《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教 案課程名稱(chēng) 微積分初步 授課專(zhuān)業(yè)、班級(jí) 08工程造價(jià) 課程類(lèi)型 專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課 課程學(xué)時(shí)數(shù) 68 課程學(xué)分?jǐn)?shù) 4學(xué)分 教材版本_高等數(shù)學(xué)孫偉主編_考核方式 考勤、理論、平時(shí)成績(jī)、期末考試 授課教師 授課時(shí)間 08.0908.12.31 2008 2009 學(xué)年第 一 學(xué)期一 、課程單元、章節(jié) 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)二 、教學(xué)要求 1 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法。2 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5 會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。三、 重點(diǎn)和

2、難點(diǎn) 1 . 重點(diǎn)： 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 2 . 難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念。四、教學(xué)進(jìn)度：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法。1.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。2.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。3.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4.會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。五、課時(shí)數(shù) 4六、教學(xué)方式： 課堂講解，學(xué)生課堂課后練習(xí)七、作業(yè)：教材第9頁(yè) 1，3，4，7，10八、參考書(shū)籍：應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上， 翟向陽(yáng)主編， 上海交通大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)盛驟 等編 ，浙江大學(xué)出版社九、教學(xué)小結(jié)：本章的主要內(nèi)容在中學(xué)已講過(guò)，在教授時(shí)注意將以前所學(xué)的知識(shí)作系統(tǒng)的回顧

3、，并作適當(dāng)?shù)募由睿箤W(xué)生對(duì)初等函數(shù)形成比較完整的概念，為學(xué)習(xí)定積分奠定良好的基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)該章節(jié)的內(nèi)容反映較好。十、教學(xué)過(guò)程及內(nèi)容：§1.1 函數(shù)1 。1。1 函數(shù)的概念 定義設(shè)為點(diǎn)集，則映射：稱(chēng)為定義在上的函數(shù)，記為 ，其中：稱(chēng)為函數(shù)的定義域，稱(chēng)為自變量，稱(chēng)為因變量。稱(chēng)為函數(shù)的值域。函數(shù)常用，等表示，如，等。函數(shù)的定義域：使得表達(dá)式（算式）有意義的全體實(shí)數(shù)。如， ，集合稱(chēng)為函數(shù)的圖形。 函數(shù)的參數(shù)變形（復(fù)習(xí)）。 例： 例： 函數(shù)的圖像 函數(shù)圖像的描繪。（描點(diǎn)法，舉例介紹） 函數(shù)圖像的平移： 例： 平移一單位后，解析式是？ 函數(shù)的單調(diào)性 則f(x)單增。反之單減。從圖像上看，單增的圖像

4、在x 的正方向上往上。即 例：判斷的單調(diào)性。（單增） 以后判斷函數(shù)的單調(diào)性還有別的方法，例如利用復(fù)合函數(shù)地方法和導(dǎo)數(shù)地方法。 函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)： ，偶函數(shù)：奇函數(shù)和偶函數(shù)定義域?qū)ΨQ(chēng)。例：函數(shù)綜合復(fù)習(xí)題。 1. 1.2 初等函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1基本初等函數(shù)（要求能做出圖像，定義域。注意牢記。） 1）冪函數(shù)： ，定義域 以 為例2）指數(shù)函數(shù)： ，定義域 例如：3）對(duì)數(shù)函數(shù)： 定義域 4）三角函數(shù)：，5）反三角函數(shù)：，例題：1，做出函數(shù)的圖像。 2，做出函數(shù)的圖像。 3，求的定義域。 4，求的定義域。 注意分以及它的奇偶性討論。 2初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成并

5、可由一個(gè)式子表示的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)。如， 不是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。注意，要能區(qū)分初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。例：3復(fù)合函數(shù) 設(shè)定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，而且，則稱(chēng)為由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為（）為與可以復(fù)合的條件。如與不能復(fù)合。有時(shí)，與復(fù)合的定義域可能是的定義域的一部分，如與復(fù)合得的定義域?yàn)闉榈亩x域的一 部分。 單調(diào)性相同的函數(shù)復(fù)合成增函數(shù)，單調(diào)性不同的函數(shù)復(fù)合成減函數(shù)。 例1. 求下列函數(shù)的定義域 4 。分段函數(shù)：不同的區(qū)間段對(duì)應(yīng)不同的解析式，這時(shí)候往往用分段函數(shù)來(lái)表示。例如1.1.4 常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)函數(shù) 1 需求函數(shù) Qd=Qd(p) 一般是減函數(shù)。 2 供給函數(shù) Qs=Qs(p) 一般是增函數(shù)。 3

6、 成本函數(shù) C=C0+C1 C0是固定成本，一般為常數(shù)，C1是變動(dòng)成本，是產(chǎn)量的函數(shù)，即C1= C1(q)。4 收入函數(shù) R=pq=qp(q) q為產(chǎn)量,這里價(jià)格一般是產(chǎn)量的函數(shù)。5 利潤(rùn)函數(shù) L=R-C §1.2 函數(shù)的極限 1.2.1極限的概念 1 數(shù)列的極限 數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，若 稱(chēng)是的極限，記為 是一個(gè)有限的常數(shù)。 例：求下列數(shù)列的極限 ， ， 數(shù)列極限的基本性質(zhì) 數(shù)列若有極限，則極限唯一。 有極限的數(shù)列一定有界，有界的數(shù)列不一定有極限。無(wú)界的數(shù)列一定無(wú)極限。注：有界例如： ，.都有界但無(wú)極限。對(duì)第二條簡(jiǎn)要證明:只需考察當(dāng)時(shí)，是否是個(gè)有限數(shù)。由 容易得到。

7、2 函數(shù)的極限（1）自變量趨向于無(wú)窮時(shí)函數(shù)的極限例，且時(shí)， 時(shí)，. 定義：當(dāng)時(shí)，若 稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的極限。 記為 是一個(gè)有限的常數(shù)。例： 求極限 ， ， ， 思考 是否存在？(2) 自變量趨向于某一個(gè)有限值時(shí)函數(shù)的極限 定義3：當(dāng)時(shí)，若 稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的極限。 記為 是一個(gè)有限的常數(shù)例3：求 思考： 是否存在？(3)單側(cè)極限 思考？ 兩函數(shù) 從左邊趨近0和從右邊趨近于0時(shí)， 從左邊趨近0時(shí) 從右邊趨近于0時(shí) 當(dāng)是從左邊趨近時(shí)，記為 當(dāng)是從右邊趨近時(shí)，記為 定義3 若時(shí) 稱(chēng)是在時(shí)的左極限。記為 時(shí) 稱(chēng)是在時(shí)的右極限，記為左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)單側(cè)極限。 在存在極限左右極限存在且相等。即 例2：判斷下列函數(shù)在是否

8、有極限 1.2.2 極限的運(yùn)算法則 例4：求下列極限 一般地： 例5：練習(xí) ：， 例6：求極限 ：1.2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 無(wú)窮小量 1 定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，稱(chēng)函數(shù)f(x)為（或）時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小。 定理：若則。其中為時(shí)的無(wú)窮小. 例： 2 。無(wú)窮小性質(zhì) 性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小。 性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小。 例： 3 。無(wú)窮小的比較 定義 設(shè)，為無(wú)窮小如果 ，則說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記作；如果 ，則說(shuō)是比低階的無(wú)窮?。蝗绻?，則說(shuō)與是同階無(wú)窮小；如果 ，則說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作；如果 ，則說(shuō)是關(guān)于的階無(wú)窮小。 無(wú)窮小替換方法：

9、若，的極限存在，則的極限等于的極限。注意：替換時(shí)無(wú)窮小必須是因子。 常用的等價(jià)的無(wú)窮小量。 , , , 例3 ， 例4 因，故極限為零，解法是否正確？1.2.4 兩個(gè)重要極限 與 1 夾逼定理和極限 定理： 若在某鄰域內(nèi) 且 ，則存在，且。 證明： 所以 即 由于，得 或 由于為偶函數(shù)，故在內(nèi)，也有。由于當(dāng)時(shí) 由夾逼準(zhǔn)則，得 ，由夾逼準(zhǔn)則，得 一般地：例1: , , ,3 單調(diào)數(shù)列極限和若 稱(chēng)數(shù)列是單調(diào)增數(shù)列。稱(chēng)數(shù)列是單調(diào)減數(shù)列。 定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。 例2： 是單調(diào)增加數(shù)列。故 是存在的，令。 顯然 定理： 證明：對(duì)于任何，存在正整數(shù)使得，因此有 由于 得 一般地： 或者 例3： 思

10、考： §2.4 函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 1 函數(shù)連續(xù)性概念 （1）連續(xù)性定義連續(xù)性即是當(dāng)自變量作微小變動(dòng)時(shí)，函數(shù)值也相應(yīng)的做微小變動(dòng)，體現(xiàn)在函數(shù)圖象上就是沒(méi)有斷點(diǎn)。 定義.1：當(dāng)時(shí)，若稱(chēng)在連續(xù)。即. 顯然在連續(xù)的充要條件是 若 在定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，稱(chēng)是連續(xù)函數(shù)。 例1： 在任意區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 例.2：討論 ，和 在x=0的連續(xù)性。 2 。函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)在處不連續(xù)，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況： (1) 在處沒(méi)有定義；(2) 在處沒(méi)有極限； (3) ；例如在處沒(méi)有定義；當(dāng)時(shí)沒(méi)有極限。 當(dāng)時(shí)定義2. 如果是間斷點(diǎn)，當(dāng)在左右極限都存在時(shí)，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。 其余稱(chēng)為

11、第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 例3：判斷，的間斷點(diǎn)是什么類(lèi)型。 例4 ：指出的間斷點(diǎn)，及其類(lèi)型。3.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)在連續(xù) 例5： ，4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1: 最大最小值定理： 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上必有最大值和最小值。定理2：零點(diǎn)定理： 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則必有，使得。 例6： 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。定理3（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值，即，且，則對(duì)于介于與之間的任意一個(gè)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。證明：令，對(duì)應(yīng)用零點(diǎn)定理，得存在，使得即 或 一 、 課程單元、章節(jié) 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分二 、 教學(xué)要求1 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理

12、解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。3 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4 會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)計(jì)算函數(shù)的相關(guān)變化率。5 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。三 、重點(diǎn)和難點(diǎn) 1 .點(diǎn)：四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算和

13、一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。2.點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、教學(xué)進(jìn)度：1導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。3.高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4.分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)計(jì)算函數(shù)的相關(guān)變化率。5.隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定

14、的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。五、時(shí)數(shù) 10六、教學(xué)方式： 課堂講解七、作業(yè)：教材第48頁(yè) 1，2，5，11，14八、參考書(shū)籍：應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上， 翟向陽(yáng)主編， 上海交通大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)盛驟 等編 ，浙江大學(xué)出版社九、教學(xué)小結(jié)：本章主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分的定義，計(jì)算以及應(yīng)用。微分學(xué)有兩個(gè)基本概念：一個(gè)是導(dǎo)數(shù)，一個(gè)是微分，導(dǎo)數(shù)與微分有著密切的聯(lián)系，她們從不同的角度刻畫(huà)了兩個(gè)變量間的某種變化特征。十、教學(xué)過(guò)程 、內(nèi)容：§3.1 導(dǎo)數(shù)概念1引例 (1)直線運(yùn)動(dòng)的速度一物體作直線運(yùn)動(dòng)，位置與時(shí)間的關(guān)系為，確定物體在某時(shí)刻的速度。從時(shí)刻到時(shí)刻，物體從運(yùn)動(dòng)到，在該時(shí)間段內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速

15、度為 物體在時(shí)刻的速度定義為 (2)曲線的切線函數(shù)的圖形一般為一條曲線，確定曲線在點(diǎn)處的切線。在的鄰近取一點(diǎn)，則割線的斜率為當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向于，割線的極限位置稱(chēng)為曲線在點(diǎn)的切線。因此，切線的斜率為 2導(dǎo)數(shù)的定義 （1）導(dǎo)數(shù)的定義如果記，則相當(dāng)于，因此 定義3.1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量，相應(yīng)地函數(shù)取得增量，如果極限 存在，則說(shuō)函數(shù)在處可導(dǎo)，極限值稱(chēng)為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也可記為，或如果記，導(dǎo)數(shù)也可表示為 及 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則說(shuō)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，即對(duì)任何，有 為的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)為的導(dǎo)數(shù)），而且（2） 運(yùn)用定義求導(dǎo)數(shù)例1 求函數(shù)（為常數(shù)）的

16、導(dǎo)數(shù)。例2 求函數(shù)（）在處的導(dǎo)數(shù)。解： 由于 因此得 更一般地，有（為實(shí)數(shù)）例如 例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解： 計(jì)算得 3 。導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如果函數(shù)在可導(dǎo)，則在的導(dǎo)數(shù)值為曲線C：在點(diǎn)處的切線的斜率，即 因此，曲線C：在點(diǎn)處的切線的方程為過(guò)曲線C：的切點(diǎn)，與切線垂直的直線稱(chēng)為曲線在點(diǎn)處的法線。如果，曲線C：在點(diǎn)處的法線方程為 例4 求曲線在點(diǎn)處的切線和法線的方程。 例5 求，在任一點(diǎn)的切線和法線方程，并觀察函數(shù)在極值處的切線和法線 的特點(diǎn)。4、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理3.1 函數(shù)在可導(dǎo)，則函數(shù)一定在連續(xù)。證明：因?yàn)榇嬖?，?，=0，故注：定理的逆命題不真，例如，在處不可導(dǎo)； 單側(cè)導(dǎo)數(shù)如果極限存在

17、，則稱(chēng)為函數(shù)在處的右導(dǎo)數(shù)，記為。如果極限存在，則稱(chēng)為函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)，記為； 例6：求在x=0的左右導(dǎo)數(shù)。 例7：求在x=0的左右導(dǎo)數(shù)。顯然由極限存在的充要條件可得到：定理3.2：函數(shù)在處可導(dǎo)的充要條件是函數(shù)在的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。 例8：判斷函數(shù) 在x=0的可導(dǎo)性。練習(xí)：判斷在x=0的可導(dǎo)性。§3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 。 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1) , (2) ,(3) , (4) ,(5) , (6) , (7) , (8) ,(9), (10) (11), 2 。函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理3.3 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則(1) ；(2) ；(3) ()。證明：(2)

18、例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) ， (2)，(3) 3 。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對(duì)于復(fù)合函數(shù)，如 ，有求導(dǎo)法則，稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t。定理3.4 如果在點(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為 或 證明：可導(dǎo)，故時(shí)必有， 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) 4 。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一般地，方程可確定一個(gè)函數(shù)或，稱(chēng)為由方程確定的隱函數(shù)?，F(xiàn)在來(lái)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明。例3.2.3 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求。解：由于由方程確定，得 兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 解得 練習(xí)：設(shè)由方程確定，求解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 解得由于時(shí)，得 例4 求（）的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取對(duì)數(shù)，得 兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得解

19、得 一般情況，對(duì)于冪指函數(shù)：（）求導(dǎo)數(shù)的方法為：先取對(duì)數(shù)，得 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 解得 以上求導(dǎo)數(shù)方法稱(chēng)為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。5 。高階導(dǎo)數(shù) 對(duì)于路程函數(shù)，為速度，為加速度，為二階導(dǎo)數(shù)，記成。對(duì)于一般函數(shù)，稱(chēng)為的二階導(dǎo)數(shù)，記成， 或，記 類(lèi)似，可定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)乃至于階導(dǎo)數(shù)，即 稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù)，二階以及二階以上導(dǎo)數(shù)都稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)。例.5 設(shè)，求解：， 例6 ，求思考： 1 設(shè)，求2 設(shè)，求§3. 4 微分1微分的概念邊長(zhǎng)為的正方形的面積 ，如果邊長(zhǎng)從增加到時(shí)，面積的增量為 包含兩部分，和。相對(duì)比較比小得多，而且 這樣，當(dāng)很小時(shí)，而且。對(duì)于一般的函數(shù)，當(dāng)自變量從增加到時(shí)，函數(shù)增量定義： 設(shè)函數(shù)在

20、某區(qū)間內(nèi)有定義，及屬于。如果函數(shù)的增量可表為 其中為與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則說(shuō)函數(shù)在處是可微的，稱(chēng)為函數(shù)在處的微分，記為，即下面論述函數(shù)在處是可微的條件。定理3.9 在處是可微當(dāng)且僅當(dāng)它在可導(dǎo)。 證明：如果函數(shù)在處是可微，則 即因此 即函數(shù)在處是可導(dǎo)，而且。反之，如果函數(shù)在處是可導(dǎo)，即 因此得 為時(shí)的無(wú)窮小。即 綜上，函數(shù)在處是可微等價(jià)于函數(shù)在處是可微，而且。特別地，函數(shù)的微分為。因此，函數(shù)的微分為 例1 求函數(shù)在和的微分例2 求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的微分2微分的幾何意義設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量從增加到，相應(yīng)的函數(shù)增量為 如圖，函數(shù)在處的微分為曲線的切線當(dāng)從增加到時(shí)的增量，即 3 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般情況，平

21、面曲線的參數(shù)方程 例3 設(shè) ，求例4 求橢圓曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線方程。練習(xí)：計(jì)算擺線 的二階導(dǎo)數(shù)。 特別對(duì)一元函數(shù)有：常用的近似公式： 一 、程單元、章節(jié) 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二 、教學(xué)要求1 了解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理。2 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值與最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)圖形。4握用洛比達(dá)法則求未定式極限的方法。三、重點(diǎn)和難點(diǎn) 1 重點(diǎn)：洛比達(dá)法則求未定式極限，理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值與

22、最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。2 難點(diǎn)：會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)圖形四、教學(xué)進(jìn)度：按教學(xué)要求的過(guò)程五、課時(shí)數(shù) 6六、教學(xué)方式：課堂講解七、作業(yè)：教材第66頁(yè) 1，3，5，6八、參考書(shū)籍：應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上， 翟向陽(yáng)主編， 上海交通大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)盛驟 等編 ，浙江大學(xué)出版社九、教學(xué)小結(jié)：本章學(xué)習(xí)的三個(gè)中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。掌握函數(shù)單調(diào)性的判定是本章的重點(diǎn)。十、教學(xué)過(guò)程及內(nèi)容：§4.1中值定理1.羅爾定理費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的，有 （或）則。證明：不妨設(shè)時(shí)，。于是，對(duì)于，有 從而當(dāng)時(shí)

23、故 當(dāng)時(shí)，故 由于在處可導(dǎo)，故羅爾定理 如果函數(shù)滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微；(3) 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，則至少存在一點(diǎn)，使得。證明：由于在閉區(qū)間上連續(xù)，故在取得其最大值和最小值。分兩種情況：(1) 如果，則在上為常數(shù)，故。這樣，任取，都有。(2) 如果，則最大值與最小值至少有一個(gè)不等于在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。不妨設(shè)，因此至少存在一點(diǎn)，使得。因此，對(duì)于任何，都有 ，由費(fèi)馬引理。例4.1.1 在0,1上 是否滿足羅爾定理?xiàng)l件。例4.1.2 ，在取間上是否滿足 ？ 2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微，則至少存

24、在一點(diǎn)，使得 (1)或 證明：構(gòu)造輔助函數(shù) 在上滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點(diǎn)，使得。又由于故 即 公式(1)稱(chēng)為拉格朗日中值公式。關(guān)于拉格朗日中值公式，有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 如果，則，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例。(2) 當(dāng)時(shí)，公式(1)也成立。(3) 如果在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有，介于與之間或 （） (2)公式(2)稱(chēng)為有限增量公式。定理 如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)。證明：任取，由拉格朗日中值定理 由于，故。由于，的任意性，得在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)。例4.1.3 證明當(dāng)時(shí) 證明：令，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 由于 得 例4.1.4：證明:若,則3

25、、柯西中值定理（略）如果曲線由參數(shù)方程表示，即： 則但是，弦的斜率為因此，在點(diǎn)有注意，當(dāng)時(shí)，柯西中值定理便轉(zhuǎn)化為拉格朗日中值定理。§4.2 洛必達(dá)法則 4.2.1 羅必塔法則（）型 定理：若函數(shù)和滿足： （1） （2），在的某去心鄰域存在，且 則 證明：設(shè)，在的去心鄰域O存在，即,和在連續(xù)，在可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理得到：存在 使，故 讓?zhuān)@時(shí)，則 ， , 而 故，例4.2.1求下列極限 ， ，4.2.1 羅必塔法則（）型 定理：若函數(shù)和滿足： （1） （2），在的某去心鄰域存在，且 則 例4.2.2 求下列極限 ， ，§4.3函數(shù)的單調(diào)性4.3.1一元函數(shù)的單調(diào)性定理：在

26、上可導(dǎo)，則在單增， 在單減證明：取 ，由 可得結(jié)論。 例4.3.1 試證： 在單增。 例4.3.2 求的單調(diào)區(qū)間。思考：用單調(diào)性證明:若,則 證明：，時(shí) 時(shí)，§4.4 函數(shù)的極值與最大、最小值1函數(shù)的極值例 在點(diǎn)的左側(cè)鄰近，單調(diào)增加；在點(diǎn)的左側(cè)鄰近，單調(diào)減少，即存在的去心鄰域，時(shí)，使得。同理，對(duì)于點(diǎn)，存在的去心鄰域，時(shí)，使得。定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任何，有 （或）則稱(chēng)為的一個(gè)極大值（極小值）。極大值、極小值都稱(chēng)為函數(shù)的極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)在處，且在某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，（

27、1）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值；（2）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極小值；（3）若時(shí)，的符號(hào)保持不變，則在處沒(méi)有極值。如果某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，求在該區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)和極值的方法如下：（1）求出導(dǎo)數(shù)（2）求出的全體駐點(diǎn)與不可導(dǎo)的點(diǎn)；（3）考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)的左、右鄰近的符號(hào)，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（4）對(duì)于極值點(diǎn)，求出極值。例4.3.3 求函數(shù)的極值。解：；（）， 在內(nèi)，內(nèi)，。 故在達(dá)極大值。 定理3（第二充分條件）設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。證明：由于 由極限的保號(hào)性，存

28、在的鄰域，使得 即 即在的兩側(cè)改變符號(hào)，且由正變負(fù)，故在處取得極大值。例1求函數(shù)的極值。解：，令 ，得駐點(diǎn)為，。計(jì)算得 由于，故為極小值。因?yàn)?，故需用第一充分條件，得，都不是極值點(diǎn)。練習(xí)：求的極值。§4.5函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn) 以下考慮函數(shù)二階可導(dǎo)。 定理：在區(qū)間內(nèi)，若，則在上凹，若，則在 下凹。上凹和下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)，顯然若是拐點(diǎn)，則§4.6函數(shù)圖形的描繪漸近線： 定義：，稱(chēng)為垂直漸近線。稱(chēng)為水平漸近線。 例如：的垂直漸近線為，的垂直漸近線 的水平漸近線為 利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的特性（奇偶性，周期性），并求出，；（2）求

29、出和在定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)及的間斷點(diǎn)和、不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間；（3）確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，并由此確定函數(shù)圖形在這些區(qū)間的升降和凸凹，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（4）確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線及其他變化趨勢(shì)；（5）算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，定出函數(shù)圖形上相應(yīng)的點(diǎn)，有必要時(shí)在補(bǔ)充一些點(diǎn)，結(jié)合（3）和（4）的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形。例.1 畫(huà)出函數(shù)的圖形。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?， ；（2）的零點(diǎn)為和，的零點(diǎn)為，用，和把定義域分成，；（3）在內(nèi)，所以在上圖形是上升且凸的，在內(nèi)，所以在上圖形是下降且凸的，在內(nèi)，所以在上圖形是下降且凹的，在內(nèi)，

30、所以在上圖形是上升且凹的，列成表格為+00+0+圖形上升凸極大值下降凸拐點(diǎn)下降凹極小值上升凹（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故沒(méi)有漸近線；（5）算出 ，得到圖形上三個(gè)點(diǎn)為，再補(bǔ)充一些點(diǎn)為，結(jié)合（2），（3）畫(huà)出函數(shù)的圖形為4.4 函數(shù)的最值及其應(yīng)用最大值最小值問(wèn)題例1：求函數(shù)在的最大值和最小值。例2：做一個(gè)容積為V的有蓋的圓柱形桶，問(wèn)底半徑和高為多少時(shí)，用料最少？ （就是使表面積最少）BMA例3：如圖修一條公路，將工廠A的商品運(yùn)到M然后改用水運(yùn)最后送到B，已知水路運(yùn)費(fèi)為每噸6元, 公路為每噸10元，確定M的位置，使運(yùn)費(fèi)最少。 .一 、 課程單元、章節(jié) 第五章 不定積分二、 教學(xué)要求1 理解原函數(shù)的概念和不

31、定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部積分法。3 會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。4 會(huì)利用積分表計(jì)算不定積分。三、重點(diǎn)和難點(diǎn) 1 重點(diǎn)：原函數(shù)的概念和不定積分的概念，不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部積分法。2 難點(diǎn)：換元積分法與分部積分法。四、教學(xué)進(jìn)度：按教學(xué)要求的過(guò)程。五、課時(shí)數(shù) 8六 、教學(xué)方式： 課堂講解七、作業(yè)：教材第77頁(yè) 1，2，4，5 八、參考書(shū)籍：應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上， 翟向陽(yáng)主編， 上海交通大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)盛驟 等編 ，浙江大學(xué)出版社九、教學(xué)小結(jié)：理解不定積分的概念，熟練記憶積分基本

32、公式，掌握各種積分法的適用范圍。對(duì)于積分方法盡量選擇簡(jiǎn)單的方法。但是在積分方法的選擇上學(xué)生較吃力。十、教學(xué)過(guò)程及內(nèi)容：§5.1 不定積分的概念1 原函數(shù)與不定積分 定義1 如果對(duì)任一，都有 或 則稱(chēng)為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：，即是的原函數(shù)。 ，即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)，使得對(duì)任一，有。注1：如果有一個(gè)原函數(shù)，則就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù)，則，即也為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。注2：如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則與之差為常數(shù)，即 （C為常數(shù)）注3：如果為在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則（為任意

33、常數(shù)）可表達(dá)的任意一個(gè)原函數(shù)。定義2 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。如果為的一個(gè)原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)）例1 .因?yàn)?， 得 例2. 因?yàn)?，時(shí)，；時(shí)，得 ，因此有顯然由原函數(shù)與不定積分的概念可得：1)2)3)4)5)§5.2不定積分的基本積分公式及性質(zhì)1.不定的基本積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例35.3.4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2，（為常數(shù)，）例5.3.4 求例5.3.5 求解： 例1. 求解：例2求解：例3求解：例4 求解：§5.3積分法1 第一類(lèi)換元

34、法 設(shè)為的原函數(shù)，即 或 如果 ，且可微，則 即為的原函數(shù)，或 因此有定理 設(shè)為的原函數(shù)，可微，則 (2-1)公式(2-1)稱(chēng)為第一類(lèi)換元積分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式= 類(lèi)似可得 例4 求 ， 解：例5 求 解： 例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解： 例9 求 解 由于因此得 例10 求 解： 例11 求 解 由于因此例12 求 解 2第二類(lèi)換元積分法定理 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè) 具有原函數(shù)，則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱(chēng)為第二類(lèi)換元積分公式。例13 求 ， 解：令 ，則 ，因此有 例14 求 ，解：令 ，則 ，因此有 其中。例15

35、求 解 當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，則因此又由于，得其中。當(dāng)時(shí)，令，則，因此其中 。綜合得 例16 求 解： 3分部積分法設(shè) ，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱(chēng)為不定積分的分部積分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時(shí)，取冪函數(shù)為，其余部分取為。例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時(shí)，取對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，其余部分取為。 例5 求 解： 因此

36、得 即 例6 求 解： 令 ，則 ，因此 例7 求 解： 移項(xiàng)，得即例8 求，其中為正整數(shù)。解 用分部積分法，當(dāng)時(shí)，有 即注意到遞推可得。.一 、課程單元、章節(jié) 第六章 定積分二 、教學(xué)要求1 理解定積分的概念。2 理解變上限定積分定義的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握變上限定積分求導(dǎo)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。3 掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。三、重點(diǎn)和難點(diǎn)1 重點(diǎn)：定積分的概念，牛頓-萊布尼茨公式，求平面圖形的面積2 難點(diǎn)：換元積分法與分部積分法。四、教學(xué)進(jìn)度：按教學(xué)要求的過(guò)程五 、課時(shí)數(shù) 12六 、學(xué)方式： 課堂講解七、作業(yè)：教材第88頁(yè) 3八、參考書(shū)籍：應(yīng)用高等數(shù)學(xué)

37、上， 翟向陽(yáng)主編， 上海交通大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)盛驟 等編 ，浙江大學(xué)出版社九、教學(xué)小結(jié)：定積分概念的理解，對(duì)于我們解決一些問(wèn)題是十分有幫助的。它的思想方法在很多領(lǐng)域是值得借鑒的。所以學(xué)生應(yīng)多讀幾遍。其中牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分和不定積分之間的關(guān)系。學(xué)生學(xué)起來(lái)比較吃力，還是能做基本練習(xí)。十、教學(xué)過(guò)程及內(nèi)容：§6.1定積分的概念1、定積分問(wèn)題舉例：1、 曲邊梯形面積設(shè)在 上非負(fù)，連續(xù)，由直線，及曲線所圍成的圖形，稱(chēng)為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積。在區(qū)間中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把分成個(gè)小區(qū)間， ,它們的長(zhǎng)度依次為 經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線段，把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形，在每個(gè)小區(qū)間上

38、任取一點(diǎn)，以為底，為高的窄邊矩形近似替代第個(gè)窄邊梯形（），把這樣得到的個(gè)窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值，即 =設(shè)時(shí)，可得曲邊梯形的面積2、 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程在內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把分成個(gè)小段， 各小段時(shí)間長(zhǎng)依次為相應(yīng)各段的路程為在上任取一個(gè)時(shí)刻，以時(shí)的速度來(lái)代替上各個(gè)時(shí)刻的速度，則得 進(jìn)一步得到 =設(shè)時(shí)，得6.1.2、定積分的定義由上述兩例可見(jiàn)，雖然所計(jì)算的量不同，但它們都決定于一個(gè)函數(shù)及其自變量的變化區(qū)間，其次它們的計(jì)算方法與步驟都相同，即歸納為一種和式極限，即面積，路程.將這種方法加以精確

39、敘述得到定積分的定義定義 設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) 把區(qū)間a,b分成個(gè)小區(qū)間 各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為.在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)),對(duì)應(yīng)函數(shù)值為作小區(qū)間長(zhǎng)度與的乘積并作出和 .記,如果不論對(duì)怎樣分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法,只要當(dāng)時(shí)，和式S總趨于確定的極限,這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分), 記作,即 =,其中叫做被積函數(shù), 叫做被積表達(dá)式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限, 叫做積分區(qū)間.注意：積分與積分變量無(wú)關(guān)，即： 函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：定理1 設(shè)在上連續(xù)，則在上可積。定理2 設(shè)在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。 幾何意義：表示各個(gè)曲邊

40、梯形正負(fù)面積的和。 例1：若是奇函數(shù)， 0 §6.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即證明： = =性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即 (是常數(shù))性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)區(qū)間上定積分之和，即設(shè) ，則注意：我們規(guī)定無(wú)論的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立。性質(zhì)4 如果在區(qū)間 上，則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上， 證明：因故，又因，故設(shè)，時(shí)，得 。推論1 如果在上，則 推論2 性質(zhì)6 設(shè)與分別是函數(shù)在上的最大值及最小值，則 §6.3定積分基本公式及積分法1 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)在上連續(xù)，并且設(shè)為

41、上任一點(diǎn)，設(shè) 函數(shù)具有如下性質(zhì)：定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 = （）證明：(1) 時(shí)， = =在之間時(shí)，有 (2) 其單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可得 ，由定理1可得下面結(jié)論定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù) 是的一個(gè)原函數(shù)。積分上限函數(shù)的幾何意義如圖所示2、牛頓萊布尼茨公式定理 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函，則證明：因與均是原函數(shù)，故 = （）令，得=即 =或 令，得 (1)為方便，可記作公式(1)稱(chēng)為牛頓萊布尼茨（NewtonLeibniz ）公式，或微積分基本公式。例.1 例.2 計(jì)算 解：=例3 解：例.4 計(jì)算 在上與軸所圍成平面圖形的面積。解：&

42、#167;6.4定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積 由曲線 及直線 與 ( ) 與 軸所圍成的曲邊梯形面積。 其中：為面積元素。由曲線 與 及直線 ，( )且所圍成的圖形面積。 其中： 為面積元素。例1 計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫(huà)所圍的圖形簡(jiǎn)圖解方程 , 得交點(diǎn)： 和 。例2 求橢圓所圍成的面積 。解：據(jù)橢圓圖形的對(duì)稱(chēng)性，整個(gè)橢圓面積應(yīng)為位于第一象限內(nèi)面積的4倍。取為積分變量，則 ， 故 ( * )作變量替換 則 ， ( * * )2 旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸。計(jì)算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積。取為積分變量，則，對(duì)于區(qū)間上的任一區(qū)間，它所對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體體積。即：體積元素為所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為例1 求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而生