在估算的過程中培養(yǎng)和提高估算能力

1、在估算的過程中培養(yǎng)和提高估算能力【摘要】數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素，加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.估算能力是數(shù)學(xué)能力不可或缺的重要組成成分.數(shù)學(xué)估算能力是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識解決問題的過程中形成、開展和提高的，離開“過程無法培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，這些過程主要指掌握知識的過程、形成能力的過程和問題解決的過程.【關(guān)鍵詞】估算能力;數(shù)學(xué)概念;方程解法;問題解決?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2021年版?以下簡稱?課標(biāo)2021年版?指出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的根本素養(yǎng)【1】.數(shù)學(xué)教學(xué)必須立足和落腳于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措.估算的意思是大致推算，近

2、義詞是預(yù)算、估計(jì)等，估算是一種能力，是計(jì)算能力的重要組成局部.?課標(biāo)2021年版?非常重視對學(xué)生“估算能力的培養(yǎng)，共提及“估算13次，“估計(jì)61次.估算意識的形成、估算能力的培養(yǎng)和開展都離不開“過程，這里的過程可概括為下面三個(gè).1掌握數(shù)學(xué)知識的過程?課標(biāo)2021年版?界定的“課程內(nèi)容，主要包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證，我們不妨把這些內(nèi)容統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)知識，教材對這些知識的設(shè)計(jì)展現(xiàn)了“知識背景知識形成揭示聯(lián)系【1】的過程，教學(xué)中也要努力表達(dá)這個(gè)過程，這樣有助于學(xué)生理解知識的產(chǎn)生和開展過程，揭示出知識之間的相互聯(lián)系，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)【2】.數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維

3、形式【3】.數(shù)學(xué)概念是重要的根底知識，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生對概念的掌握情況直接影響著學(xué)習(xí)的效果.初中數(shù)學(xué)教材中的很多概念都有其產(chǎn)生的過程，教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，以此引導(dǎo)學(xué)生在探索活動(dòng)的過程中學(xué)習(xí)概念，學(xué)生在經(jīng)歷這些過程當(dāng)中，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹肮浪悖瑥倪@個(gè)意義上講，“估算有助于數(shù)學(xué)概念的建立.案例1無理數(shù)概念的建立過程.無理數(shù)的引進(jìn)是學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的關(guān)鍵，學(xué)生往往有這樣的疑問：既然“無理，為什么還叫“數(shù)呢？為了讓學(xué)生接受這個(gè)數(shù)，首先應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生感到這個(gè)數(shù)是客觀存在的，同時(shí)意識到它是無限的.根據(jù)?課標(biāo)2021年版?提出的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

4、【1】的理念，筆者設(shè)計(jì)了下面的這個(gè)“故事情節(jié).巴霍姆想到大草原上買一塊地，他問賣地人價(jià)錢如何，聰明的賣地人說：每天1000盧比，就是你給我1000盧比，太陽初升時(shí)你可以出發(fā)，到日落時(shí)走過的路所圍成的土地就歸你.賣地人還提醒說，如果在日落之前返回不到原來的出發(fā)點(diǎn)，你就一點(diǎn)地也買不了，這1000盧比就算白花了.巴霍姆認(rèn)為這樣很合算，就付給了賣地人1000盧比.第二天早早地來到了草原，等太陽一出來，他就瘋狂的奔跑.他先向正南筆直跑了10千米，然后拐彎向東又跑了13千米，再拐彎向正北跑了2千米.突然，他發(fā)現(xiàn)時(shí)間不早了，戀戀不舍的直奔早上的出發(fā)點(diǎn)跑去，用盡力氣拼命的跑，總算在太陽完全落山之前趕到了出發(fā)點(diǎn)

5、，只見他向前一撲，口吐鮮血.堅(jiān)守信譽(yù)的賣地人把地留給了巴霍姆的后人.【數(shù)學(xué)思考】根據(jù)故事提供的信息，思考并解答下面兩個(gè)問題：1畫出巴霍姆跑過的路線圖，你認(rèn)為這是一個(gè)什么圖形？2求出巴霍姆所跑的路程保存根號，相互交流自己的思考方法.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對課堂是否有“興趣直接影響著課堂教學(xué)的效果，教師在備課中一定要認(rèn)真研讀課程內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)能使學(xué)生感興趣的問題系列.讓學(xué)生感興趣的方法很多，如“講故事“做游戲就是常用的方法之一，目的是讓學(xué)生在聽故事、做游戲的同時(shí)，產(chǎn)生自覺探究數(shù)學(xué)知識的“欲望.為激發(fā)學(xué)生投入到積極學(xué)習(xí)無理數(shù)的過程中，我們設(shè)計(jì)了這個(gè)令人惋惜的故事.在學(xué)生聽完故事后，設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題，幾乎所有學(xué)生

6、通過分析、思考都能給出問題1的解答，畫出圖1所示巴霍姆跑過的路線圖，也知道這是個(gè)梯形.對于第2個(gè)問題，大局部學(xué)生也能給出下面的解答：如圖2，在RtACB中，AB=BC2+AC2=132+10-22=233，從而求出這一天巴霍姆所跑的路程為25+AB=25+233千米.【探究發(fā)現(xiàn)】233是個(gè)特殊的數(shù)，為了“搞清楚這個(gè)數(shù)，請同學(xué)們探究下面問題：1233可能是整數(shù)嗎？如果不是整數(shù)，你能估計(jì)233在哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間嗎？2233可能是整數(shù)15，16之間的某一個(gè)分?jǐn)?shù)嗎？相互討論.3233可能是有限小數(shù)嗎？可能是循環(huán)小數(shù)嗎？4由此你判斷233是一個(gè)怎樣的數(shù)呢？設(shè)計(jì)意圖本案例起始于一個(gè)故事，在學(xué)生聽完故事

7、后，給出了“數(shù)學(xué)思考與“探究發(fā)現(xiàn)兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生通過計(jì)算巴霍姆所跑的路程得到一個(gè)新數(shù)直角三角形的斜邊長233表達(dá)出擴(kuò)充數(shù)系的合理性，這是學(xué)生探究第二個(gè)環(huán)節(jié)中問題的根底.對問題1大局部學(xué)生都能根據(jù)225學(xué)生通過對問題3的探究，發(fā)現(xiàn)233是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).給出問題4的答案：這是一個(gè)與有理數(shù)不同的新數(shù)表達(dá)出建立無理數(shù)概念的必要性.教學(xué)時(shí)，教師及時(shí)指出：為了數(shù)學(xué)自身的開展，必須引進(jìn)一個(gè)新的概念.按照這樣的設(shè)計(jì)，引進(jìn)無理數(shù)概念，學(xué)生經(jīng)歷了“聽故事思考問題感受新數(shù)反映了擴(kuò)充數(shù)系的必要性探究新數(shù)特點(diǎn)表達(dá)出擴(kuò)充數(shù)系的合理性給出定義的過程.這種把知識學(xué)習(xí)寓于故事之中的教學(xué)，能激發(fā)學(xué)生積極的

8、進(jìn)行觀察、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，在這些活動(dòng)的過程中學(xué)習(xí)了無理數(shù)概念，培養(yǎng)和提高了學(xué)生的估算能力，落實(shí)了?課標(biāo)2021年版?提出的“能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)大致范圍的目標(biāo)，同時(shí)培養(yǎng)和開展了學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng).這種設(shè)計(jì)能表達(dá)出?課標(biāo)2021年版?倡導(dǎo)的“面向全體學(xué)生的理念，尊重了學(xué)生的個(gè)體差異，對于第一個(gè)環(huán)節(jié)的問題，學(xué)生都能解答.第二個(gè)環(huán)節(jié)的問題是為“學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)計(jì)的.這種設(shè)計(jì)表達(dá)了?課標(biāo)2021年版?提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展的課程根本理念.教師應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“問題積極開展實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、探究、交

9、流、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)的過程中，學(xué)生不僅能掌握知識，形成能力，還能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索性與創(chuàng)造性，以“喚醒學(xué)生的求知欲和好奇心，不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)和思維水平.2數(shù)學(xué)能力的形成過程?課標(biāo)2021年版?在“課程總目標(biāo)中提出的第二條要求是：學(xué)生能“體會(huì)數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力【1】.這實(shí)際上是?課標(biāo)2021年版?對學(xué)生數(shù)學(xué)能力目標(biāo)提出的宏觀要求.認(rèn)真研讀和分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)能力至少包含如下10種能力【4】：1運(yùn)算能力;2幾何直觀能力;3數(shù)據(jù)分析能力;4感受隨機(jī)現(xiàn)象的能力;5合情推理

10、能力;6演繹推理能力;7觀察能力;8數(shù)學(xué)建模能力;9合作交流能力;10數(shù)學(xué)思考能力與表達(dá)能力等.具體到每一種能力又可以包括假設(shè)干種“子能力，例如數(shù)學(xué)運(yùn)算能力就包含估算能力，教學(xué)中培養(yǎng)估算能力的“載體太多了，如實(shí)數(shù)的運(yùn)算，角度的測量、含有的計(jì)算、估算一個(gè)無理數(shù)如233的值，估計(jì)方根的范圍等等.這些知識都可以有效的培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，借助于解方程也可以培養(yǎng)估算能力.方程是?課標(biāo)2021年版?界定的重要課程內(nèi)容，在初中階段學(xué)生將先后學(xué)習(xí)一元一次方程、一次方程組、分式方程和一元二次方程.其根本流程分為“方程概念方程解法方程應(yīng)用三局部【5】圖3：理解方程概念是關(guān)鍵，靈活解方程是根底，解決實(shí)際問題是“落腳

11、點(diǎn)對于解方程，?課標(biāo)2021年版?在第三學(xué)段的“課程內(nèi)容中提出了四條具體要求【1】：1經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程;2能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程;3掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組;4能解簡單的三元一次方程組.大多數(shù)老師在教學(xué)中非常重視后三條，而對于第1條那么重視不夠.這樣就失去了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生估算能力的好時(shí)機(jī).為了全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力等素養(yǎng)，建議教師在教學(xué)中，利用好“解方程載體，強(qiáng)化對學(xué)生“估算能力的培養(yǎng).案例2用估算的方法解方程3x+1=64.3x+1=64是一個(gè)簡單的一元一次方程，常規(guī)解法非常簡單，對于學(xué)生而言，用估算法解方程是一種新的“方法，教

12、學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生這樣估算：1首先估計(jì)一個(gè)數(shù)，例如驗(yàn)證x=15是不是方程的解，把x=15代入方程，左邊=46，右邊是64，顯然估計(jì)值x=15偏小了，所示x=15不是方程的解;2然后換一個(gè)比15大的數(shù)重新估計(jì)，例如x=25，把x=25代入方程，左邊=76，右邊是64，估計(jì)值x=25偏大了，所示x=25不是方程的解;3由12可知，方程3x+1=64的解應(yīng)該在15到25之間，可以在這個(gè)范圍內(nèi)再取一個(gè)整數(shù)進(jìn)行嘗試，你準(zhǔn)備取怎樣的一個(gè)數(shù)進(jìn)行嘗試？你能得到怎樣的結(jié)論？4請根據(jù)下面表格中的步驟，估算方程3x+1=64的解，并進(jìn)行檢驗(yàn)：你得到這個(gè)方程的解了嗎？是多少？5你對這種“估算檢驗(yàn)的方法有什么體會(huì)？請相互交流

13、.設(shè)計(jì)意圖對于一個(gè)方程，如果把一個(gè)數(shù)a1代入它的左邊，左邊小于右邊，同時(shí)把另外一個(gè)數(shù)a2代入它的左邊，左邊大于右邊，那么方程的解一定會(huì)在a1與a2這兩個(gè)數(shù)之間.只要逐漸增大a1的值，同時(shí)縮小a2的值，即逐漸縮小a1與a2這兩個(gè)數(shù)的差，就會(huì)越來越接近或者求出方程的解.經(jīng)歷這樣的估算過程，學(xué)生不僅能找出方程的解，而且還能感悟到逐漸逼近的數(shù)學(xué)思想.基于這樣的想法，我們在給出一元一次方程的有關(guān)定義后，設(shè)計(jì)了這個(gè)案例.為引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)并掌握估算方程解的一般方法，我們以方程3x+1=64為例，設(shè)計(jì)了5個(gè)具有“遞進(jìn)層次的小問題，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷估算方程解的一般過程，學(xué)會(huì)通過嘗試、逐步調(diào)整和填表等數(shù)學(xué)活動(dòng)，直至

14、估算出方程3x+1=64的解.問題12給出了判斷一個(gè)數(shù)是否為方程解的“全過程，這是用估算法解方程的根底，學(xué)生有了解答問題12的經(jīng)驗(yàn)，不難給出問題34的解答，并且給出對問題5的體會(huì).估算方程的解不是一次、兩次就能估算出來的，往往需要經(jīng)歷屢次估算才能“找出方程的解，因此，估算方程的解是一個(gè)過程.在這個(gè)過程中，學(xué)生的知識、能力和方法都能“伴隨著估算的進(jìn)行得到培養(yǎng)和提高，并且還能不斷積累估算的經(jīng)驗(yàn)，這些都是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的因素.3解決問題的過程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的任務(wù)之一是利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，在這個(gè)過程中，既要用到具體的根底知識，又能反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.所以?課標(biāo)2021年版?指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根

15、據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動(dòng).這樣的活動(dòng)應(yīng)表達(dá)“問題情境建立模型求解驗(yàn)證【1】的過程.在解決有些實(shí)際問題時(shí)，估算比精確計(jì)算更有意義.案例3你能估計(jì)折紙的高度嗎？為了引出“估算的概念，從而使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)估算的必要性，逐步培養(yǎng)他們的估算意識，教學(xué)中可以借助實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙活動(dòng)：取一張報(bào)紙，將它對折，再對折，你估計(jì)最多能將它折幾次？并提出兩個(gè)問題讓學(xué)生思考與探究：1你能將它對折8次嗎？為什么？2如果能將一張報(bào)紙連續(xù)對折30次，你估計(jì)它的厚度是多少？相互交流設(shè)計(jì)意圖估算是根據(jù)具體條件及有關(guān)知識對事物的數(shù)量或算式的結(jié)果作出的大概推斷或估計(jì).在解決有些實(shí)際問題時(shí)，估算比精確計(jì)算更

16、有意義，為了盡早的讓學(xué)生意識到“估算在日常生活以及學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，初步了解估算的意義，養(yǎng)成估算的意識，筆者在七年級上冊學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方后，設(shè)計(jì)了這個(gè)案例.教學(xué)中，在學(xué)生探索、思考、交流之后，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生估算：一張普通報(bào)紙的厚度大約為0.01厘米，把一張紙連續(xù)對折8次后，它的厚度約為0.0128=0.01256=2.56厘米，這相當(dāng)于把一本256頁的書對折一次，這幾乎是不可能的.如果能將一張報(bào)紙連續(xù)對折30次，那么它的厚度約為：由此可以估計(jì)出將一張報(bào)紙連續(xù)對折30次后的厚度將是100千米，這個(gè)厚度將超過珠穆朗瑪峰的海拔高度11倍之多，這顯然是不可能的.學(xué)生通過對這個(gè)問題的探究，能感

17、受到0.01230是一個(gè)大數(shù)，體會(huì)到估算在解決現(xiàn)實(shí)生活問題中的意義，初步了解到估算的策略和價(jià)值，有助于開展學(xué)生的數(shù)感，逐步樹立起“估算的意識.根據(jù)?課標(biāo)2021年版?提出的“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)【1】的建議，我們在教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，精心選擇教學(xué)素材，讓學(xué)生去閱讀、理解，從而意識到有些問題需要準(zhǔn)確計(jì)算，有些問題只要通過估算得到近似值就可以.案例4設(shè)計(jì)一個(gè)估算值的方案.圓周率是圓的周長與直徑的比值，也等于圓形的面積與半徑平方之比.它是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積的關(guān)鍵值.在日常生活中，我們通常都用3.14作為的近似值，去進(jìn)行近似計(jì)算.是一個(gè)無理數(shù)，估算值的方法有多種，下面是利用概率

18、知識進(jìn)行估算的方案：【操作發(fā)現(xiàn)】1在一張紙上畫一個(gè)正方形ABCD及其內(nèi)切圓O如圖4，那么正方形ABCD的邊長a與內(nèi)切圓O的半徑r的關(guān)系是_;2隨機(jī)向圖4中撒10粒小米，那么落在O內(nèi)的小米有_粒，落在正方形ABCD內(nèi)的米有粒;如果撒20粒小米，那么落在O內(nèi)的小米有_粒，落在正方形ABCD內(nèi)的米有_粒.3由此可得，隨機(jī)向正方形內(nèi)投一粒小米，那么小米落在圓內(nèi)的概率是_.【實(shí)驗(yàn)探究】4隨機(jī)向圖4中撒一把小米，統(tǒng)計(jì)落在O內(nèi)的米粒數(shù)m，以及落在正方形ABCD內(nèi)的米粒數(shù)n，并計(jì)算比值mn;5你認(rèn)為mn和前面問題3的結(jié)果有怎樣的關(guān)系？相互交流自己的看法.你能利用這個(gè)關(guān)系估計(jì)出的值嗎？6相互交流如何能提高對于的估計(jì)精確度？設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生學(xué)習(xí)了用頻率估計(jì)概率的知識后，學(xué)生已經(jīng)明確知道，如果在一次試驗(yàn)過程中，用A表示事件“試驗(yàn)落在區(qū)域D中的一個(gè)小區(qū)域M中，那么事件A發(fā)生的概率為.為了讓學(xué)生真正理解