正弦定理與余弦定理的應用(精)

1、1.3 正、余弦定的應用課前回顧課前回顧（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理應用范圍：）正弦定理應用范圍： 已知已知兩角和任意邊兩角和任意邊，求其他兩邊和一角，求其他兩邊和一角 已知已知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，求另一邊，求另一邊的對角。的對角。(注意解的情況注意解的情況)正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R（3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

2、。的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：）、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：（1）已知三邊求三個角；）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。了解有關(guān)測量術(shù)語了解有關(guān)測量術(shù)語:a.仰角和俯角仰角和俯角是指與目標視線在同一垂直平是指與目標視線在同一垂直平面內(nèi)的水平視線的夾角面內(nèi)的水平視線的夾角.其中目標視線在水平其中目標視線在水平視線的目標視

3、線上方時叫仰角視線的目標視線上方時叫仰角,目標視線在水目標視線在水平視線的下方的時叫俯角平視線的下方的時叫俯角.b.方向角方向角是指從指定方向線到目標方向線的是指從指定方向線到目標方向線的水平角水平角,如北偏東如北偏東300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角標方向線的水平角.d.坡度坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù)是坡面與水平面所成的角的度數(shù).下面是幾個測量距離問題例、如圖，為了測量河對岸兩點、之間例、如圖，為了測量河對岸兩點、之間的距離，在河岸這邊取點，測得的距離，在河岸這邊取點，測得ADC=85, BDC=60

4、, ACD=47, BCD=72,CD=100m.設，在同一個平設，在同一個平面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到m）解：在解：在中，中， ADC85, ACD=47, 則則 D=4，又，又100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得：)(05.13448sin85sin100sinsinmDACADCDCAC在在中，中， BDC=60, BCD=72,則則DC=又又100，由正弦定理，得由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05

5、 116.54cos253233.95134.05 116.54所以所以（m）.答：，兩點之間的距離約為答：，兩點之間的距離約為m.如圖如圖,隔河看兩目標隔河看兩目標A、B，但不能到達，但不能到達，在岸邊選取相距在岸邊選取相距 千米的千米的C、D兩點，并測兩點，并測得得ACB=75ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB=45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求兩目標，求兩目標ABAB之間的距離。之間的距離。3ABCD學生練習一學生練習一（1）準確地理解題意；）準確地理解題意；（2）正確地作出圖形

6、；）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；序地解這些三角形；（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出答案答案解三角形應用題的一般步驟：解三角形應用題的一般步驟：下面是幾個測量角度問題例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測得漁輪正沿方位角為處，并測

7、得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營救求艦艇的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1 ,時間精確到時間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角的水平角北北北北BC105解：設艦艇收到信號后解：設艦艇收到信號后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡得：化簡得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負值舍去）負值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143