導數(shù)解答題專練 （零點個數(shù)問題）-2022屆高考數(shù)學二輪專題復習（含答案）

1、高考導數(shù)解答題專練（零點個數(shù)問題）在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8) 若，使得，則；若，使得，則.(9)(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(

2、10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1設(shè)函數(shù)，（1）證明：當，時，f(x)0；（2）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)2已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1（1）求實數(shù)，的值；（2）若函數(shù)有且僅有三個零點，求實數(shù)的取值范圍3已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點，求的取值范圍4設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意，函數(shù)有兩個不

3、同的零點，求的取值范圍；（）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足（注是自然對數(shù)的底數(shù)）5已知函數(shù)（）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由6已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍7已知函數(shù)（1）證明：有唯一極值點；（2）討論的零點個數(shù)8已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象，并說明理由；（3）求函數(shù)的零點的個數(shù)9已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并給予證明10已知函數(shù)，其中，（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極值，若

4、存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數(shù)在，上零點的個數(shù)11設(shè)，（1）討論在，上的單調(diào)性；（2）令，試判斷在上的零點個數(shù)，并加以證明12已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（1）若對任意有f(x)m恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個零點，求實數(shù)的范圍高考導數(shù)解答題專練三（零點個數(shù)問題）解析1設(shè)函數(shù)，（1）證明：當，時，f(x)0；（2）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)解：（1）證明：令，在，上單調(diào)遞增注意到，存在唯一的使且當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；注意到，f(x)0（2），當時，單調(diào)遞減，在上有一個零點當時，由（1）知，無零點當時，令，且當時，單調(diào)遞增；當時

5、，單調(diào)遞減，當時，也無零點綜上：在上有唯一的零點2已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1（1）求實數(shù)，的值；（2）若函數(shù)有且僅有三個零點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）函數(shù)，則，當時，令，可得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，的減區(qū)間為，由，（2），因為函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，；當時，令，可得，此時函數(shù)的減區(qū)間為，的增區(qū)間為，由，（2），因為函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，綜上所述，或，；（2）當時，若函數(shù)有且僅有三個零點，實數(shù)的取值范圍為；當，時，若函數(shù)有且僅有三個零點，實數(shù)的取值范圍為3已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒

6、有零點，求的取值范圍解：（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，可得，由于，則在上恒成立，令，故在上單調(diào)遞增，所以只需即可，所以，所以的取值范圍是，（2）的定義域為，令，當時，單調(diào)遞增，故存在，使得，即，即，兩邊取對數(shù)得，而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，故，將代入上式得，化簡得，因為，當且僅當，即時取等號，所以，故，即的取值范圍是4設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；（）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足（注是自然對數(shù)的底數(shù)）解：（），當時，由于，則，故，此時在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，令，解得，此時在單調(diào)遞減，

7、在單調(diào)遞增；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（）由（）知，要使函數(shù)有兩個不同的零點，只需即可，對任意均成立，令，則，即，即，即，對任意均成立，記，則，令（b），得，當，即時，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時（b），不合題意；當，即時，易知（b）在，單調(diào)遞減，此時，故只需，即，則，即；綜上，實數(shù)的取值范圍為，；（）證明：當時，令，解得，易知，有兩個零點，不妨設(shè)為，且，由，可得，要證，即證，即證，而，則，要證，即證，即證，而，即得證5已知函數(shù)（）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由解：（）當時，則切線的斜率（1），

8、所以切線方程為，即，所以曲線在點，（1）處的切線方程為（）的定義域為，令，解得，當時，與在區(qū)間上的情況如下：100極大值極小值在上遞增，在上遞減，在上遞增此時，所以在上只有一個零點，當時，由，得，（舍，所以在上有一個零點；當時，與在區(qū)間上的情況如下：10極小值此時，若時，所以在上無零點，若時，所以在上有一個零點，若時，所以有兩個零點綜上所述，當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點；，當時，在上無零點6已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）當時，所以，令，得，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以為函數(shù)的極小值點，極小值為；無極大值（2）由，得當時，

9、此時函數(shù)沒有零點，符合題意；當時，所以函數(shù)單調(diào)遞減又，且，所以函數(shù)有零點，不符合題意；當時，令，則當，時，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當，時，所以函數(shù)單調(diào)遞增所以，若函數(shù)沒有零點，則需，即，得綜上所述，若函數(shù)無零點，則實數(shù)的取值范圍為，7已知函數(shù)（1）證明：有唯一極值點；（2）討論的零點個數(shù)解：（1）設(shè)，則，故單調(diào)遞增又，故存在唯一，使得當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增故是的唯一極值點；（2）由（1）是的極小值點，且滿足又；同理故時，有兩個零點；時，有一個零點；時，無零點又令，解得，即令，此時關(guān)于單調(diào)遞增，故令，解得，即此時，故令，解得，即此時關(guān)于單調(diào)遞增，故綜上所述：當時，有兩個零點；當時，有一個零點；

10、當時，無零點8已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象，并說明理由；（3）求函數(shù)的零點的個數(shù)解：（1）函數(shù)，定義域為，則，令，解得，當時，則單調(diào)遞減，當時，則單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有極小值，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極小值，無極大值；（2）令，解得，當時，當時，所以的圖象經(jīng)過特殊點，當時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸式增長，增長速度更快，結(jié)合（1）中的單調(diào)性與極值情況，作出函數(shù)的圖象如圖所示：（3）函數(shù)的零點的個數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，由（1）以及（2）的圖象可知，當時，有極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象，所以關(guān)于函數(shù)的零點的個數(shù)如下：當時，零點的個數(shù)為0個

11、；當或時，零點的個數(shù)為1個；當時，零點的個數(shù)為2個9已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并給予證明解：（1），由題意得，即在區(qū)間上恒成立，當時，所以，故實數(shù)的取值范圍是，（2）由已知得，則，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，又，（1），故函數(shù)有且只有一個零點當時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減；令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，而，在上恒成立），由于，所以，所以在，上存在一個零點，又，且，設(shè)（a），（a）在恒成立，故（a）在上單調(diào)遞增，而，所以（a）在上恒成立，所以，所以在，上存在一個零點綜上所述，當時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，有兩個零點10已知函數(shù)，其中，（1）當時，求曲

12、線在點，處的切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數(shù)在，上零點的個數(shù)解：（1）時，故切線方程是：；（2），設(shè)，故遞減，又時，若，即時，使，當時，遞增，當，時，遞減，在處取極大值，不存在極小值，若，即，在，遞增，此時無極值，（3）由（2）可知：若時，由上問可知：，即時函數(shù)沒有零點，若時，時，遞增，時，遞減，由得，從而，再設(shè)，則從而關(guān)于遞增，若，此時，若得或，時無零點，得，時有1個零點，當時，有1個零點，因此時無零點，時有1個零點；，此時，設(shè)，則，故，若即，即時無零點，若即，即時有1個零點，綜上，時無零點，時有1個零點11設(shè)，（1）討論在，上的單調(diào)性；（2）令，試判斷在上的零點個數(shù)，并加以證明解：（1），令，則，或，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，和，（2）在上有3個零點，證明如下：，則，故是的一個零點，是偶函數(shù)，要確定在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，當時，令，即，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，在有唯一零點當時，由于，而在，單調(diào)遞增，故，故在，無零點，在有一個零點，由于是偶函數(shù)，在有一個零點，而，故在上有且僅有3個零點12已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（1）若