工程數(shù)學(xué)教案

1、色貝丁辭戈減扶借#%= WUHAN COLLEGE OF INDUSTRIAL TECHNOLOGY課程教案20112012 學(xué)年第一學(xué)期課程編號課程名稱工程數(shù)學(xué)主講教師胡麗姣職稱助教系（部）名稱公共課部20XX 年 09 月 28 日課程編號課程名稱工程數(shù)學(xué)公共課（“）職業(yè)基礎(chǔ)課（）課程類型職業(yè)技術(shù)課 （）職業(yè)技能課（）專業(yè)選修課（)授課班級及人數(shù)焊接1101 1102模具1101 1102總學(xué)時/學(xué)期學(xué)時48總學(xué)分/學(xué)期 學(xué)分3學(xué)時分配理論講授學(xué)時：48實訓(xùn)（實驗）學(xué)時：0考試（V）考查（)考核方式考核形式閉卷（ /）開卷（）口試（）上機（）其它（）教材名稱工程數(shù)學(xué)教 學(xué)參考書1、咼等數(shù)學(xué)

2、主編：朱永銀、肖業(yè)勝；武漢大學(xué)出 版社；20XX年6月第1版。2、工程數(shù)學(xué)主編：夏建軍；華中科技大學(xué)出版社；20XX年8月第1版。題目數(shù)列極限的定義函數(shù)的極限課時：2 2教學(xué)目的、要求：理解數(shù)列極限的概念，會用數(shù)列極限的性質(zhì)求一些數(shù)列的極限，理解函數(shù)極限的概 念；會用函數(shù)極限的定義和性質(zhì)求一些函數(shù)在某點處的極限；重點：數(shù)列極限的定義，用數(shù)列極限的性質(zhì)求一些數(shù)列的極限，函數(shù)極限的定義，求函數(shù)在某點處的極限；難點：計算數(shù)列極限，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限的概念的理解。內(nèi)容：1 1 數(shù)列的定義XX XXXX a XX 無窮多個數(shù)X1,x2,x3, Xn,按某些規(guī)律一個一個地進行排列,是通項。1+(1$：2

3、,0,2,0，2,0，(5 5)分析以上五個數(shù)列的特性，得出數(shù)列的極限概念。、Xn n A A 為常數(shù)，當(dāng)n無限增大時，Xn無限趨近于A，則數(shù)列極 限存在或收斂，極限是 A A 或：Xn收斂于 A A。記為lim Xn二 A 或 XnAn、：:nnn若Xn極限不存在，則發(fā)散。數(shù)列的幾何解釋：將 A A 及X1，X2，X3，Xn，在數(shù)軸上一一表示出來，當(dāng)n無限增大時，數(shù) 列：Xn；對應(yīng)的點Xn聚集在 A A 點附近且無限趨近于 A A 點。單調(diào)數(shù)列：X1X2 X3土土Xn士，則：Xn，單調(diào)增加；Xn為數(shù)列的第 n n 項，又：111丄：SUN，趨近于 o olim -nn-0(21n：21趨近于

4、 1 1lim 1丄=1n= n(3)Sn 1:2,468, ,2n,(4(4)fclcc,C/ C 是常數(shù)2 2、極限的定義：設(shè)有數(shù)列22n 3n -2lim廠nn 1_0.lim匚2喬，(k,m ,k Em),ai,bj(i =0,1,2, k,j=0,1,2,n: b0n dnb2nbm,m)是與 n 無關(guān)的常數(shù)，a00, b00.X Xo時函數(shù)f (X)的極限XiX2X3一 一 人 _,Xi:X2: X3：:：則XnXn 嚴(yán)格單調(diào)增加;XiX2X3Xn,貝 U：Xn嚴(yán)格單調(diào)減少。例,3 3、數(shù)列極限的性質(zhì)：(1 1)若收斂，則極限唯一。(2 2)若數(shù)列收斂，則有界。1 +f_1F注：有

5、界數(shù)列不一定有極限，如1一1。單調(diào)有界數(shù)列必存在極限。收斂數(shù)列運算法則l i xm二A,l i ym= B,n)：n)：則MX人)JEn)： ：nlim yn= A B例:lim jn 1(2)(2)=A ,lim ynn :.P 則 n：:(Xnyn)=(lim Xn)(limn ,n_):yn) =AB例:lim 2n-n2推廣:lim ?(c為常k 為正整數(shù))。(3)(3)lim Xn若n:=A,lim ynn譏:xlim XnAlim(糾=厶 二By則皿nimynB。a0nka1nm討論拋物線 y = x2在 x = 2 處的切線的斜率問題。定義：設(shè)函數(shù)f(x)在 X。的附近(在點 X

6、。也可以無意義)有定義，A是一個確定的常數(shù)若當(dāng) x 無限趨近于 X0時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)A，則稱A是函數(shù)f(x)在點 Xo的極限(或f(x)在點 Xo的極限存在)，記為lim f (x) = A或 f (x) A (x x0).X沁兩個常用結(jié)論：(1 1)limC 二 CC 為常數(shù)；0(2 2)lim x = x0. .xox-41例：(1 1)lim2(2 2)lim sinx( 3 3)lim sinTx_16t7 x2 2. .單側(cè)極限左極限 如果函數(shù)f(x)當(dāng) x 從 Xo的左側(cè)(即 X：:Xo)趨于 X。時以 A 為極限，則A 稱為f (X)在 Xo的左極限記作、 ，2 *

7、 ri-JJN- -MI-lim f (x)二A或 f (xoo)= A.Xo一右極限 如果函數(shù)f(x)當(dāng) X 從 Xo的右側(cè)(即 X . Xo)趨于 Xo時以 A 為極限，則A 稱為f (x)在Xo的右極限.記作lim f (x)二A或 f (xo0) = A .X X)左極限與右極限皆稱為單側(cè)極限，它與函數(shù)極限(雙側(cè)極限)有如下關(guān)系:lim f(x)二A的充要條件是 -0) = f (xo0) = A .XXo3.x 時函數(shù)f(x)的極限例。討論函數(shù)f(x)二丄，當(dāng)X(1) xdO,亠;(2),0 ;(3)x 三，二的變化情況函數(shù)在正無窮遠(yuǎn)處的極限：Jim(x)二A或者f (x) A (x

8、-：/)。函數(shù)在負(fù)無窮遠(yuǎn)處的極限：lim f (x)二A或者f(x)A (xr -：)。Xr c：函數(shù)在負(fù)無窮遠(yuǎn)處的極限：lim f (x) =A或者f(x) A(X-；：)。X-題目：無窮大與無窮小，函數(shù)極限的運算法則，符合函數(shù)的極限，兩個重要極限。課時：2 2重點：掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。了解極限存在的兩個準(zhǔn)則， 并會利用它們求極限， 掌握利用兩個重要極限求極限的方法。理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。難點：無窮小的比較方法，兩個重要極限的靈活運用。內(nèi)容：1.1. 無窮小的定義：如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)f(x)以 0 0 為極限，則稱在x的

9、這種趨向下，函數(shù)f (x)是無窮小量。(書中例子)注意：無窮小時一個以 0 0 為極限的函數(shù)，不能把它與很小的常數(shù)等同，在常數(shù)中(除0 0 外)沒有無窮小無窮小的性質(zhì)：(1)(1) 有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。(2)(2) 有界函數(shù)與無窮小的乘積還是無窮小。2.2. 無窮大的定義：如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)f(X)的絕對值以二為極限，貝U稱在x的這種趨向下，函數(shù)f (x)是無窮大量。(書中例子)注：這時函數(shù)的極限不存在但仍記做lim f(x)=，表示函數(shù)在x的變化過程中的變化趨xo勢。無窮大的性質(zhì)：(1)兩個無窮大的乘積仍然是無窮大。(2)有界函數(shù)與無窮大的和是無窮大；(3 3 )無窮

10、小和無窮大的關(guān)系1在自變量的同一變化過程中，如果f (x)為無窮大，則為無窮??；反之，如果f (x)f(x)1為無窮小，且f (x) = 0則為無窮大f(x)即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)Xn=0時：有1lim = 0= lim3.3.無窮小的比較：設(shè)f(x)和g(x)都是同一變化過程下的無窮小，且g(x) =0。(1)若lim竺=0,則稱f (x)是關(guān)于g(x)的高階無窮小,g(x)也稱g(x)是關(guān)于f (x)的低階無窮?。?2)若lim丄兇二a =0，則稱f (x)和g(x)是同階無窮小，g(x)稱f (x)和g(x)是等價無窮小，記為f (x)g(x)。特別當(dāng)lim丄兇=1，

11、則g(x)分析書中例題。4.4.函數(shù)極限的運算法則定理 1.91.9 若limf(x)=A,limg(x)=B，則有:xojxolim (f (x) _g(x) = lim f (x) _ lim g(x)二A _ B;X兩x此x x)limi (f (x) g(x) lixf (x)処g(x) = AB；xJx0 xxox必0limXxlim f (x)x兇lim g(x)x x0A(lim g(x) = B = 0)。Bx x0推論 1.31.3黑板演示書中例題1.101.10, 1.111.11, 1.12.1.12.5.5.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則回憶初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y =

12、 f g(x)是由函數(shù)y = f (u)與u =g(x)復(fù)合而成,fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,若lim g(x)二U0,lim f (u) = A,且存在、0u :U000，當(dāng)Xu(X,0)時,1有g(shù)(x) = u，則limfg(x)= limf(u)二Ax x)u u06.6.兩個重要極限通過書中的表格分析推出該結(jié)論。tanx limx0 x分析書中例題。(1)limsinx=1x 0(2)例:limx)0arcs inxlim (1X阿1，|xm0（1 x）例:1 - cosxlimx 0題目：函數(shù)的連續(xù)性課時：2 2重點：理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間

13、斷點的類型。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、 最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。難點：判別函數(shù)間斷點的類型，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解題。內(nèi)容：1.1.左連續(xù)，右連續(xù)左連續(xù)的定義：若函數(shù)f在點Xo有f (Xo- 0) = f(X。)，則稱函數(shù)f在點Xo左連續(xù)；右連續(xù)的定義：若函數(shù)f在點Xo有f (Xo0 f (Xo)，則稱函數(shù)f在點Xo右連續(xù)；連續(xù)的定義：函數(shù)f在點Xo連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點的函數(shù)值f(Xo)、左極限f(X-O)與右極限f (Xo- o)三者相等：f(Xo-0) = f(X。)= f (Xoo)或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點Xo有極限且此極

14、限等于該點的函數(shù)值。lim f(Xf (Xo)X )Xo函數(shù)在區(qū)間(a,ba,b)連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間a,ba,b連續(xù)指在區(qū)間(a,ba,b)連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù) ( (注意端點) )連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的四則運算：1)1) . .lim f (x)二f (Xo)且lim g(x)二g(xo),xTXoXoDo=毀J f (x)：g(x)，：f (xo)亠.g(xo)2)2) . .lim f (x)二f (Xo)且lim g(x) =g(xo),xXon lim (x)* g(x)= f (x。)*

15、 g(x)X Xo3)3) . .lim f(x) = f(xo)且lim g (x)二g(xo) = o,XKof(X)_ f(X。)x說g(x)g(x。)2.2.反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f :y二f(x) xDf是嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且連續(xù)的， 則存在它的反函數(shù)f:x二fJ(y)y Df并且fJ也是嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且 連續(xù)的。注：1 1)反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2)2)通常慣用 X X 表示自變量，Y Y 表示因變量。反函數(shù)也可表成y = f (X)x Dfd3.3. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件 山g二Df，若函數(shù)g在點 x xo連續(xù)；g(x。)=u。，又

16、若函數(shù)f在點uo連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)fy 在點X。連續(xù)。注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：從這些基本初等函數(shù)出，通過若干次四則運算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。4.4.間斷點若：f (xo-0) = f(x。)= f (xo0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：1 1、第一類間斷點：f (xo0) = f (Xo-0)即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。例：見教材。2 2、第二類間斷點Xo:左極限f(Xo-0)與右極限f (Xo 0)兩者之中至少有一個不存在 例：見教材。吸g(x)3 3若f(Xo- 0) = f

17、(Xo0)，但f(Xo- 0) = f(Xo)，且f(Xo0) - f (Xo),則稱Xo是函 數(shù)f (X)的可去間斷點。例：見教材。5.5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)i i)、(有界性定理)：如果函數(shù)f在閉區(qū)間a,b】上連續(xù)，則它在a,b】上有界。2).2).(最大、最小值定理)設(shè)函數(shù)：y二f(x),XD在上有界，現(xiàn)在問在值域=勺y = f (x),x D中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點x0 D的函數(shù)值y0= f (x0)，則記牡 =max:f (x)叫做函數(shù)在 D D 上的最大值。類似地，如果Df中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點X2 Df的函數(shù)值目2= f(x2)，則記2二

18、minf(X)稱為函數(shù)在上的最小值。零點定義：若 X X。使f(Xo)=O，則稱 X X0為函數(shù)的零點3)3). .(零點定理)：如果函數(shù)f在閉區(qū)間a,b1 1 上連續(xù)，且f在區(qū)間b,b1 1 的兩個端點異號：f(a)* f (b) : 0則至少有一個零點；二(a, b)，使f ( J = 04)4). .(中值定理)：如果函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f在a,b 1上能取到它的最大值 和最小值之間的任何一個中間值。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。y：X =X_Xo， 號=f(x) _ f (xo) = f (Xo：x) - f (xo)，題目：導(dǎo)數(shù)的概念課時：2 2教學(xué)目的、要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念和函

19、數(shù)變化率的思想， 會用導(dǎo)數(shù)定義求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點、難點重點：導(dǎo)數(shù)的定義，用導(dǎo)數(shù)的定義求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難點：導(dǎo)數(shù)作為變化率的概念的理解 引入：物體沿直線運動的在某一時刻的瞬時速度問題設(shè)某點沿直線運動，于時刻 t 在直線上的位置的坐標(biāo)為 S，這樣，運動 完全由某個函數(shù)S = f(t)所確定，這個函數(shù)稱為位置函數(shù)。對于最簡單的情形，寸的禾呈即該動點在某一時間內(nèi)做勻速直線運動，那么它的速度就是經(jīng)寸的路程，如果所花的時間運動不是勻速的，首先取從時刻 to到 t 這樣的一個時間間隔，在這段時間內(nèi)，動點從位置 So二 f (to)移動到S = f (t)的平均速度就是 口0

20、=型 如，如果時t tot = to間間隔很短，這個比值也可用來說明動點在時刻 to的速度。但對于動點在時刻 to的速度的精確概念來說，這樣做是不夠的，而更確切的應(yīng)當(dāng)這樣：令t to，取上式的極限，如果這個極限存在，設(shè)為 V，即 V=limf一f(to)，v 稱為動點在I。tto時刻 to的(瞬時)速度。1.導(dǎo)數(shù)的定義從上面討論的問題看出，非勻速直線運動的速度和切線的斜率問題 都?xì)w結(jié)為如下的極限：limX %f (x) - f(X。)x Xo(*)y：X =X_Xo， 號=f(x) _ f (xo) = f (Xo：x) - f (xo)，這里 x -xo和 f (x) - f (xo)分別是

21、函數(shù)f (x)的自變量的增量X和函數(shù)的增量因 X; Xo相當(dāng)于x0,故(* )式也可以寫成3f(Xo+&) - f(Xo)lim或lim.X0.-.：xx-0.：x由以上內(nèi)容，我們得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。定義：設(shè)函數(shù)y = f(x)在點 Xo的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 X 在 Xo處取得增量HX(點 X:-X 仍在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量紹=f (xo .lx) - f(冷)如果-y和厶x之比當(dāng).：x)o時的極限存在，則稱函數(shù)y二f (x)在點 xo處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y二f(x)在點 xo處的導(dǎo)數(shù)，記為 f (xo)，即也可記作y，字|口或攀dxdx注：(1)可導(dǎo)的等價概

22、念函數(shù)f(x)在點 Xo處可導(dǎo)二函數(shù)f(x)在點 Xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在(2) 導(dǎo)數(shù)常見的不同形式的定義式f (Xoh) - f (Xo)或f (x f (Xo)f (xo) = lim或 f (xo) =limThI 忍x - xo(3)如果極限不存在，就說函數(shù)函數(shù)f(x)在點 Xo處不可導(dǎo)2.由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求增量 y 二 f(x：x) -f(X)；(2) 算比值 m(Xo5-f(Xo)；AxZ求極限y二lim ,y.習(xí)題：求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)、f(x)=C(C 為常數(shù))(2)、求函數(shù) f(x)=xn( nN+)在 x = a 處的導(dǎo)數(shù)。f (Xo)limxf (Xo：X)-

23、f (Xo)(3)、f(x) =(s x)3.函數(shù)的變化率問題因變量增量與自變量增量之比 衛(wèi) 是因變量y在以 x 和 x 為端點的區(qū)間Ax上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù) f(x。)則是因變量在點 X。處的變化率，它反應(yīng)了因變量 隨自變量的變化而變化的快慢程度。4導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f (x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。這時，對于任一I，都對應(yīng)著f (x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu) 成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y二f(x)的導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)的定義式,，-f(x+x) f(x)十、f(x + h) f(x)y lim或f (x)二limAxh可導(dǎo)與連續(xù)

24、的關(guān)系：若函數(shù)f(x)在 X。處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在點 X。處連續(xù)，反 之不然，函數(shù)f(x)在不連續(xù)點上一定不可導(dǎo)。5基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) 、f(x)=C(C 為常數(shù))(2) 、求函數(shù) f(x)=xn( nN4)在 x = a 處的導(dǎo)數(shù)。(3)、f(x)=nx)(4)、y=ax(ar0 且 a1)題目：導(dǎo)數(shù)的四則運算，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)求導(dǎo)法則課時：2教學(xué)目的、要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， 了解導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和一階 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n n 階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重難點：重點：用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難點：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

25、，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容：1導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：和的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在點 x 處都可導(dǎo)，貝U函數(shù)y二u(x) v(x)在點 x 處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為 y = u(x)v(x)或(u(x) v(x)二u(x) v(x)。積的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在點 x 處都可導(dǎo)，則函數(shù)y =u(x)v(x)在點 x 處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為/u(x) v(x) v(x) u(x)。商的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在點 x 處都可導(dǎo)，且v(X)= O則函數(shù)y =在v(x)F點 x 處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為八心宀/八單-U(X)v(x)iv(x)丿v (x)2反函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)y二f(x)在點 x

26、 的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)，f (x)存在，且f(X)=0，貝U函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)X二(y)在點y處1可導(dǎo)，且：(y)，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是其原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。f (x)3導(dǎo)數(shù)基本公式表(見教材)。4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：在 X X 有導(dǎo)數(shù)dU U，y=f u在對應(yīng)點 u u 有導(dǎo)數(shù) dydy，dxdxdudu則復(fù)合函數(shù)y = fx在X處也有導(dǎo)數(shù)，即 史=3 也二f/u.:-/x。dx du dx注：熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運算方法后，中間變量可以不寫出，只要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系并暗記心中，就能直接計算出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對數(shù)求導(dǎo)法：有些函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)非常簡便，其原理和方法由接

27、下來的例題說明。5高階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù):= limf/x-f/xof (x)在點x 處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y = f (x)的三階導(dǎo)數(shù)記為f ”(x)。以此類推，函數(shù)y二f (x)在點x 處的n -1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y二f (x)在點x 處 的 n階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。例：自由落體運動瞬時速度和加速度的問題。d2yf(fx=xoXiox Xo同理函數(shù)題目：微分課時：2教學(xué)目的，要求理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。重點：微分的概念，微分的運算法則。 難點：微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，一階微分形式不變性 內(nèi)容：1.微分：討論當(dāng)X

28、r0時，f(Xo：=X)的近似求法. .先看一個例子：設(shè)y =f(X)= X2，在點Xo的領(lǐng)域內(nèi)給一增量x，計算f (x)的增量：y。33223y二f (x0：x)f(Xo) = (x0圧；x) -x03x * x 3x0*C x) (：x):“ 3x(2 x (當(dāng) x 0).23這是因為 |.叫_-x)-x)1叫3乂0：x(LX)2 = 0。即3x0(=x)2(LX)3是關(guān)于Ax的高階無窮小(當(dāng)AXT0)。亦即Ay -3XQ*x = 3x0(也x)2+(也x)3是無窮小2(當(dāng) AXT0)，用3x0* Ax代替y，計算方便且誤差很小。定義 2.22.2 若y = f (x)在點x的領(lǐng)域內(nèi)給一增

29、量x，相應(yīng)的函數(shù)y = f (x)的增量 ：y y 可表示為：_y = f(x0=x) - f (x = A ：x : &x)(0).其中，A A 是與LX無關(guān)的常數(shù)，lim(兇=0，：(LX)是關(guān)于LX的高階無窮小(Lx0)。則稱函數(shù)f (x)在點x0處可微，A厶x稱為函數(shù)f (x)在點x0處的微分，記為dy或df (x)，即dy = A ：x。注意A八x是關(guān)于x的一次函數(shù)，當(dāng)X-0時，.ydy=A、x，A厶x也稱為y =: C x)的線性主要部分。可微與可導(dǎo)的關(guān)系設(shè)y二f (x)在點X。出可微，則有y = A *：x - x)，所以Ly(-X)-(LX)lim lim (A) =

30、lim A limA。 J。.lxx-0 x. JP1。x由導(dǎo)數(shù)的定義，則有f(X。)= A從而有dy二A：x二f (x。)：x。反過來，若limy= f (x。)，則有一y y= =f (x。)亠：。當(dāng)(%0時，0；這是收Z ZAx斂極限的一個定理，僅在此說明)所以y = f(xJVx .IX.IX。(當(dāng)x。時。)因為limx= lim。，由微分定義，有X AxIdy二f (x。) X綜合以上情況，歸納出以下定理。定理 2.32.3 函數(shù)y = f (x)在點xo可微的充要條件是y二f (x)在點Xo可導(dǎo)，且Idy = f (x。)x解析例 2.232.23一般地，函數(shù)y二f(x)在任意點

31、x x 的微分dy=f(Xo)Ax.稱為函數(shù)的微分。解析例y = 5x7微分的幾何意義。(見教材)2.2. 微分的運算法則和公式見教材。3.3. 階微分形式的不變性：設(shè)復(fù)合函數(shù)y二f(u),u二(x)，于是按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有 =乎晉=f，(u)(X)二f (X)：(x)，dx du dx所以dy = f (x)：(x)dx = f (u)dx = f (u)du. .可以看出，不論是自變量u u，還是函數(shù)u二：(x)， 都有dy = f (u)du，這一特征稱為一階微分形式的不變性。這在不定積分的湊微分法中常需用到。注：可導(dǎo)：=可微解析例 2.242.243 3、0 0“ ：型:如：li

32、mx ln x a 0題目：中值定理與洛必達法則課時：2 2教學(xué)目的與要求：掌握并會應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理， 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。教學(xué)重點：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的運用。難點：中值定理的靈活運用。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級數(shù)中講）1 1.（羅爾定理）：如f x滿足：（1 1）在a,b 1連續(xù) （2 2）在a,b可導(dǎo) （3 3）f a = f b則至少存在一點4 ia,b，使和=0例設(shè)g x =x x 1 2x 1 3x -1，貝 V V在區(qū)間（-1-1 , o o）內(nèi)，方程g/x =0有 2 2 個實根；在（-1-1 , 1

33、1）內(nèi)gX =0有 2 2 個根2.2. （拉格朗日中值定理）：如f X滿足：在la,b連續(xù)；在a,b連續(xù)，則存在=ab，使f b f a二f/b a。推論：如果在區(qū)間 I I 上f/x三0，則f x二c。注：在拉格朗日中值定理中，如果 f f b b 三 f f a a ,則拉格朗日中值定理就轉(zhuǎn)化成了羅爾中值定理，所以羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例。3.3. （柯西中值定理） 如果函數(shù)f x,g x滿足：（1 1 ）在閉區(qū)間a,b 1上連續(xù)；（2 2）在開區(qū) 間a,b內(nèi)可導(dǎo)且g/x -o,則在開區(qū)間a,b內(nèi)至少存在一點二a, b,使得 f f（a a） -f-f（b b） _ _ f

34、f （）（）。g g（a a）-g-g（b b） g g （）（）顯然，當(dāng)g/x=x時，柯西中值定理即為拉格朗日中值定理，所以拉格朗日中值定理是柯西 中值定理的特例。4.4. 洛必達法則：如下的函數(shù)極限都是未定形。,0 x-sinx鈿1 1、 型：女口：lim型：0 x 30tanx - x2 2、一型:ln 114 4、：_：型：如：lim （）xsin x x17 7、型：女口：lim（獨）只7 x它們的計算不能用函數(shù)極限的四則運算法則,且它們只表示類型，沒有具體意義。1 1）、0（蘭）型的洛必達法則XT a（同理XT）0旳定理：對函數(shù)f x，g x，如果：(1)lim f (x) = 0

35、X(x（2 2）在某個鄰域N（a,、J內(nèi)（x X后）有導(dǎo)數(shù)f和g，且g（x）=0；（3）limf（x）存在（或無窮），則成立:：x,g（x）. f (x). lim= =limX=ag ( x)Xra(X匚)(x_. )2 2）、其它類型1)1)1100oO oO -000漢03)3)y = 00 ln y = 0 ln 0(0：:型)05 5、00型:arctan x如: xi%xxi%x6 6、：0型:如:xim/ctgx)In xlim g(x) = 0 x_a(x苻)f(x)g(x)104)4)y = 1, y二二 解法同 3 3)定理：對函數(shù)f x，g x，如果:lim g(x)二:

36、;x_a(x .)(2)在某個鄰域N(a,.)內(nèi)(x X后)有導(dǎo)數(shù)f和g，且g(x)=O；(3(3)lim匚兇存在(或無窮)，則成立:g(x)若不是，就不能使用洛必達法則。(2(2 )如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟;f ( x)f ( x)(3)當(dāng)lim不存在時，并不能斷定lim也不存在，此時應(yīng)使用其他方法求。g(x)g(x)題目：函數(shù)的單調(diào)性和極值課時：2 2教學(xué)目的和要求：理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。重點：函數(shù)最大最小值的求法，判斷函數(shù)的單調(diào)性難點：求函數(shù)極值的方法，函

37、數(shù)最值的簡單應(yīng)用內(nèi)容：1.1. 函數(shù)的單調(diào)性：定理 2.62.6 設(shè)函數(shù)y =f(x)在a,a, b b上連續(xù)，在(a,a, b b)內(nèi)可導(dǎo)，則有下述結(jié)論成立。(1) 如果在(a,a, b b)內(nèi)f(x) .0,那么，函數(shù)y = f(x)在a,a, b b上嚴(yán)格單調(diào)增加；(2) 如果在(a,a, b b)內(nèi)f(x)：0，那么，函數(shù)y = f (x)在a,a, b b上嚴(yán)格單調(diào)減少。 黑板演示證明過程根據(jù)上面定理，判定函數(shù)f (x)的單調(diào)性，就可按下列步驟來進行。(1) 確定f (x)的定義域。(2) 令f(x) =0求出使f(x)=0和f(x)不存在的點 x x，并以這些點為分界點，將定義 域

38、分為若干個子區(qū)間。(3)確定f(x)在各個子區(qū)間內(nèi)的符合(1)lim f(x)mXxZ)limx.a(x匚)n=lim 3g(x)xxa：)g(x)注：(i i)洛必達法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗是否屬于0型或一0 :型,(通常采用列表法討論)，從而判定出f(x)的單調(diào) 性(若f(x)00，那么函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；若f(x)00,那么函數(shù)在這區(qū)間內(nèi) 嚴(yán)格單調(diào)減少)。解析例 3.33.33.63.62.2. 函數(shù)的極大、極小值：1 1)定義：如在x0鄰域內(nèi)，恒有f X乞f x0,f x - f x0，則稱f x0為函 數(shù)f X的一個極大(小)值。可能極值點，fx不存在的點

39、與fx =0的點。(駐點)駐點J極值點3.3. 判別方法函數(shù)極值的必要條件：設(shè)函數(shù)f x在點x0處可導(dǎo)，并且在點x0處有極值(極大值或者極小值），則必有f/x = 0函數(shù)極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f x在點x0處連續(xù)，在點x0的某一空心鄰域內(nèi) 可導(dǎo)：則有下列結(jié)論成立. .（1 1） 如果f x在x0的左側(cè)恒為正，在右側(cè)恒為負(fù)，那么，函數(shù)f x在點x0處 取得極大值f X。；（2 2） 如果f x在x0的左側(cè)恒為負(fù)，在右側(cè)恒為正，那么，函數(shù)f x在點x0處 取得極大值f x0；函數(shù)極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f x在點x0處具有一階，二階導(dǎo)數(shù)，且f （x） = 0，（x）=0，那么有以下結(jié)論成立：

40、（1） 如果 f認(rèn)）0，則f x在點x0有極小值f X。；（2） 如果 f認(rèn)）：:：0，則f x在點x0有極大值f Xo；求函數(shù)極值的步驟：（1 1 ）確定函數(shù)f （x）的定義域；（2 2） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點；（3 3） 用極值的第一充分條件或第二充分條件確定極值點；（4 4） 把極值點代入f （x），求出極值并指出極大（?。┲?。解析例 3.73.73.103.101.1.函數(shù)的最大值和最小值設(shè)函數(shù)y二f （x）在閉區(qū)間a,a, b b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特性可知，函數(shù)f （x）在a,a, b b上一定有最大值和最小值。如果最大值和最小值在區(qū)間內(nèi)取得，那么這個最

41、大值或最小值一定是函數(shù)的極大值或極小值。此外，最大值或最小值也可能在區(qū)間的端點取得，所以求f （x）在a,a, b b上的最大值和最小值的方法是：求出可能極值點的函數(shù)值，并把它們與 端點的函數(shù)值進行比較，其中最大的便是函數(shù)的最大值，最小的便是函數(shù)的最小值。用以上方法解析例 3.113.113.163.162 2、曲線的凹凸、拐點及漸近線在 I I 上f x可導(dǎo)如fx . 0:：0貝恤線y二f X是凹（凸）的，在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點稱為曲線的拐點?？赡艿墓拯c為fxi=0的解和函數(shù)fx無意義的點f/(x) = 0 x =1, x2,f(x)=Q x=1X X(-(-m,-2),-2)-2-2

42、(-2,0)(-2,0)0 0(0,1)(0,1)1 1(1,+(1,+m) )y y+ +0 0- -間+ +0 0+ +y y- - - -斷- -0 0+ +y y單調(diào)增極大值單減單增拐單增上凸f f(-(-2 2)=)=上凸上凸占八、下凸(1,(1,2727-4-40)0)漸近線：若曲線C上的動點 P P 沿著曲線無限遠(yuǎn)離遠(yuǎn)點時， 點 P P 與某一固定直線 L L 的距離趨近 于零，則稱直線 L L 為曲線 C C 的漸近線。如xirn。f（x）=處 則稱x =x0為垂直漸近線（x0或XrX0）漸近線可能沒有，或多條。題目：不定積分的概念和性質(zhì)例、設(shè)，試討論f x的性態(tài)。2f/(x)

43、1)(x2)f(x)=害x何用)(Xr -)二a則稱y二a為水平漸近線課時：2 2教學(xué)目的和要求： 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)。重點：原函數(shù)和不定積分的概念難點：不定積分的性質(zhì)內(nèi)容：原函數(shù)、不定積分在區(qū)間I上，如F/x二fx，稱fx為Fx的導(dǎo)函數(shù)，稱F x為f x的原函數(shù), 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。如Fx為f x的一個原函數(shù)，則Fx C為f x的全體原函數(shù)。記為f(x)dx，即f(x)dx= =F x C不定積積分性質(zhì)(I)(I)( f(x)dx )f(x)或d f(x)dx = f x dxF/(x)dx二F(x) Ck f(x)dx = k f(x)dx(f(

44、x) - g(x)dx二f(x)dx - g(x)dx原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系，由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。例、 已知F x是止的一個原函數(shù)，x求：dF sinx解:F&)匹xdF(sinx) i . Insinx,dF(s in x)dsinxcosxdxdsinxsinx例、f x的導(dǎo)函數(shù)是sin X,則f X的原函數(shù)-sinx GX c2,(G、c2為任意常數(shù)) )題目：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法-x課時：4 4教學(xué)目的和要求： 掌握不定積分的基本公式, 積分法。重點：換元法與分部積分法的運用難點：區(qū)分兩種換元法的作用 內(nèi)容：計算方法先考察不定積分cos2xdx不能直接利用基

45、本積分公式cos xdx = sin x C。令2x = u，1dx二du。于是被積函數(shù)化為21 cos2x =cosu，從而cos2xdx cosudu。2L11此時，右端的不定積分cosudu si nu221cos2xdx sin 2x C。2第一類換元法(湊微分法)： 若f (u)d F(u) C， 又u= (x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f(x)(x)dx =F (x) C。常用湊微分形式dkx = kdxd x ci；= dx exdx =dexx =dl nxx11cosx =dsi nxdx=d xxdx二d. x sec2xdx二d tanx2 x=dx = d arcs in x2_

46、2-xcdMfsin 2xdx = dsin x1 - x2-sin 2x dx二-d cos2x掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部C，再將u換回為2x，從而得到1818例:1 1、1dx = 一113 -2x2Rd(32x)一1In 3 一 2x c2、二 Inxd In x = - (Inx)2，33 3、cos x sin3xdx = sin3x d sin x =sin4x c44 4、1-x2冷d 1-x2=1-x25 5、2 _x3x e dx1x333e d(-x)1-x3e36 6、a2x2dx7 7、9 4x2=arcta n2 29 9、1010、1111、1212、

47、22d xa - xdx23(2x)- arctanc aa11丄2x2d2x = - arcta n +c6a(x 1)24d(x 1)c= arcs inxc a1 12x-9x2arcsin_3xc2sec xdxtan x 1tan x 1d(tanx2 tanx1ctan4xdx = tan2x(sec2x - 1)dx=tan2xdtanx - .(sec x - 1)dx1818= !tan3x -tanx x C3arcsin5xC5exsin(ex1)dx = jsin(ex1)d(ex1)二-cos(ex1) C二2sin x Ci-J-=2arctan . xd arct

48、an x二arctan2 x Cn xxe - e ,xdx1 exxe .xdx 1 ed1 ex1e*arcta n22=x-I n 1exCxe；dx=.42xedex4dexex(e2x4)Jarctan 224exxxe1313、 4arcsin x _-dx1 x2二arcs in4xd arcs inx1414、1515、嚴(yán)；xds = 2cos Jxd Jx lx1616、arcta n xarctan次門乂詔竺也d x (1 x).1717、1：xdxIn (e2x4) C2 2xcosx1 3x3cosx ,3dx3dxx3sinx3 x3sinxInsinx2dx cos

49、x=tanxlnsinx - tanxcosxdx si nx二tanxlnsinx - x CSinX_tanx,. tanx ,21、e dx二tanxe dtanxcos x-tanxde_tanxtanx_tanx-ta nxeedta nx=-tanxe站-eanxC2222、設(shè)xf x dx二arcsinx C，貝V下面來研究解決這類積分的方法。計算1dxdx 這個積分的困難在于被積式中含有的根式x是無法通過上面的換元去掉1 1 X X的，為了解決這個難題需要采取不同于上面的換元方法，就是令x二t2t 0，這樣就有x =t，并且dx =(t2)dt =2t d t把它們代入所求積分

50、中，就得到 f f dx=c2dt=2dx=c2dt=2f “St t =2=2 |dtdt- - dtl=2tdtl=2t -1-1 n n( (1 1+ +t t)+)+C C，再用 仮替換上式中的1.x1.x 1 1 t t 1 1 t t ILIL 1 1 t tt,即可得到原來的積分1dx=2dx=2x-lx-l n1n1x!(x!(。1 1 +(+(x x顯然，上述問題的解決也是通過換元的途徑來實現(xiàn)的，但是，這里的換元法與前面的換元31rd(x +3sinx)13- ._=_ 3-二一Inx + 3s in x+C3 x3+3sinx 3解:Jxx(1 + Inx dx = Jex

51、lnxd(xlnx )xlnx1919、C二xxC二e2020、解:=Insin xdta nx1818方法是完全不同的，解決本題的換元X=t2中，新變量t是作為自變量來引進的，上述第一類X換元積分法中的新變量u是作為函數(shù)以你就能的，把這種換元求積分的方法稱為第二類換元積分法，其原理敘述如下：第二換元法若.f：t卜t dt = F t C，又X二t具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且- 0，t二JX是t的反函數(shù)，則有.fx dx = Fx C。第二類換元法的作用在于當(dāng)不定積分f xdx不易求得時，可以作代換x=F：t(要求x在某區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)，則X一定存在)將.f x dx化為ftdt后者若易于積分，且f t

52、卜t dt二F t C，再通過t的反函數(shù)th 皆X將t還原為JX，就可求得f X dx二FX C。除了湊微分法外其它常用變量代換(1)(1)被積函數(shù)中含有二次根式2 2-a - X，令x = asin t、a2X2，令x = atant x2- a2，令x =a sect如是.ax2 bx C配方/2丄2/22/22* uai,；u - ai, ai- u12例 i i、1；Xdx令x=sint,X2解：原式cotcostdtsin t二cot2tdt二(csc21 -1)dt二-cot t -t Cdx = costdt1 1 - - x x2X-亙-arcsinx Cx = 2sectx

53、=4cosx(2(2 )被積函數(shù)中含一般根式解：令lx 2二t x二t3-2 dx = 3t2dt3t21原-“1門dt=3坂-6 Tx + 61 n1+ 坂 +C例 5 5、. ex1dxdTdt原式2打2.1=2t In上Ct +1例 2 2、1dx二種解法x2x2-4dx例 3 3、-，1 + Vx + 2=|3 xWx十2十31 n1+例 4 4、x xx令X =tdx二6t5dt6t534原式=t3tdt =6丄dt=6 (t)dt1 t-6ln11C解：令extex= t2- 1=2 ex1In( . ex1 -1)- In( . ex11) C分部積分法定理 如u X、v x均具

54、有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則u dv = uv - vdu注：分部積分法的作用在于如果不定積分 部積分法可以化難為易。例 1 1、xcos x dx二xdsin x二x sin x - sin x dx=x sin x cos x c例 2 2、xedx二-xde-xe亠dxA-x=-xe - e C3 3、(arcsin x)2dx21二x arc si nx i ix 2arcs in x -V1-vdu較積分.udv易于求得時，應(yīng)用分2 : 2=x arcsinx 2 arcsinxd 1- x=x arcsinxi 亠 21-x2arcsinx-2x Cln x2x二x arc sinx ? 2

55、-x2arcsinx - j、J1 - x21 1-X2dxdx例 4 4、x1- cxIn Inxdx 二 In In x d In x=In x In In x - In2 2xtan xdx = x(sec x -1)dx2=xdtanx -2二arctanxdx - arctanxdarctanxx1x21=x arctanx ln(1 x )2例 8 8Jin (x +M+x2)dx=xl n(x +M+x2)-J、dx2+c = xl n(x 7+x2) _ $1 + x2+ c xJ+x2InxdxxInx例 5 5、=ln x In In x - In x丄-dxIn x x例

56、 6 6、=x tan x +ln cos x2-+ c2arcta nxdxx21 -11 x2arcta n=(arcta nx)dx=xarctanx -dx -1(arctanx)2212(arcta nx)c例 9 9、e2xcosexdxexds ine2二 xtanx - tan x dx-22例 7 7、2arcta nxxxx二e sine cose c2221x sin xdx = x (1 cos2x)dx21sin2x xsin 2x dx21sin 2x xd cos2x4 21 1sin2x xcos2x sin 2x c 4-1x2ds in2x43x1x6432x