值舍去）負(fù)值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143