7.4基本不等式及其應用

1、基礎知識自主學習d d 知識梳理要點講解深屋究破a +b1. 基本不等式.abw2(1)基本不等式成立的條件：a0, b0.等號成立的條件：當且僅當a = b 時取等號.2. 幾個重要的不等式(1) a1 2 3 4+ b2 2ab(a, b R).(2) b +2(a, b 同號).a + b2(3) abw 2(a,bR).a2+ b2a + b222(a，b R).以上不等式等號成立的條件均為a = b.3. 算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+ b設 a0, b0,則 a, b 的算術平均數(shù)為于，幾何平均數(shù)為.ab,基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).4.利用基本不等式

2、求最值問題已知 x0, y0,則2 如果積 xy 是定值 p，那么當且僅當 xy 時，x+ y 有最小值 2 p.(簡記：積定和最小)p23 如果和 x+ y 是定值 p,那么當且僅當 xy 時，xy 有最大值 4(簡記：和定積最大)【思考辨析】7,4基本不等式及其應用判斷下面結論是否正確(請在括號中打“V 或“X)1(1)函數(shù) y= x+ -的最小值是 2.(x4n函數(shù) f(x) = cos x cosx，x (0, 2)的最小值等于 4.(“x0 且 y0”是“ y+2”的充要條件.(X)1若 a0,則 a3+2的最小值為 2 a.(X)aa p b _不等式 a2+ b22ab 與廠 ,

3、ab 有相同的成立條件.(X)快速雜答自萱自糾1.設 x0, y0，且 x+ y= 18,則 xy 的最大值為 答案 81解析/ x0, y0.即 xy y0，且 log2x+ log2y= 1，貝 U的最小值為xy 5答案當且僅當 x= y= 9 時,(Xy)max= 81.考點自測解析x2+ y2x y2+ 2xy 由log2x+ log2y= 1 得 xy= 2，又 xy0,所以 x y0,x yx-y4=x y +x- yx y -L = 4,當且僅當 x y= 2,即 x= 1 +也，y=也1 時取等號,x yx2+ y2所以 的x-y最小值為 4.13.若函數(shù) f(x) = x+-

4、(x2)在 x= a 處取最小值，則x 2a=答案 31解析 當 x2 時，x 20, f(x)= (x 2) + - + 2x 21x2Xx 2+2=4，當且僅當 x-2(x2)，即 x= 3 時取等號，即當 f(x)取得最小值時，x= 3,即 a= 3.x 2判斷下面結論是否正確(請在括號中打“V 或“X)4 若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是 _m6 7.答案 251解析 設矩形的一邊為 x m,則另一邊為 2X(20 2x)= (10 x)m,x+ 10 x y = x(10 x)2 4xy= 4 xy,6當且僅當 5 4x=，即 x = 1 時，等號

5、成立.x=-題型分類深度剖析題型一利用基本不等式求最值命題點 1 配湊法求最值51例 1(1)已知 x1)的最小值為 _.x 1x+ 3 + x 1 答案 (1)1 (2)2 . 3 + 2(3)15解析 因為 x0, 1 _ 1則 f(x) = 4x 2 += (5 4x+) + 32 3+ 2.x 13當且僅當(x1)=二 1，即x= ,3+VIII時，等號成立.(3)令 t=x 1 0,貝 U x= t2+ 1 ,VIII即 y 的最大值為 耳當 t = 2,即 x = 5 時 y 取得最大值).思維升華(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提:等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是

6、指應用基本不等式求最值時，和或積為定值,相等”是指滿足等號成立的條件.(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式， 然后再利用基本不等式.命題點 2 常數(shù)代換或消元法求最值例 2 (1)若正數(shù) x, y 滿足 x+ 3y= 5xy，則 3x+ 4y 的最小值是 _ .(2)_(高考改編題)設 a + b = 2, b0，則 盤廣骨取最小值時，a 的值為_.答案(1)5(2) 2(2)y=x2+ 2x 1所以 y=tt2+ 1 + 3+ ttt2+ t + 41當 t = 0，即 x = 1 時，y= 0;1當 t0,即 x1 時，y= 4,t + - +

7、 14因為 t+ - 2 4= 4(當且僅當 t = 2 時取等號),一正一疋三相a、所以 y=45,t + - + 113解析 方法一 由 x+ 3y= 5xy 可得 1 + -3=1,5y 5x13 3x+ 4y=(3x+ 4y)(喬 + 衣9 4 3x 12y1312555y5x 55(當且僅當希=啜，即 x= 1, y=1時，等號成立), - 3x+ 4y 的最小值是 5.方法二 由 x + 3y = 5xy 得 x=3 ,5y 11 x0, y0, y5,113951=丁+5 -7+4(y5)y51當且僅當 y= 2 時等號成立，（3x+ 4y）min= 5./ a+ b = 2,a

8、+b. Jai4|a| 十 b當且僅當 4a 廠早時等號成立 又 a 十 b = 2, b0,當 b=2a,a=2時，2首十學取得最小值.思維升華 條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形， 利用常數(shù)“1”代換 的方法構造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值. 3x+ 4y=旦 + 4y =5y 113194y5 + 5 + 54y+ 4y5y 1a b4|a|+ 4|a|a4|a|十1,十譽扁丄xlaJ4|a| b囲採訓練 1|已知 x,y (0,+ ) ,2x3= ($,若+訓0)的最小值

9、為 3，則(2)(2015 南昌模擬)已知 x0 , y0, x+ 3y+ xy= 9,貝 U x+ 3y 的最小值為 _答案(1)4(2)61解析 由 2x-3=(2)y得 x+ y= 3,1 m 11 m+ 一=3 (x+ y)(一 + )x y3x y71y mx=3(1+m+x+13(1 + m+ 2 . m),(當且僅當 x=于時取等號)1 _ 二尹 + m+ 2 m)= 3,解得 m= 4.9 - 3y(2)由已知得 x=.1 + y方法一(消元法)/ x0, y0, / y 2氣-3y+ 3 6 = 6,+ y12當且僅當- =3y+ 3,1 + y即 y = 1, x= 3 時

10、，(x+ 3y)min= 6.方法二 / x0 , y0,11 x+ 3y29 (x+ 3y)= xy= 3X y)0，貝 U t2+ 12t 1080, (t 6)(t + 18)0,又；t0, t 6.故當 x= 3, y= 1 時，(x+ 3y)min= 6.題型二基本不等式與學科知識的綜合命題點 1 用基本不等式求解與其他知識結合的最值問題41例 3 (1)已知直線 ax + by+ c 1= 0(b, c0)經(jīng)過圓 x2+ y2 2y 5 = 0 的圓心，貝 U - + -的最小b c值是_.11已知 a 0.b O.a.b 的等比中項是 1.且 m= b + -,n = a + -

11、,則 m+ n 的最小值是.ab答案(1)9(2)4解析 圓 x2+ y2 2y 5= 0 化成標準方程，得 x2+ (y 1)2= 6,所以圓心為 C(0,1).因為直線 ax+ by+ c 1 = 0經(jīng)過圓心 C,所以 ax0 + bx1+ c 1 = 0，即卩 b+ c= 1.4141因此 b+1=(b+c)(b+1 = b由此可得 b= 2c,且 b + c= 1,即卩 b= 3, c=3 時，b+ c 取得最小值 9.4c bT+c+5.因為 b, c0,當且僅當= 時等號成立.由題意知：1 1ab= 1, m= b +a= 2b, n = a+匕=2a, m+ n = 2(a+ b

12、) 4,ab= 4，當且僅當 a= b= 1 時，等號成立.命題點 2 求參數(shù)的值或取值范圍例 4 (2015 濱州模擬)已知 a0, b0，若不等式3+IX X 瞧恒成立，則m 的最大值為a b a+ 3b答案 12解析 由3+卜 一a ba + 3b31 9b a得 mw(a+3b)(a+b)=了+b+6.一 9b a- m 3 恒成立，則 a 的取值范圍是xI1答案(1)2(2)-3, +-)解析由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足 a7= a6+ 2a5，可得 a1q6= a1q5+ 2a1q4,所以 q2-q-2 = 0,解得 q= 2 或 q=- 1(舍去).因為.aman= 4a1,

13、 所以 qm+n-2= 16,所以 2m+n-2= 24,所以 m+ n= 6.X4114所以 m+n=6(m+n)(m+n12,1 n 4m=6(5+m+T)1n 4m 36(5+2=2.當且僅當 m = 4m 時，等號成立,1 43故 m +4的最小值等于 2.x2+ ax + 118(2)對任意 x N*, f(x) 3 恒成立，即 3 恒成立，即知 a(x+ -) + 3.x+ 1XI設 g(x)= x +8, x N*，貝 y g(2) = 6, g(3) = 1788g(2)g(3),g(x)min=3. .(x+)+3W38 8.a 3，故 a 的取值范圍是3, +m.題型三 不

14、等式的實際應用例 5 運貨卡車以每小時 x 千米的速度勻速行駛 130 千米，按交通法規(guī)限制 50Wx 100(單位: 千米/時).假設汽油的價格是每升 2 元，而汽車每小時耗油(2 + 3)升，司機的工資是每小時 14 元.(1)求這次行車總費用 y 關于 x 的表達式；當 x 為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.130解(1)設所用時間為 t = (h),XIy=跌2X(2+蓋)+14X130 x50,100一130X18 2X130所以，這次行車總費用y 關于 x 的表達式是 y= x + x, x 50,100.130X18 2X130 ly=r +2Tx26,10當且

15、僅當130X182X130360 “即 x= 18 .10,等號成立.故當 x= 18 .10 千米/時時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26 70 元.亠 2 34013(或y=+五 x，x 50,100).思維升華(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.録躇訓練 2 某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250 萬元，每生產(chǎn) x 千件，需另投入成本為 C(x),一 1 一當年產(chǎn)量不足 80 千件時，C(x) = 3X12 13

16、14 15 16 17 18 19 20+ 10 x(萬元)當年產(chǎn)量不小于80 千件時，C(x)= 51x +0000 1 450(萬元)每件商品售價為 0.05 萬元通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售x宀 完.寫出年利潤 L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量 x(千件)的函數(shù)解析式;(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?解 (1)當 0 x80 時,L(x)=1 000 xX0.05(51x+10001 450)250=1 200 (x +10胃).+ 40 x 250 0 x 80 .12當 0 x80 時，L(x) = 1 200 (x+10 000)xw1 200 2

17、 ,10 000 = 1 000(萬元),x= 100 時，L(x)最大=1 000(萬元),綜上所述，當 x= 100 時，年獲利最大.當且僅當易錯警示系列9 忽視最值取得的條件致誤1 2典例 已知 x0, y0,且-+ y= 1,貝 U x+ y 的最小值是3函數(shù) y= 1 2x-x(x2 2, x+ y2 xy42，得(x+ y)min= 4 23(2)沒有注意到 xx解析Tx0 , y0 , x + y= (x+ y)(g+ 2)y 2x=3 + x+ 3+ 2.；2(當且僅當 y= .2x 時取等號),當 x= -2 + 1, y= 2 + v2 時,(x+ y)min= 3+ 2,

18、2.答案(1)3 + 2 2溫馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件;(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致.思想方法感悟提高方法與技巧 1 基本不等式具有將 “和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常 常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選 擇好利用基本不等式的切入點.2 對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等,a + be a2+ b2 a+ b 卉 /a2+ b2例如：ab w L2 , .ab0, b0)等，同時還要注意不等式成

19、立的條件和等號成立的條件.2 .6(2) / x 1 + 232x = 1 + 2.：6，當且僅當x =xy 的最小值為 1 + 2,6.(2)1 + 2 61 =丄+ 等號，故3 對使用基本不等式時等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)尸 x+m(m0)的單調(diào)性.X失誤與防范1 使用基本不等式求最值，“ 一正” “二定”“三相等”三個條件缺一不可.2 連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.練出高分A 組專項基礎訓練(時間：30 分鐘)1 下列不等式一定成立的是 _11ig(x21+ 4)ig x(xo)；12sin x+-2(XMknkZ);sin x3x2+ 1 2|X|(XR);

20、14而1(x R).答案1 1解析當 x0 時，X2+2 2= x,21所以 lg(x2+ 4)lg x(x0),故不正確；運用基本不等式時需保證“一正” “二定“三相等”，而當XMknk Z 時，sin x 的正負不定，故不正確；由基本不等式可知， 正確；1 一當 x= 0 時，有-=1，故不正確.x2+ 121設非零實數(shù) a, b,則“ a2+ b22ab”是“ +2 成立”的條件.b a答案必要不充分 解析 因為 a, b R 時，都有 a2+ b2 2ab= （a b）20,a b即 a2+ b2 2ab,而 +b 2? ab0,b aab所以“a2+ b22ab”是“-+ -2 成立

21、”的必要不充分條件.b a1 43已知 a0, b0, a + b= 2,貝 U y=：+匚的最小值是 _a b9答案 214114解析 依題意，得 + = 2（a+4）a（ b）1 b 4a 1b 4a 9=25+（a + b）2（22+2,a-b）=2，a+ b = 2,b 4a24當且僅當a=b，即 a=2, b = 3 時取等號，a0, b0,149即 a + b 的最小值是.4 若 Iog4（3a+ 4b） = log/ab，貝 U a+ b 的最小值是 _ .答案 7+43ab0,a0,解析由題意得 ab 0,所以b0.3a+ 4b0,又 log4（3a + 4b） = Iog2,

22、ab,所以 Iog4（3a + 4b） = Iog4ab,43所以 3a + 4b = ab,故一 + = 1.a b所以 a+ b= （a + b）（4+：） = 7+ 曽+ 晉7+2,，3彎=7+4 3，22_ .已知正數(shù) x, y 滿足 x+2y xy= 0,則 x+ 2y 的最小值為 _當且僅當警=如時取等號.b a答案 82 1 解析 由 x+ 2y xy= 0，得殳+ y= 1，且 x0, y0.21 4y x x+2y=(x+2y)x(一+ )=+-+44+4=8.x y x y6 .規(guī)定記號“？”表示一種運算，即a?b= ,ab + a+ b(a、b 為正實數(shù)).若 1?k=

23、3,貝 U k 的k?x值為_ ，此時函數(shù) f(x)=肢的最小值為 _.答案 13解析1?k=、.；k+ 1 + k= 3，即 k+Jk 2= 0, ,k = 1 或 k= 2(舍去).- k = 1.1?x S+ x+1廠 1f(x)=忑=-眾-=1+ G +換1+2=3,當且僅當 破=士，即卩 x= 1 時等號成立.7.已知 x0, y0,且 4xy x 2y= 4,則 xy 的最小值為 _答案 2解析 / x0, y0, x+ 2y2 2xy, 4xy(x+2y)w4xy2 2xy, 4 0, ,2xy2, xy2.答案 2解析 由題意知：z= x2 3xy+ 4y2, x 4yy+；

24、3 1，當且僅當 x= 2y 時取等號，此時所以 x+ 2y z= 2y+ 2y 2y2= 2 護+ 4y= 2(y 1)2+ 2 3 時，不等式 a 3,所以 x+ 30,故 f(x)2 氣x+ 3 X 3 =22 3,VX+3 V當且僅當 x= 2 3 時等號成立，所以 a 的取值范圍是(一，2 2 3.10._ 若關于 x的方程 9x+ (4 + a)3x+ 4= 0 有解，則實數(shù) a 的取值范圍是 _答案(一38、4解析分離變量得(4 + a) = 3x+彳4,得 aw 8.11.已知 x0 , y0，且 2x+ 5y= 20.(1) 求 u= lg x+ Ig y 的最大值；1 1(2) 求-+ -的最小值.x y解(1) / x0, y0,由基本不等式，得 2x+ 5y210 xy./ 2x+ 5y= 20, 2 . 10 xyw20,xyw10,當且僅當 2x= 5y 時，等號成立.2x+ 5y= 20,x= 5,因此有解得2x= 5y,y= 2,此時 xy 有最大值 10.u=l