第7章 剛體力學(xué)復(fù)習(xí)

1、1 ( Mechanics of Rigid Body ) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)）剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)） 剛體剛體是一個(gè)理想的力學(xué)模型，它是指各部分的相對(duì)是一個(gè)理想的力學(xué)模型，它是指各部分的相對(duì)位置在運(yùn)動(dòng)中（無(wú)論有無(wú)外力作用）均保持不變的位置在運(yùn)動(dòng)中（無(wú)論有無(wú)外力作用）均保持不變的物體。物體。2一一.剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)-研究剛體按怎樣的規(guī)律研究剛體按怎樣的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)? 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可類比于質(zhì)點(diǎn)的直剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可類比于

2、質(zhì)點(diǎn)的直線線 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 角位置-位置x 角速度 -速度 角加速度 -加速度ddtdxvdtddtdvadt3二二. 剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)-研究剛體為什么會(huì)這樣研究剛體為什么會(huì)這樣轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)? 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可類比于質(zhì)點(diǎn)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可類比于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I-質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m 角動(dòng)量角動(dòng)量 -動(dòng)量動(dòng)量 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 -動(dòng)量定理動(dòng)量定理 轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理 -牛頓第二定律牛頓第二定律 相同的定理相同的定理-質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 L I,PmvdLMdtdPFdtM IFma4三三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系-轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理類比于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理動(dòng)能定理

3、類比于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理2122211122MdII22211122CBF drmvmv5 四四.剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的處理剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的處理方法方法: 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理+繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 五五.剛體的平衡條件要掌握剛體的平衡條件要掌握61. 剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式 剛體剛體由無(wú)數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)由無(wú)數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)量元質(zhì)量元。每個(gè)。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。質(zhì)點(diǎn)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律?；A(chǔ)基礎(chǔ)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。任何復(fù)雜的運(yùn)。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)為兩

4、者的疊加。動(dòng)為兩者的疊加。7剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。cv* *. .剛體的平動(dòng)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。剛體的平動(dòng)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。8（a）2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述oXY如圖如圖(a)所示，所示，O-XYZ坐標(biāo)系的坐標(biāo)系的Z軸與轉(zhuǎn)軸重合。剛軸與轉(zhuǎn)軸重合。剛體上坐標(biāo)體上坐標(biāo)（X,Y）相同但相同但 Z 坐標(biāo)不同的質(zhì)元，具有坐標(biāo)不同的質(zhì)元，具有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。用相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。用O-XY坐標(biāo)平面自剛體截出一平坐標(biāo)平面自剛體截出一平面圖形如圖面圖形如圖(b) 所示。所示。oXY（b）9oXYAAr在平面圖上除在平面圖上除O點(diǎn)外任選一點(diǎn)點(diǎn)外任選一點(diǎn)A，則圖形的

5、位置可由，則圖形的位置可由A的的位置唯一確定。位置唯一確定。A點(diǎn)的位置矢量為點(diǎn)的位置矢量為 ， 由于矢經(jīng)的大小由于矢經(jīng)的大小不變，故其位置可由自不變，故其位置可由自O(shè)X軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至OA的角的角 說(shuō)明。說(shuō)明。r剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角坐標(biāo)（規(guī)定：逆時(shí)針為正）。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角坐標(biāo)（規(guī)定：逆時(shí)針為正）。故：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：故：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：( ) t在在 時(shí)間內(nèi)剛體發(fā)生角位移時(shí)間內(nèi)剛體發(fā)生角位移 t則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：0limddttt 10則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：0limddttt 與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)相似，已知初始條件，由角

6、速度、角加速與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)相似，已知初始條件，由角速度、角加速度通過(guò)積分可以求出剛體的運(yùn)動(dòng)方程。度通過(guò)積分可以求出剛體的運(yùn)動(dòng)方程。( ) t角加速度角加速度 為常量的轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：為常量的轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：2012tt0t 2202,角量角量,r v a 線量線量vrar113. 角速度的矢量性、角速度的矢量性、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特征：, , ,不同；相同。r v a s POX)1( ：角角坐坐標(biāo)標(biāo)角角位位置置dtd角速度：)2(rvvXOPrdtd大小：方向：右手螺旋法則。11sradSI秒：弧度單位12dtd角加速度：) 3 (dtd大?。?反方向。與為減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)同方向；與為加速運(yùn)動(dòng)

7、，當(dāng)方向：, 02, 01dd22rrvaran)(22sradSI秒：弧度單位剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)說(shuō)明：有限大小的角位移并不是矢量，只有無(wú)限小說(shuō)明：有限大小的角位移并不是矢量，只有無(wú)限小 的角位移、角速度才是矢量。的角位移、角速度才是矢量。134. 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平行剛體的平面運(yùn)動(dòng)。平面平行剛體的平面運(yùn)動(dòng)。利用與固定平面平行的平面在剛體體內(nèi)截出一平面圖利用與固定平面平行的平面在剛體體內(nèi)截出一平面圖形，此平面圖形位置確定，則剛體的位置即可確定。形，此平面圖形位置確定，則剛體的位置即

8、可確定。14xyO y xBBr rA在圖形所在的平面內(nèi)建立在圖形所在的平面內(nèi)建立Oxyz坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，z軸與圖形平軸與圖形平面垂直，如圖所示。在剛體上任選一點(diǎn)面垂直，如圖所示。在剛體上任選一點(diǎn)B基點(diǎn)基點(diǎn)，位置矢量為：位置矢量為： ，僅有，僅有B點(diǎn)還不點(diǎn)還不能完全確定剛體位置，能完全確定剛體位置，why？Br以基點(diǎn)以基點(diǎn)B為原點(diǎn)，建立如圖所為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系示的坐標(biāo)系 。 Bx yA為剛體上任一點(diǎn)，其為剛體上任一點(diǎn)，其位置矢量位置矢量 與與 軸的夾角為軸的夾角為 ，如何，如何確定剛體的位置呢？確定剛體的位置呢？ rBx15剛體平面運(yùn)動(dòng)可表示為：剛體平面運(yùn)動(dòng)可表示為：剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng)

9、剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng)剛剛體繞過(guò)基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)體繞過(guò)基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng)剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng):( )( )( )BBBBrr tx t iy t j繞過(guò)基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞過(guò)基點(diǎn)且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)( ) t說(shuō)明：在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，基點(diǎn)的選擇完全是任意的說(shuō)明：在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，基點(diǎn)的選擇完全是任意的16xyO y xBBrrA如圖所示，如圖所示，A點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)相對(duì) 坐標(biāo)系的位置矢量為：坐標(biāo)系的位置矢量為：o xyBrrr兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得：兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得：ddddddBrrrvtttBvvvBvvr如何計(jì)算剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)如何計(jì)算

10、剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)A運(yùn)動(dòng)的速度運(yùn)動(dòng)的速度 ？v17cvP利用利用 討論車輪無(wú)滑滾動(dòng)的條件。討論車輪無(wú)滑滾動(dòng)的條件。Bvvr圓柱體滾動(dòng)時(shí)，圓柱體邊緣上各點(diǎn)與支撐面接觸的圓柱體滾動(dòng)時(shí)，圓柱體邊緣上各點(diǎn)與支撐面接觸的瞬時(shí)，與支撐面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)瞬時(shí)，與支撐面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)無(wú)滑滾動(dòng)。無(wú)滑滾動(dòng)。無(wú)滑滾動(dòng)的特點(diǎn)無(wú)滑滾動(dòng)的特點(diǎn)：圓柱體邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相：圓柱體邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對(duì)于支撐面的瞬時(shí)速度為零。對(duì)于支撐面的瞬時(shí)速度為零。18則輪胎邊緣上任一點(diǎn)的速度為：則輪胎邊緣上任一點(diǎn)的速度為：cvvrPcvr 選擇車軸上一點(diǎn)選擇車軸上一點(diǎn)C為基點(diǎn)，平動(dòng)速度為為基點(diǎn)，平動(dòng)速度為 ，車輪，車輪半徑為半徑為 r ，

11、繞過(guò)，繞過(guò)C點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，cv車輪無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，對(duì)于瞬時(shí)接觸地車輪無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，對(duì)于瞬時(shí)接觸地面的面的P點(diǎn)，其瞬時(shí)速度為零。即：點(diǎn)，其瞬時(shí)速度為零。即：0cvr在如圖所示的坐標(biāo)系水平方向上的分量為：在如圖所示的坐標(biāo)系水平方向上的分量為：yxcxzvr上式即為圓柱體做無(wú)滑滾動(dòng)的條件。上式即為圓柱體做無(wú)滑滾動(dòng)的條件。19cvP擺線、圓滾線擺線、圓滾線圓柱體做無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，邊緣上一點(diǎn)在空間畫(huà)出的軌圓柱體做無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，邊緣上一點(diǎn)在空間畫(huà)出的軌跡如圖所示。跡如圖所示。20質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：pm v1niiiPm v一、剛體的質(zhì)心一、剛體的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)

12、系的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：iicim xxmiicim yymiicim zzmiicim rrm21則剛體的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：則剛體的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：ddVcVx mxmddVcVy mymddVcVz mzm式中：ddV= dSm例例1:求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒的質(zhì)心。的均勻細(xì)棒的質(zhì)心。(棒的質(zhì)量為棒的質(zhì)量為m)xydxxdmL解：選取質(zhì)量微元解：選取質(zhì)量微元dm，則，則 ddVcVx mxm2202LcMxdxLLxM即即:質(zhì)心位于棒中點(diǎn)處質(zhì)心位于棒中點(diǎn)處例例2:求半徑為求半徑為a的均勻半球體的質(zhì)心。的均勻半球體的質(zhì)心。r解：由對(duì)稱分析可知：解：由對(duì)稱分析可知：0ccxy

13、ddddVVcVVz mzVzmV23將半球分割成一個(gè)個(gè)半徑將半球分割成一個(gè)個(gè)半徑 r 的小圓盤，則：的小圓盤，則：232( cos )sincos2ddz= (asin )ddVraa032/23cossincos1 42338dddVcVz VaazaVa 如果剛體由幾個(gè)部分組成如果剛體由幾個(gè)部分組成,則剛體的質(zhì)心如何計(jì)算？則剛體的質(zhì)心如何計(jì)算？24如果剛體由幾個(gè)部分組成如果剛體由幾個(gè)部分組成,則剛體的質(zhì)心與組建剛體的則剛體的質(zhì)心與組建剛體的各部分的質(zhì)心關(guān)系仍可采用前面講過(guò)的質(zhì)心坐標(biāo)公式，各部分的質(zhì)心關(guān)系仍可采用前面講過(guò)的質(zhì)心坐標(biāo)公式，僅需做如下的變換僅需做如下的變換: im表示剛體各部分

14、的質(zhì)量表示剛體各部分的質(zhì)量,iiix y z,icicicxyz( 剛體各部分的質(zhì)心坐標(biāo)剛體各部分的質(zhì)心坐標(biāo) )iicCim xxmiicCim yymiicCim zzm25例例3: 在半徑為在半徑為R的均勻等厚大圓板一側(cè)挖去半徑為的均勻等厚大圓板一側(cè)挖去半徑為 R/2的小圓板，大小圓板相切，如圖所示。的小圓板，大小圓板相切，如圖所示。求：剩余部分的質(zhì)心。求：剩余部分的質(zhì)心。xyo解：建立如圖所示的坐標(biāo)系?？紤]解：建立如圖所示的坐標(biāo)系。考慮 對(duì)稱性可知：對(duì)稱性可知：0Cx 圓板單位面積的質(zhì)量；圓板單位面積的質(zhì)量；大圓板質(zhì)量：大圓板質(zhì)量：2MR大圓板質(zhì)心坐標(biāo)：大圓板質(zhì)心坐標(biāo)：0cx 26小圓板

15、質(zhì)心坐標(biāo)：小圓板質(zhì)心坐標(biāo)：小圓板質(zhì)量：小圓板質(zhì)量：214Rm 12cRx剩余部分質(zhì)量：剩余部分質(zhì)量：2234Rm 則剩余部分質(zhì)的質(zhì)心坐標(biāo)則剩余部分質(zhì)的質(zhì)心坐標(biāo) 由下式確定：由下式確定：2cx222234240cRRRxR26cRx xyo27二、剛體的動(dòng)量與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、剛體的動(dòng)量與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體可視為由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則剛體的動(dòng)量應(yīng)等剛體可視為由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則剛體的動(dòng)量應(yīng)等于所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。即：于所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。即：i iPmviiiicim rm rrmm由質(zhì)心的定義式：由質(zhì)心的定義式：ddddtdtdtciiiirrmm rmci iPmvmv-剛體的動(dòng)量剛體的動(dòng)

16、量可得：可得：28dddddtdtcccmvvPmmat剛體動(dòng)量表達(dá)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得：剛體動(dòng)量表達(dá)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得：iF即：剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表示為作用在剛體上所即：剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表示為作用在剛體上所有外力的矢量和等于剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)加速有外力的矢量和等于剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)加速度的乘積。度的乘積。icFma剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理若剛體所受合外力為零，則動(dòng)量守恒。若剛體所受合外力為零，則動(dòng)量守恒。29解解: 質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸,則質(zhì)心繞轉(zhuǎn)軸作半則質(zhì)心繞轉(zhuǎn)軸作半徑為徑為d的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng), 其向心加速度為：其向心加速度為：例例4：園盤形勻質(zhì)飛輪：園盤形

17、勻質(zhì)飛輪m5kg，半徑，半徑r0.15m，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速 為為n400轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分，飛輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪質(zhì)心距，飛輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪質(zhì)心距 離轉(zhuǎn)軸離轉(zhuǎn)軸d0.001m。（忽略飛輪自身的質(zhì)量）。（忽略飛輪自身的質(zhì)量）rd222400 3.14/300.001( / )cadm s求求: 軸處所受作用力軸處所受作用力30方向方向:由質(zhì)心指向轉(zhuǎn)軸由質(zhì)心指向轉(zhuǎn)軸。由于轉(zhuǎn)動(dòng)體質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸。由于轉(zhuǎn)動(dòng)體質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸,則則軸承和支座受到時(shí)上時(shí)下時(shí)左時(shí)右的周期力的作用軸承和支座受到時(shí)上時(shí)下時(shí)左時(shí)右的周期力的作用,使機(jī)座產(chǎn)生有害震動(dòng)。使機(jī)座產(chǎn)生有害震動(dòng)。由于當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由于當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),不考慮重力的影響不考慮重力的影響

18、,故軸承處受故軸承處受到的作用力大小為：到的作用力大小為：2227( )FmdN31一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量1m2mo1r2r1L2LL如圖所示，由如圖所示，由m1、m2以及細(xì)繩以及細(xì)繩組成的剛體，繞軸以組成的剛體，繞軸以 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)O點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，則m1和和m2對(duì)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量分別為：點(diǎn)的角動(dòng)量分別為：111 1Lrmv2222Lrm v則剛體對(duì)則剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：點(diǎn)的角動(dòng)量為：12LLL剛體對(duì)剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量 與角速度與角速度 方向不相同。方向不相同。L32說(shuō)說(shuō) 明：明：v 動(dòng)量總是沿速度方向，但剛體繞定軸轉(zhuǎn)

19、動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量總是沿速度方向，但剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角 動(dòng)量不一定沿角速度方向；動(dòng)量不一定沿角速度方向；v 當(dāng)質(zhì)量分布與幾何形狀有共同的對(duì)稱軸，且剛體當(dāng)質(zhì)量分布與幾何形狀有共同的對(duì)稱軸，且剛體 繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量與角速度方向相同；繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量與角速度方向相同；222121 12 22zzzzzzLLLmrm rmr21()nzi iziLmr剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為：33二、剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由剛體對(duì)軸的角動(dòng)量的表達(dá)式：由剛體對(duì)軸的角動(dòng)量的表達(dá)式：21()nzi iziLm r可知，令可知，令21nziiiIm r轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣

20、量則剛體對(duì)軸的角動(dòng)量表示為：則剛體對(duì)軸的角動(dòng)量表示為：zzzLI剛體：剛體：質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：角動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)量、動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量、質(zhì)量、角速度角速度速度速度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 是用于描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是用于描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：2dzLIrm34平行軸定理和正交定理平行軸定理和正交定理22222zi iiiiiiiixyImrm xymxm yIIXYZimixiyirO平行軸定理平行軸定理:2cIImdcdm正交軸定理正交軸定理:zxyIII35 例一例一 求一質(zhì)量為 m，長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）軸通

21、過(guò)棒的中心并與棒垂直。（2）軸通過(guò)棒的一端并與棒垂直。 解解：（1）在棒上取質(zhì)量元，長(zhǎng)為 dx，離軸 O 為 x，棒的線密度為XlOxdxlm222mdIx dm xdlxdxl整個(gè)棒對(duì)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2222112llmIdIx dxmll則 dm 對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為36XldxOx（2）22013lmIx dxmll或利用平行軸定理2cIImd同樣得222111223lImlmml37 例二例二 求質(zhì)量為 m，半徑為 R 的細(xì)圓環(huán)和均勻薄圓盤分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解解：（1）在圓環(huán)上取一質(zhì)量元為dlRmdldm2該質(zhì)量元對(duì)軸O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為222mdIR

22、dmRdlR整個(gè)細(xì)圓環(huán)對(duì)軸O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22202RmIdIRdlmRRdlOR38ORrdr（2）在 r 處取一寬為 dr 的圓環(huán)，質(zhì)量為rdrRmdSdm22于是有2dIr dm整個(gè)薄圓盤對(duì)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22220122RmIr dmrrdrmRr中間挖空后如何？中間挖空后如何？39 例三例三 密度為的均勻矩形板，求通過(guò)與板面垂直的 幾何中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。其中 a 為矩形板 的長(zhǎng)，b 為它的寬。2212baabdmxyabOdxdydSdm2222dIxydmxydxdy它對(duì)過(guò)O且垂直于矩形板的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 解一：解一：在矩形板上任取面元 dS，其質(zhì)量為40整個(gè)矩形板對(duì)該軸

23、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)矩形板對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為222222233222221312abababbaIdIxydxdyx y xyab ab 41223322211312aaayaIbx dxbxa b同理得：由垂直軸定理：22112xyIIIab ab223222313112bbbxbIay dyayab解二：解二：如圖：如圖：xyabOydy42影響I的因素：（一）（一）I與與M對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)；對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)；（二）（二）I與剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)量M有關(guān)；有關(guān)；（三）（三）I與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：點(diǎn)線線面面體體dVdSdldm43二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二

24、、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理和和轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律（1 1） 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)Z軸的角動(dòng)量定理，可得剛體軸的角動(dòng)量定理，可得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：zdd(I)izMt00ztztd (I) (I)tiztMt44二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理和和轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律（1 1） 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：00ztztd(I)(I)tiztMt即：作用于剛體上合外力矩的沖量等于剛即：作用于剛體上合外力矩的沖量等于剛體對(duì)該軸角動(dòng)量的增量體對(duì)該軸角動(dòng)量的增量角動(dòng)量

25、定理角動(dòng)量定理。45剛體為什么會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)？剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的規(guī)律是什么？212kEI212,與比較，知I相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)或剛體平動(dòng) 的質(zhì)量是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。反映轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。kEmvm46力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩大小力矩大小為sinFrFdMz 力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力 F 的大小和 F 與軸之間的垂直距離 d 的乘積。SOFPdrZ內(nèi)在平面力SF47，所以有能改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)只有FFrMz一般情況一般情況FFF平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸48。牛頓：米單位NmSI代數(shù)和zM；方向，剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，沿；方向，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)沿用代數(shù)表示為矢量。對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ZOMOZMMz

26、zz0, 0:49確確定定的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸。對(duì)對(duì)某某一一必必須須指指明明外外力力 FMz相同。相同，產(chǎn)生的效果完全可以不同，只要和是一完整的物理量，MFrM50地位相當(dāng)。相比較與牛頓第二定律,amF 瞬時(shí)性。同一時(shí)刻對(duì)同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言?？捎么鷶?shù)表示。的方向均在轉(zhuǎn)軸方位，和在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，zM 剛體所受的對(duì)于某定軸的合外力矩等于剛體對(duì)此定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。zMI511221,一輕繩跨過(guò)一質(zhì)量為 的定滑輪（視為半徑為 的薄圓盤），繩兩端掛質(zhì)量為和兩物體，且滑輪軸間摩擦阻力矩為，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求物體的加速度和繩中例1:的張力。fmrmmmmM根據(jù)牛頓定

27、律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程： 解：解：隔離物體，受力分析， 作示力圖。1m2mr52 3212121222221111mrMrTrTamTgmmamgmTmf對(duì)滑輪對(duì)對(duì)2211,TTTT 4ra繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)2m2Tgm2a1m1Tgm1a1T2TfMOr53聯(lián)立（1）（4）式可解得22112mmmrMgmmaf2212212111mmmrMgmmmagmTf2212211222mmmrMgmmmagmTf54gmmmmagmmmmTTMmf21122121212時(shí)，有和摩擦阻力矩當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量55例例4： 一長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，

28、其下端與一固定絞鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開(kāi)始繞絞鏈 O 轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時(shí)的角加速度和角速度。所示。如圖的作用鏈對(duì)細(xì)桿的約束力，絞解：細(xì)桿受重力,NgmP的力矩分別為它們對(duì)轉(zhuǎn)軸絞鏈 Osin21mglMgm0NMOl2lNgm56由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 Isinmgl21213Im l于是得sin23lg由角加速度定義sin23lgdtd進(jìn)行變換sin23lgdddtddddtd細(xì)桿繞軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為57移項(xiàng)得dlgdsin23得時(shí)，, 0, 0000t00sin23dlgd積分后化簡(jiǎn)得角速度為c

29、os13lg對(duì)上式積分，并利用初始條件580: 一質(zhì)量 的勻質(zhì)矩形薄板繞其豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力，阻力垂直于板面，每一小面積上所受阻力的大小正比于該面積和速度平方的乘積，比例常數(shù)為 。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間角速度減為原來(lái)的一半？已知薄板的豎直邊長(zhǎng)為 ，水平邊例為 。5長(zhǎng)mkbadskvdf2ab59 解：解：建立如圖坐標(biāo)系，在距原點(diǎn) x 處取寬為 dx 的細(xì)薄板，根據(jù)題意，其受空氣的阻力為 bdxxkdskvdf22其對(duì)其對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為dxxkbxdfdMf32整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為bakdxxkbdMMaff4203241Oxya

30、bdxx60細(xì)薄板對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為222mdIx dmxdsxbdxab整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22013amIdIx dxmaa由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律fdMIdt即即2243141dmabdtka61始條件兩邊積分，并考慮到初得2202003141dmdtbkat所以得0234bkamt 0, 0t621212,: 質(zhì)量為和的兩物體分別懸掛在組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為 和 兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 和輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦均略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速例6度和繩的張力。mmRrII和組合輪的受力圖。解：用隔離體法分別作21,mmrR1m2m63根據(jù)

31、牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律 111111amTgmm對(duì) 222222amgmTm對(duì) 12123對(duì)組合輪 TR TrII2211,TTTTgm11T2Tgm21T2T64 111111amTgmm對(duì) 222222amgmTm對(duì) 12123對(duì)組合輪 TR T rII繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng) 421raRa65聯(lián)立（聯(lián)立（1）（4）式可解得式可解得12221212m Rm rgIIm Rm r121221212m Rm raRgIIm Rm r122221212m Rm rargIIm Rm r2122211221212IIm rm rRTmgIImRm r2121122221212IImR

32、mrRTm gIImRmr66例例7：兩個(gè)均質(zhì)園盤質(zhì)量分別為：兩個(gè)均質(zhì)園盤質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為，半徑分別為 R1、R2，在同一平面內(nèi)用軟皮帶相連，在，在同一平面內(nèi)用軟皮帶相連，在盤盤1的的 軸上施加力矩軸上施加力矩M，使之由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)皮，使之由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)皮 帶不打滑。帶不打滑。求：兩園盤的角加速度求：兩園盤的角加速度12, M1R2R121T1T2T2T解：對(duì)園盤解：對(duì)園盤1、園盤、園盤2進(jìn)進(jìn)行受力分析，如圖所示。行受力分析，如圖所示。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：6712111()MTT RI21222( )TTRI園盤園盤1：園盤園盤2：皮帶不打滑：皮

33、帶不打滑：1122RR解上述方程得：解上述方程得：221222112MRR IR I212222112MR RR IR I68212kEI22222221211221122kccccEImdImdImv69 cv221122kccEImvdvc70v力對(duì)剛體做的功是各個(gè)力力對(duì)剛體做的功是各個(gè)力對(duì)各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。對(duì)各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。v內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)的力均不做功。內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)的力均不做功。垂直很微小，認(rèn)為點(diǎn)的矢徑為至，點(diǎn)處的質(zhì)元產(chǎn)生線位移角度，并使軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)作用，剛體繞個(gè)外力設(shè)剛體受轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)一OPsdsdrPOsdPdOZF,v（一）力矩的功（一）力矩的功OPFrZdsd7

34、1OPFrZdsd所以力矩的元功為為力矩的功做的功，外力轉(zhuǎn)到當(dāng)剛體從F212121dMMdAMddA72 212121111niiniidMMddMAA總v即即21dMA總總v（二）力矩的功（二）力矩的功率率MMdtMddtdAPv幾個(gè)外力對(duì)物體做功，則合外力做功之和幾個(gè)外力對(duì)物體做功，則合外力做功之和為為73221122211122AMdIdIIv 合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量的增量。74v niiiiniiiPiPmzmmggzmEE11v得得cPmgzE 度。勢(shì)能零點(diǎn)（地面）的高為剛體的質(zhì)心離開(kāi)重力cz75v 如果剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中除受外

35、力矩外，還受重如果剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中除受外力矩外，還受重力力v矩作用，則有矩作用，則有2122211122外重MMdIIv當(dāng)選地球和物體為系統(tǒng)時(shí)，且當(dāng)選地球和物體為系統(tǒng)時(shí)，且2121ccM dmg zz 重76212222111122外ccM dmgzImgzI v 重力場(chǎng)中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)重力場(chǎng)中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理的功能原理即，則剛體機(jī)械能守恒。力的合力矩。如果為除重力以外的其他外外外0MM212常量cmgzIv忽略地球動(dòng)能的變化，則有忽略地球動(dòng)能的變化，則有77v例例1： 如圖，已知滑輪的質(zhì)量為如圖，已知滑輪的質(zhì)量為 M，半徑為，半徑為 R ，物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為 m 彈簧的勁度系數(shù)為彈簧

36、的勁度系數(shù)為 k，斜面的傾角，斜面的傾角為為，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時(shí)，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧無(wú)形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，彈簧無(wú)形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑 x 米時(shí)的米時(shí)的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）v解：解法一解：解法一v 選取選取 m,M,k 和地球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力和彈性為系統(tǒng)，重力和彈性力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，其它外力和非保守內(nèi)其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，系統(tǒng)機(jī)力均不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。械能守恒。M

37、Rkx0PEmOm78MRkx0PEmOmv設(shè)設(shè) m 未釋放時(shí)未釋放時(shí)為初態(tài)，此時(shí)重為初態(tài)，此時(shí)重力勢(shì)能為零。當(dāng)力勢(shì)能為零。當(dāng)m 下滑下滑 x 后為終態(tài)。后為終態(tài)。v初態(tài)能量：初態(tài)能量：000pkoEEv（滑輪的重力（滑輪的重力勢(shì)能不變）勢(shì)能不變）v終態(tài)能終態(tài)能量：量：222111sin222kpMEEkxmgxmvI 79v由機(jī)械能守恒得由機(jī)械能守恒得 222111sin0 1222MkxmgxmvIv由角量和線量的關(guān)系由角量和線量的關(guān)系得得 22132MvRIM Rv聯(lián)立式（聯(lián)立式（1）、（）、（2）、（）、（3）得）得Mmkxmgxv221sin4280v解法二：解法二：選取選取 m、M

38、、k 為系統(tǒng)，由動(dòng)能定為系統(tǒng)，由動(dòng)能定理理2211022Mf dxmg dxmvIv繩子的張力為內(nèi)力。繩子的張力為內(nèi)力。v所以有所以有220011sin22xxMkxdxmgdxmvIv即即222111sin222MkxmgxmvIv代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。81v例例2：均質(zhì)桿的質(zhì)量為：均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，一端為光滑的支點(diǎn)。，一端為光滑的支點(diǎn)。 v 最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)如圖所示。最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)如圖所示。 vov(2) 桿在鉛垂位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力。桿在鉛垂位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力。v求：求： (1

39、) 桿在鉛垂位置時(shí)，桿下端的線速度桿在鉛垂位置時(shí)，桿下端的線速度 ；vv解：解： (1) 桿在下擺過(guò)程中，只有桿重力做功，機(jī)械能桿在下擺過(guò)程中，只有桿重力做功，機(jī)械能v守恒，則有：守恒，則有：212cm g hI222221 11122 366lvmgmlmlmvl3vgl82v(2) 求支點(diǎn)受力。分析桿的受力情況如圖所示。求支點(diǎn)受力。分析桿的受力情況如圖所示。onNmgv根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：cNmgmav選取如圖所示的自然坐標(biāo)系，得到分量表達(dá)式：選取如圖所示的自然坐標(biāo)系，得到分量表達(dá)式：2cnccvNmgmrNmav桿在鉛直位置時(shí)桿在鉛直位置時(shí),不受力矩作用，不受力矩作用

40、，則角加速度為則角加速度為0，故，故0ca52nmgNN83v剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。v平平v剛體上任一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡都平行于某一剛體上任一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡都平行于某一v面，這種運(yùn)動(dòng)稱為面，這種運(yùn)動(dòng)稱為v剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。v特點(diǎn)：特點(diǎn)：v剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡都是平面曲剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡都是平面曲v線，且各平面互相平行；剛體在運(yùn)動(dòng)中轉(zhuǎn)軸始終線，且各平面互相平行；剛體在運(yùn)動(dòng)中轉(zhuǎn)軸始終v保持平行且垂直于某一固定平面。保持平行且垂直于某一固定平面。v復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：7.5 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)84 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)學(xué)）剛體平面平

41、行運(yùn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)學(xué)）v剛體平面平行運(yùn)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)v整個(gè)剛體隨其質(zhì)整個(gè)剛體隨其質(zhì)心的心的平動(dòng)平動(dòng)v繞過(guò)質(zhì)心并垂直于運(yùn)繞過(guò)質(zhì)心并垂直于運(yùn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)軸的動(dòng)平面的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)v+cccavr,v聯(lián)系聯(lián)系rvvc轉(zhuǎn)aaacv描述描述85線加速度角加速度角速度，質(zhì)心加速度質(zhì)心速度，轉(zhuǎn)aavcccvcaCPr轉(zhuǎn)a86v剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)規(guī)律遵從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)規(guī)律遵從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：ccciiamdtvdmdtrdmF22cyiyicxiximaFmaF87v剛體繞過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)遵從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)遵從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：v v vcvcv vIvM v v物

42、理量。物理量。v均為對(duì)過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸均為對(duì)過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的的v v v v,v,vcvcvIvMv動(dòng)動(dòng)能能v2v2v2v1v2v1v vcvcvkvIvmvvEv v v勢(shì)能勢(shì)能vcvPvmgzvEv v總機(jī)械能總機(jī)械能vPvkvEvEvEv v v上述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)上述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。律。88v 摩擦力足夠大，其運(yùn)動(dòng)形式為無(wú)滑動(dòng)的摩擦力足夠大，其運(yùn)動(dòng)形式為無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)滾動(dòng)純滾動(dòng)純滾動(dòng)。 摩擦力不夠大，則出現(xiàn)滑摩擦力不夠大，則出現(xiàn)滑動(dòng)又滾動(dòng)的情況。動(dòng)又滾動(dòng)的情況。v純滾純滾動(dòng)條件：動(dòng)條件：rdtdrdtdvardtdrdtdxv

43、rxcccccv 圓柱體或圓球沿一直線軌道的滾動(dòng)圓柱體或圓球沿一直線軌道的滾動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的常見(jiàn)情況。剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的常見(jiàn)情況。89v剛體上任一點(diǎn)的速度公式和純滾動(dòng)的條剛體上任一點(diǎn)的速度公式和純滾動(dòng)的條件件rvv0 rarvrxccc90cv例例1: 固定斜面傾角固定斜面傾角a，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均質(zhì)圓的均質(zhì)圓柱柱v 體順斜面向下作無(wú)滑運(yùn)動(dòng)。體順斜面向下作無(wú)滑運(yùn)動(dòng)。v求：圓柱體質(zhì)心加速度及斜面作用于圓柱的摩擦力。求：圓柱體質(zhì)心加速度及斜面作用于圓柱的摩擦力。xy x ymgfNv解：圓柱體的受力如圖所示。解：圓柱體的受力如圖所示。v由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：c

44、Nmgfmav建立固定于斜向上的坐標(biāo)系建立固定于斜向上的坐標(biāo)系xoy，vy軸分量式為：軸分量式為：sincmgfma91212fRImRv剛體做無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，有：剛體做無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，有：caRv解上述方程，可得質(zhì)心加速度和斜面作用于圓柱解上述方程，可得質(zhì)心加速度和斜面作用于圓柱體體v的摩擦力分別為：的摩擦力分別為：2sin3cag1sin3fmgv利用對(duì)質(zhì)心利用對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律有有：sincmgfma92v求：汽車前后車輪對(duì)地面的壓力。求：汽車前后車輪對(duì)地面的壓力。v例例1: 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小汽車在水平路面上急剎車，前后的小汽車在水平路面上急剎車，前后論論 均停止轉(zhuǎn)動(dòng)。前后論相距均

45、停止轉(zhuǎn)動(dòng)。前后論相距L，與地面，與地面的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為 ，汽車質(zhì)心離地面高度為，汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸，與前輪軸水平距離水平距離 。lc y xxyo1f2fmg2N1Nv解：汽車受力情況如圖所示。解：汽車受力情況如圖所示。v建立地面坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系如圖。建立地面坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系如圖。v由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：1212cmgffNNma93v在地面坐標(biāo)系下寫(xiě)出在地面坐標(biāo)系下寫(xiě)出 y 分量表示式為：分量表示式為：120NNmgv同時(shí)考慮到摩擦力為：同時(shí)考慮到摩擦力為：1122,fNfNv對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：1221()()0f

46、f hNLlN lv解上述方程，可得：解上述方程，可得：1()/Nmg L lh L 2()/Nmg lh Lv而汽車靜止在水平地面上時(shí)：而汽車靜止在水平地面上時(shí)：1()/Nmg LlL2/Nmgl L94v例例2 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為 R 的半球固定在地面上，在它的半球固定在地面上，在它的頂部有一半徑為的頂部有一半徑為 r 的球從靜止只滾不滑地開(kāi)始的球從靜止只滾不滑地開(kāi)始滾下，問(wèn)：小球滾到何處恰好脫離大球面？滾下，問(wèn)：小球滾到何處恰好脫離大球面？RrfNgm根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，有 1cos2rRvmNmgcv 解：解：當(dāng)小球滾至任一當(dāng)小球滾至任一角度角度 時(shí)，其受力為時(shí)，其受力為Nfgm和支撐力，摩擦力重力95v 以小球和大球?yàn)橄到y(tǒng)，外力以小球和大球?yàn)橄到y(tǒng)，外力 不做功機(jī)不做功機(jī)械能守