冪級數(shù)的應(yīng)用

1、冪級數(shù)的應(yīng)用將函數(shù)展開成幕級數(shù)，從形式上看，好像把問題復(fù)雜化了，但是由于幕級數(shù) 的前 n項部分和是 x 的多項式，而多項式是最簡單的函數(shù)之一，因此用幕級數(shù)代 替某個函數(shù)，實際上為函數(shù)的多項式逼近創(chuàng)造了條件。 正是由于這個原因，函數(shù) 的幕級數(shù)展開式有著應(yīng)泛的應(yīng)用。一、函數(shù)值的近似計算利用函數(shù)的幕級數(shù)展開式可以近似計算函數(shù)值，即在展開式的收斂敬意上, 函數(shù)值可以近似地利用這個級數(shù)按精確度要求計算出來.例1計算常數(shù) e,精確到小數(shù)第四位.比xn利用 ex- 心n!，令X =1，有e -1 1 丄丄 .nM!2!3!為達(dá)到這個精確度，可觀察余項11若取n =8，則r8-匚，故計算出7 7!10111e

2、 =1 12.7183.2!3!8!例2計算5245 精確到小數(shù)第四位.解因為由于這是一個交錯級數(shù)，故其誤差可利用| rn卜：Un 1確定取n =2，這時,n! (n 1)!(n 1)( n 2)1(n -1)(n -1)!12 弓35.蚯檸+2=351+訂31+“1 n!n n1 12In 2=211111 1 111 孑 1 孑 G 3 5_ / 12、務(wù)殛吧 3 1 + 漢飛 * 3.0049 .5 35.丿例3計算In 2的值，精確到小數(shù)第四位.解 如果利用 In(1 x)的展開式:1 1 1 In 2 =1 n(1 1) =1 -23 4理論上可計算In 2,但這是一種“內(nèi)耗”很大的

3、交錯級數(shù)，其誤差不超過第n 1項的值的.欲使|rn|n1104，n至少要取9999項，這太麻煩了，需要去掉帶負(fù)號的項，故尋找收斂速度較快的級數(shù)來代替.這時匕1171149 3778732 104故得出故得出減去其差是I n1 ( x)二 x22xI r1 ( x) - -x令號2，解出4x一十44x234l x In1 -x35=2 + +351代入上式，得其誤差ln2丄 1 丄_ L335 352n-1 32nJrn(x)=2l2n +132n4+2 n + 3 32n七十I 丿(2n +1)3(2n 1)32n 111232丿一4(2n 1)32n4二、定積分的近似計算利用幕級數(shù)不僅可以計

4、算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計算一些定積分的近似值，具體地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成幕級數(shù)，那么把這個幕級數(shù)逐項積分，用積分后的級數(shù)就可計算出定積分的近似值.解 由于|計匹/，因此所給積分不是廣義積分，如果定義輕在x = 0T XX處的值為1,那么它在積分區(qū)間0,1上連續(xù).由于沁的原函數(shù)不能用初等函數(shù)x表示，因此需要通過幕級數(shù)展開式來計算.24sin x _ x x1 -x35!再逐項積分解易見 e2的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此考慮用幕級數(shù)展開式計 算利用展開式例5計算；。sin xxdx 1L. J3 3!5 5!0.94611 x2edx，精確到小數(shù)第三位.sindx，精確

5、到小數(shù)第四位.x利用正弦函數(shù)的展開式sin xx3=X -3!5x+一5!-，兩邊同除以x，得到1 .sinx1 40帥一 j3 3!5 5!7 7!故有:- n n Z0n!，得e2Xn 2n2八(-1) xnn!21X21/246X,XXe2dx = J1+230 022!23!2)1 丄1丄-1232 32! 253! 27例41 01dx = dx - xo1n =0取前四項的和作為近似值，誤差為111故得出、2 二 4!2491031edx：.11 一丄丄2-o. 2 二.6 40-0.3412 .336以上例題說明，幕級數(shù)在函數(shù)值及定積分的近似計算中有著廣泛應(yīng)用.對于用幕級數(shù)近似計

6、算函數(shù)值，其思路和以前學(xué)過的用微分近似公式或泰勒公式近似 求值的思路相似.對于用幕級數(shù)近似計算定積分，特別是在某些被積函數(shù)的原函 數(shù)不能用初等函數(shù)表示時，便顯示出幕級數(shù)方法的優(yōu)越性.利用幕級數(shù)進(jìn)行近似計算的重要一步是根據(jù)精確度要求確定展開式的項數(shù)n .這可通過估計余項 rn的誤差得到：一種方法是將余項式子的各項放大，使之 成為幾何級數(shù)，從而利用幾何級數(shù)的和來確定 n 值（如例1，例3），另一種方法 是利用收斂的交錯級數(shù)的特點：|rn|：Un1，由此來確定 n 值（如例2,例4,例5）.二、歐拉公式最后應(yīng)用復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)的幕級數(shù)展開式,形成與推導(dǎo)過程.說明數(shù)學(xué)中重要的歐拉公式的在復(fù)變量的理論中

7、，我們定義指數(shù)函數(shù) ez（ z 為復(fù)變量）為21! 2!33!Jn!（|z|：:，即 z 屬于整個復(fù)平面）當(dāng)z =xi時，上式成為exi=1 +xi1!+（xi）2!23+（xi）3!（心n!-1,i3= -i,i41,i5=i,從而/246/357、xie =1 - x+xx+ i x - xX +2!4!6!丿k3!5!7!丿=cosx i sin x注意到 i2即有exi= cosx isin x .把上式 x 換成-x，又有-xie cosx 一ISInx .（1）111將(1)(2)兩式兩邊相加且同除以2,得xie cosx =將(1)(2)兩式兩邊相減且同除以2i，得xi_xie e sin x = 2i上述的一都稱為歐拉公式，它們建立了實三角函數(shù)和復(fù)指函數(shù)之間的聯(lián)系. 在中，取x ，可得$ 1=0(5)克萊茵(Klein,1849-1925,德國)認(rèn)為，這是數(shù)學(xué)中最漂亮的公式之一有人把(5)列為10個最優(yōu)美的數(shù)學(xué)定理之首，它把數(shù)學(xué)中最重要的5個數(shù)0,1,I，兀，e用一個等式聯(lián)系起來，顯示了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美，(5)顯示了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域之間很強的聯(lián)系且通過等式聯(lián)結(jié)起來，它可以從幾種得到解釋，如：0:正負(fù)數(shù)的分界；1:任一自然數(shù)與它的后繼數(shù)之差；I: