七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1章 二元一次方程組 【知識要點】1二元一次方程:含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)為1，這樣的方程叫二元一次方程。二元一次方程左右兩邊的代數(shù)式必須是整式；(不是整式的化成整式)二元一次方程必須含有兩個未知數(shù)；二元一次方程中的“一次”是指含有未知數(shù)的項的次數(shù)，而不是某個未知數(shù)的次數(shù)。2二元一次方程的解：能使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解任何一個二元一次方程都有無數(shù)解。3二元一次方程組：由兩個或兩個以上的整式方程組成，常用“ ”把這些方程聯(lián)合在一起； 整個方程組中含有兩個不同的未知數(shù)，且方程組中同一未知數(shù)代表同一數(shù)量；方程組中每個方程經(jīng)過

2、整理后都是一次方程，4二元一次方程組的解：注意：方程組的解滿足方程組中的每個方程，而每個方程的解不一定是方程組的解。5會檢驗一對數(shù)值是不是一個二元一次方程組的解6二元一次方程組的解法：（1） 代入消元法 （2）加減消元法三、理解解二元一次方程組的思想四、解二元一次方程組的一般步驟（一）、代入法一般步驟：變形代入求解回代寫解（二）、加減法一般步驟：變形加減求解代入寫解1.1 二元一次方程組的解法（1）用代入法解二元一次方程組例：解方程組 解題方法：編號：將方程組進行編號；變形：從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x），即變成y=ax+b（或x=ay+b

3、）的形式；代入：將y=ax+b（或x=ay+b）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x），得到一個關(guān)于x（或y）的一元一次方程；求x（或y）：解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；求y（或x）：把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求出y（或x）的值；聯(lián)立：用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解。（2）用加減消元法解二元一次方程組例：解方程組解題方法：編號：將方程組進行編號；系數(shù)相等：根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；相加（或相減）：根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式

4、，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；求另值：把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；聯(lián)立：用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解。分析  我們已經(jīng)掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程組，就應(yīng)設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，為此，就要考慮將一個方程中的某個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示方程(2)中x的系數(shù)是1，因此，可以先將方程(2)變形為用含y的代數(shù)式表示x，再代入方程(1)求解這種方法叫“代入消元法”解： 

5、由(2)，得  x=8-3y                                               

6、;            (3)把(3)代入(1)，得： 2(8-3y)+5y=-21，16-6y+5y=-21，-y=-37，所以y=37點評  如果方程組中沒有系數(shù)是1的未知數(shù)，那么就選擇系數(shù)最簡單的未知數(shù)來變形分析  此方程組里沒有一個未知數(shù)的系數(shù)是1，但方程(1)中x的系數(shù)是2，比較簡單，可選擇它來變形解： 由(1)，得 2x=8+7y，          &

7、#160;                                     (3)把(3)代入(2)，得分析  本題不僅沒有系數(shù)是1的未知數(shù)，而且也沒有一個未知數(shù)的系數(shù)較簡單經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，若將兩個方程相加，得出一個x，y的

8、系數(shù)都是100、常數(shù)項是200的方程，而此方程與方程組中的(1)和(2)都同解這樣，就使問題變得比較簡單了解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2                                    

9、0;       (3)解這個方程組由(3)，得 x=2-y                                        

10、          (4)把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，-6y=6，所以y=-1分析  經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，(1)和(2)中x的系數(shù)都是6，若將兩方程相減，便可消去x，只剩關(guān)于y的方程，問題便很容易解決、這種方法叫“加減消元法”解：(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3把y=-3代入(2)，得：6x-5×(-3)=17，6x=2，所以：點評  若方程組中兩個方程同一未知數(shù)的系數(shù)相等，則用減法消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)互為相

11、反數(shù)，則用加法消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，或完全不相等，則可設(shè)法將系數(shù)的絕對值轉(zhuǎn)化為原系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)，然后再用加減法消元在進行加減特別是進行減法運算時，一定要正確處理好符號分析  方程組中，相同未知數(shù)的系數(shù)沒有一樣的，也沒有互為相反數(shù)的但不難將未知數(shù)y的系數(shù)絕對值轉(zhuǎn)化為12(4與6的最小公倍數(shù))，然后將兩個方程相加便消去了y解：(1)×3，得9x+12y=48                 

12、0;                               (3)(2)×2，得10x-12y=66               &#

13、160;                                               (4)(3)+(4)，得19x=114

14、，所以x=6把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，點評  將x的系數(shù)都轉(zhuǎn)化為15(3和5的最小公倍數(shù))，比較起來，變y的系數(shù)要簡便些一是因為變y的系數(shù)乘的數(shù)較小，二是因為變y的系數(shù)后是做加法，而變x的系數(shù)后要做減法例6  已知xm-n+1y與-2xn-1y3m-2n-5是同類項，求m和n的值分析  根據(jù)同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n解：因為xm-n+1y與-2xn-1y3m-2n-5是同類項，所以解這個方程組整理，得(4)-(3)，得2m=8，所以m=4把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3所分析 

15、 因為x+y=2，所以x=2-y，把它代入方程組，便得出含y，m的新方程組，從而求出m也可用減法將方程組中的m消去，從而得出含x，y的一個二元一次方程，根據(jù)x+y=2這一條件，求出x和y，再去求m解：將方程組中的兩個方程相減，得x+2y=2，即(x+y)+y=2因為x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4把m=4代入m2-2m+1，得m2-2m+1=42-2×4+1=9例8  已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值分析  已知條件是三個都含有x，y的連等代數(shù)式，這種連等式可看作是二元一次方程組，

16、這樣的方程組可列出三個，我們只要解出其中的一個便可求出x和y，從而使問題得到解決解：已知條件可轉(zhuǎn)化為整理這個方程組，得解這個方程組由(3)，得x=y-1             (5)把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=12x-y=0例9  解方程組 分析 先從方程組中選出一個方程，如方程（1），用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，把它代入另一個方程中，得到一個一元一次方

17、程，解這個方程求出一個未知數(shù)的值，再代入求另一個未知數(shù)的值解 由（1），得，         （3）把（3）代入（2）中，得，解得 把代入（3）中，得， 是原方程組的解例10 解方程組 分析 方程組的兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)時，可以用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等，或互為相反數(shù)，再把所得的兩個方程相加減就可以消去一個未知數(shù)解 （1）×3，得   （3）（2）×2，得    

18、60; （4）（3）+（4），得， .把代入（1）中，得， 是原方程組的解例11  若方程組的解x、y，滿足，求正數(shù)m的取值范圍解 由 可解得 又 ， ， 滿足條件的m的范圍是.例12 解方程組 分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知數(shù)）表示同一個數(shù)，因此將（1）中的值代入（2）中就可消去，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元一次方程解：將（1）代入（2），得 ，解得，把代入（1）得 ， 方程組的解為 例13解方程組 解：由（1）得     （3）把（3）代入（2），得 ，解得 把代入（3），得 ，解得 方程組的解為 說明： 將作為一個整體代入

19、消元，這種方法稱為整體代入法，本題把看作一個整體代入消元比把（1）變形為再代入（2）簡單得多1.2 二元一次方程組的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1能夠借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用2進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性3體會列方程組比列一元一次方程容易4進一步培養(yǎng)化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力5掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；重點： 1經(jīng)歷和體驗用二元一次方程組解決實際問題的過程。2進一步體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型。難點：正確找出問題中的兩個等量關(guān)系知識要點梳理知識點一：列方程組解應(yīng)用

20、題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫

21、助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?×水速。注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2工程問題：工作效率×工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價成本(進價)；(2)；(3)利潤成本（進價）×利潤率；(4)標(biāo)價成本(進價)×(1利潤率)；(5)實際售價標(biāo)價×打折率；注意：“商品利潤售價成本”中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之

22、幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲蓄問題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。 利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。 (2)基本關(guān)系式 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息× (1利

23、息稅率) 年利率月利率×12 。注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長率)增長后的量；原量×(1減少率)減少后的量.7和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9濃度問題：溶液質(zhì)量

24、×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的12優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可

25、間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系；4列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6寫出答案.要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得 的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組. 解答步驟簡記為：問題方程組解答(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位

26、，列 方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。 經(jīng)典例題透析類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機. 這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？ 思路點撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機的行程. (2)有兩個等量關(guān)系： 相向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程

27、160千米; 同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程.解：設(shè)汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小時千米.根據(jù)題意，列方程組 解這個方程組，得:.答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？解：設(shè)甲、乙兩人每小時分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：解得：答：甲每小時走6千米，乙每小時走3.

28、6千米?！咀兪?】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度靜水中的速度水速船逆流速度靜水中的速度水速 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，水速為y千米/時，則 ，解得：答：船在靜水中的速度為17千米/時，水速3千米/時。類型二：列二元一次方程組解決工程問題2一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天

29、完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？ 思路點撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元。設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：(1)設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，依題意得： 解得 答：甲組單獨做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付140元。 (2)單獨請甲組做，需付款300×1

30、23600元，單獨請乙組做，需付款24×1403360元，故請乙組單獨做費用最少。答：請乙組單獨做費用最少?？偨Y(jié)升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進行分析。舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得

31、：， 解得：所以甲、乙單獨完成這項工程分別需要10周、15周。設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：，解得：故甲公司單獨完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨完成需工錢：（萬元）。 答：甲公司單獨完成需6萬元，乙公司單獨完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨完成. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元？ 思路點撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤進價×利潤率解：甲商品的進價為x元，乙商品

32、的進價為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進價分別為600元和400元。舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：，解得答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價 進價）求該商場購進A、B兩種商品

33、各多少件；解：設(shè)購進A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：化簡得： 解得：答：該商場購進A、B兩種商品分別為200件和120件。類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）思路點撥： 設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格： 解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：，解得：

34、答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%） 思路點撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=

35、利息 金額 ×20%）.不扣稅時：利息=本金×年利率×年數(shù). 解：設(shè)第一種儲蓄的年利率為x，第二種儲蓄的年利率為y，根據(jù)題意得: ，解得:答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%. 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)

36、為y元，根據(jù)題意得：，解得： 答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用

37、60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路點撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；制盒身

38、個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù). 解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子. 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有 x人，生產(chǎn)螺母的有y人，則：，解得：答：生產(chǎn)螺栓的有25人，生產(chǎn)螺母的有35人?！咀兪?】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立

39、方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？解：設(shè)用 x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：， 解得：可做50×3150張方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。類型六：列二元一次方程組解決增長率問題6. 某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 思路點撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題

40、意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，由題意得：，解得：答：今年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市

41、的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬；（2）城鎮(zhèn)人口×(1+0.8%)+農(nóng)村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：解得答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬人，農(nóng)村人口為28萬人類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問題7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的

42、1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。解：設(shè)原計劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 舉一反三：【變式1】 (2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議號召個

43、人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動解：設(shè)中國內(nèi)地去年有x個城市參加了此項活動，今年有y個城市參加了此項活動依題意得 ， 解得： 答：去年有33個城市參加了此項活動，今年有86個城市參加了此項活動【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅

44、色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時 只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：，解得：答：男孩4人和女孩有3人。類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8. 兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位

45、數(shù)。思路點撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：，解得：答：這兩個兩位數(shù)分別為45，23.舉一反三：【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，則：，解得：答：這兩位數(shù)為56 【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩

46、位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y， 根據(jù)題意得：，解得：答：這個兩位數(shù)為72.【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為 x，個位數(shù)字為y，由題意得：， 答：所求三位數(shù)是504。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直

47、接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：， 答：甲取20kg，乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg和5y kg，則甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：， 所以 10x=20,5y=30.答：甲取20

48、kg，乙取30kg總結(jié)升華：此題的第（1）個相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？思路點撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量

49、關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。解：設(shè)含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克，依題中的兩個相等關(guān)系得：，解之得：答：需要10%的鹽水6.4千克與85%的鹽水5.6千克【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？解：設(shè)需要用x千克濃度為35%的農(nóng)藥加水y千克，根據(jù)題意得：，解之得：答：需要用40千克濃度為35%的農(nóng)藥加水760千克。類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？ 思路點撥：初看這道題目中沒有提供

50、任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點撥：此題隱含兩個可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米

51、，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。解：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：， 所以正方形的邊長為：9+3=12厘米正方形的面積為：=144厘米長方形的面積為：159=135厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵。【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？解：設(shè)草坪的長為y m 寬為x m，依題意得：，解得：答：草坪的長為m,寬為m類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減