初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題概述及練習(xí)題北師大版

1、初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題及練習(xí)題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.關(guān)鍵：動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化水平的考查.從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形,通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等研究手段和方法,來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化,在解題過程中滲透空間觀念和合情推理.選擇根本的幾何圖形,讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程,以水平立意,考查學(xué)生的自主探究水平,促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的水平.圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況,

2、需要理解圖形在不同位置的情況,才能做好計(jì)算推理的過程.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)探究題的根本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向開展.這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新,目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的水平,內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理水平等.從數(shù)學(xué)思想的層面上講：1運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；2方程思想；3數(shù)形結(jié)合思想；4分類思想；5轉(zhuǎn)化思想等.研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題,就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向,它有利于我們教師在教學(xué)中研究對(duì)策,把握方向.只的這樣,才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素

3、養(yǎng),在素質(zhì)教育的背景下更明確地表達(dá)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向.本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn).專題一：建立動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們?cè)鯓咏⑦@種函數(shù)解析式呢？下面結(jié)合中測(cè)試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式.專題二：動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形,考查問

4、題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置.動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn),近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值.下面就此問題的常見題型作簡單介紹,解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥.一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題.一點(diǎn)動(dòng)問題.二線動(dòng)問題.三面動(dòng)問題.二、解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有：1、特殊探路,一般推證.2、動(dòng)手實(shí)踐,操作確認(rèn).3、建立聯(lián)系,計(jì)算說明.三、專題二總結(jié),本大類習(xí)題的共性：1 .代數(shù)、幾何的高度綜合數(shù)形結(jié)合；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查；四大

5、數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù).2 .以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值.專題三：雙動(dòng)點(diǎn)問題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體,運(yùn)動(dòng)變化為主線,集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體,集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng),水平要求高,它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作水平,空間想象水平以及分析問題和解決問題的水平.其中以靈活多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問題更成為今年中測(cè)試題幽點(diǎn),現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析,供讀者欣賞.1 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體,探求函數(shù)圖象問題.2 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體,探求結(jié)論開放性問題.3 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體,探求存在性問題.4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載

6、體,探求函數(shù)最值問題.雙動(dòng)點(diǎn)問題的動(dòng)態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對(duì)同學(xué)們獲取信息和處理信息的水平要求較高；解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng).專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題專題五：以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),中考經(jīng)?？疾?有一類動(dòng)點(diǎn)問題,題中未說到圓,卻與圓有關(guān),只要巧妙地構(gòu)造圓,以圓為載體,利用圓的有關(guān)性質(zhì),問題便會(huì)迎刃而解；此類問題方法巧妙,耐人尋味.例 1.如圖,在矩形ABC珅,AD=8,CH4,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DA以每

7、秒 1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向以每秒 2 個(gè)單位長的速度移動(dòng),當(dāng)B,E,F三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t(秒).(1)求當(dāng) t 為何值時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);(2)設(shè)四邊形BCFE勺面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;(3)求當(dāng)t為何值時(shí),以E,F,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;例 2.正方形ABCD邊長為 4,M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),保持AM和MN垂直,(1)證實(shí)：RtAABMsRt/XMCN;(4)求當(dāng)t為何值時(shí),/BEB/BFC(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y

8、與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABCN面積最大,并求出最大面積；(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)RtAABMsRtAAMN,求此時(shí)x的值.例 3.如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,AD=3,DC=5,AB=42,/B=45.動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(09 年濟(jì)南中考)(1)求 BC 的長.(2)當(dāng)MN/AB時(shí),求t的值.(3)試探究：t為何值時(shí),4MNC為等腰三角形.例 4.如圖,在 RtAAOE,ZAOB=90,OA=3cm,OB=4cm

9、,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,設(shè)P、Q分別為ABOB邊上的動(dòng)點(diǎn)它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),速度均為1cm/秒,設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t(0wtw4)(1)求AB的長,過點(diǎn)P做PMLOA于M求出表不)(2)求OPQg積S(cm2),與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)式,當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值？最大是多少？(3)當(dāng)t為何值時(shí),OPW直角三角形？(4)假設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度不變,改變Q的運(yùn)動(dòng)速度,角形,求Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值.P點(diǎn)的坐標(biāo)(用t之間的函數(shù)關(guān)系使OP汕正三動(dòng)點(diǎn)練習(xí)題答案:例 1.解：(1)當(dāng)B,E,F三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),如圖 2 所示.(1 分)由題意可知：ED=t,BC=8,FD=2

10、t-4,FC=2t.ED/BCFEWFBC.里=里.FCBC2t-4t-=一.解得t=4.2t8當(dāng)t=4 時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；(3 分)2.ED=t,CF=2t,.S=SkBC+&BC=1X8X4+1X2tXt=16+tl222即S=16+t.0wtW4;6 分3假設(shè)EF=EC寸,那么點(diǎn)F只能在CD的延長線上,E良2t-42+t2=5t2-16t+16,EC=42+t2=t2+16,5t2-16t+16=t2+16.,t=4 或t=0舍去；假設(shè)EC=FC寸,.EC=42+t2=t2+16,FC2=4t2,.t2+16=4t2.t=4V3;3假設(shè)EF=FC寸,.E=2t-42+t2=5

11、t2-16t+16,FC2=4t2,5t2-16t+16=4t2.t1=16+873舍去,12=16873.當(dāng)t的值為4,-73,16-8召時(shí),以E,F,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三AD/BC/BCE/CED假設(shè)/BEG/BFC貝U/BEG/BCE即BE=BC-B=t2-16t+80,t2-16t+80=64.t1=16+8而舍去,12=16-8*.當(dāng)t=16-8萬時(shí),/BEB/BFC12 分例2.解：1在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,B-C=90,/AMMN,.AMN=90,.CMNAMB=90,在RtAABM中,/MAB+/AMB=90,.CMN=MAB,二RtAABMsRtAM

12、CN,（2）；RtAABMC/DRtAMCN,ABBM4x.r.,r,MCCN4-xCN3角形；9 分.BCCF4在 RtABCF口 RtCEDK/BCR/CD=90,一=一=2,CDEDRtABCfRtACED./BFG/CED10 分CN_-x24x,y=S弟形ABCN-x2+4x、4+44=-1x22212-x-2+10,2當(dāng)x=2時(shí),y取最大值,最大值為 10.（3）；NB=NAMN=90,例 3.解：1如圖,過A、D分別作AK_LBC于K,DH_LBC于H,那么四邊形ADHK是矩形KH=AD=3.2在RtAABK中,AK=AB_sin45=4V2.=42在RtACDH中,由勾股定理得

13、,HC=舊-42=3如圖,過D作DG/AB交BC于G點(diǎn),那么四邊形ADGB是平行四邊形 MN/AB .MN/DGBG=AD=3GC=10-3=7由題意知,當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),CN=t,CM=10-2t. DG/MN .ZNMC=/DGC又/C=/C AMNCsGDCCNCMCDCG,要使AABMAMN,必須有AMMNABBM由1AM_AB麗一麗:BM=MC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),ABMsAMN,此時(shí)x=2.BK=ABbos452BC=BKKHHC=433=10圖圖當(dāng)MN=MC時(shí),如圖,過M作MF.LCN于F點(diǎn).FC1NC=2./C=/C,/MFC=/DHC=90AMFCs/XDHCFCH

14、C1t即2-=360t:17MCDC10-2t綜上所述,當(dāng)102560t=一、t=一或1=一時(shí),3817MNC為等腰三角形例 4.(1)由題意知:BD=5,BQ=t,QC=4-t,DP=t,BP=5-t.PQ!BC.BP6BDCBPBQ5-t即BDBC510-2t解得,t=5017(3)分三種情況討論：當(dāng)NC=MC時(shí),如圖,即t=102t當(dāng)MN=NC時(shí),如圖,過N作NE_LMC于E./C=/C,/DHC=/NEC=90.ANECADHCNCECDC即,5HC5-t3258-10t=圖20一一當(dāng) 1=一時(shí),PQ!BC3 分9(2)過點(diǎn) P 作 PMLBC,垂足為 M5-tPM3一,.BPMhBDC-=PM=-(5-t)4 分535一1-33515St(5t)=(t)+5分251028,當(dāng) t=5 時(shí),S有