幾何畫板與分形欣賞

1、校校本本課課程程高中數學校本選修課程：高中數學校本選修課程：運用幾何畫板探究數學問題運用幾何畫板探究數學問題第四章第四章 幾何畫板與分形幾何畫板與分形校本課程校本課程動手實踐動手實踐 例例1.數學之美數學之美 例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree 例例3.Mandelbrot 集合集合 分形欣賞分形欣賞 分形簡介分形簡介 8個作品個作品目目錄錄課堂引入課堂引入第第1717講講 幾何畫板與分形欣賞幾何畫板與分形欣賞課后作業(yè)課后作業(yè) 2個作業(yè)個作業(yè) 生活中的分形生活中的分形 例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法校校本本課課程程 分形理論是當今世界十分風分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理

2、論、新學科靡和活躍的新理論、新學科. 分形的概念是美籍數學家曼分形的概念是美籍數學家曼德布羅特德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提首先提出的出的. 分形是大自然復雜表面下的分形是大自然復雜表面下的內在數學秩序內在數學秩序.分形簡介分形簡介校校本本課課程程 分形有幾種類型，可以分別依據表現出分形有幾種類型，可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計自相似的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計自相似性來定義性來定義. 簡單的說，分形就是研究無限復雜具備簡單的說，分形就是研究無限復雜具備自相似結構的幾何學自相似結構的幾何學. 分形是指部分與整體以某種方式相似的分形是指部分與整體以某種方式

3、相似的形體稱為形體稱為分形分形.分形簡介分形簡介分形就在我們身邊分形就在我們身邊參天大樹參天大樹連綿的山脈連綿的山脈漂浮的云朵漂浮的云朵雪花雪花小腸絨毛小腸絨毛血液循環(huán)管道系統(tǒng)血液循環(huán)管道系統(tǒng)海岸線海岸線大腦皮層大腦皮層分形就在我們身邊分形就在我們身邊校校本本課課程程例例1. 數學之美數學之美 在正方形內作一個內接正方形，再以相同的縮放比在正方形內作一個內接正方形，再以相同的縮放比再作一個內接正方形，如此下去，當動畫點再作一個內接正方形，如此下去，當動畫點E時，產生時，產生夢幻般的效果夢幻般的效果.校校本本課課程程例例1. 數學之美數學之美【制作步驟制作步驟】1.任取兩點任取兩點A、B，并作正

4、方形，并作正方形 ABCD；2.在在AB上任取一點上任取一點E，連接，連接BE，度量線段，度量線段BE的長度并計算的長度并計算 BE/AB ；3.雙擊雙擊A點作為縮放中心，選擇點作為縮放中心，選擇D點，單擊點，單擊“變換變換”“”“縮放縮放”，以，以 計算結果計算結果“AE/AB ”為比例縮放，得到點為比例縮放，得到點F；同理以；同理以D點為中心，點為中心， 縮放縮放C點得到點點得到點G；以；以C點為縮放中心，縮放點為縮放中心，縮放B點得到點點得到點H，連接，連接 得正方形得正方形EFGH ；4.新建參數新建參數n5，順次選擇，順次選擇A、B 兩點和參數兩點和參數n，按下，按下shift 鍵不

5、放，鍵不放， 作深度迭代，作深度迭代，(A,B)(F,E) ；5.選擇選擇E點，點擊點，點擊“編輯編輯”“”“操作類按鈕操作類按鈕”“”“動畫動畫”，E點變動，產點變動，產 生夢幻般的效果生夢幻般的效果.幾何畫板演示幾何畫板演示校校本本課課程程例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree(畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹) 畢達哥拉斯學派發(fā)現勾股定理（西方叫做畢達哥拉畢達哥拉斯學派發(fā)現勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名于世，又由此導致不可通約量的發(fā)現斯定理）聞名于世，又由此導致不可通約量的發(fā)現. 1988 年，勞威爾通過數值研究發(fā)現畢達哥拉斯樹花是年，勞威爾通過數值研究發(fā)現畢達哥拉斯樹花是

6、一迭代函數系的一迭代函數系的J 集集.校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】1.在屏幕上任取兩點在屏幕上任取兩點A和和B，作正方形，作正方形ABCD，以，以CD為直徑作圓為直徑作圓O， 取半圓弧取半圓弧OCD，在該弧上任取一點，在該弧上任取一點E，連接，連接CE，DE，隱藏不必要，隱藏不必要 的對象；的對象；2.填充四邊形填充四邊形ABCD，度量，度量ABCD的面積，選擇四邊形和度量結果，的面積，選擇四邊形和度量結果， 單擊單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數參數”，則四邊形的顏色會隨它，則四邊形的顏色會隨它 的面積變化而變化；的面積變化而變化；3.新建參數新建參數n4，選擇，選擇A、B和和n

7、，作深度迭，作深度迭(A,B) (D,E)，(E,C)；4.選擇選擇E點，單擊點，單擊“編輯編輯”，“操作類按鈕操作類按鈕”，“動畫動畫”，E點變點變 動，產生很漂亮的效果動，產生很漂亮的效果.例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree(畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹)幾何畫板演示幾何畫板演示校校本本課課程程例例3. Mandelbrot 集合集合 Mandelbrot發(fā)現，小矩形部分的放大就是大矩形，發(fā)現，小矩形部分的放大就是大矩形，后來人們稱之為后來人們稱之為Mandelbrot 集合，又如一根樹枝，宛如集合，又如一根樹枝，宛如一棵大樹的縮小，呈現出明顯的自相似性一棵大樹的縮小，呈現出

8、明顯的自相似性.校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】 1. 在平面上以原點為中心，建立一個矩形在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域；作為觀察區(qū)域； 2. 在線段在線段AD上取一點上取一點E，點擊，點擊“編輯編輯”“”“操作類按鈕操作類按鈕”“”“動畫動畫”，使得，使得E點能夠點能夠 在在AD上運動；上運動； 3. 作作E點關于點關于y軸的對稱點軸的對稱點E，然后連接，然后連接EE，在，在EE上取一點上取一點 G，度量，度量 xG ，yG； 4. 在平面上取一點在平面上取一點F，度量，度量 xF ，yF，計算計算 和和 ，順次選，順次選 擇這兩個度量結果，單擊擇這兩個度量結果，

9、單擊“圖表圖表”“”“繪制點繪制點”，得到點，得到點 H；5. 新建參數新建參數 n100，選擇點，選擇點 F 和參數和參數 n，作深度迭代，作深度迭代，FH； 6. 選擇迭代像，單擊選擇迭代像，單擊“變換變換”“”“終點終點”，得到迭代終點，得到迭代終點 I，度量，度量 I 的橫、縱坐標，的橫、縱坐標， 并計算并計算xI/yI ，選擇這三個結果和點，選擇這三個結果和點 G，單擊，單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數參數”， 得到得到 G； 7. 選中選中G，單擊，單擊“作圖作圖”“”“軌跡軌跡”，隱藏線段，隱藏線段 EE，選擇剛才的軌跡，按右鍵，選擇剛才的軌跡，按右鍵， 單擊單擊“追蹤軌跡

10、追蹤軌跡”； 8. 把把 F 點移至原點，點擊動畫按鈕，則可以得到點移至原點，點擊動畫按鈕，則可以得到 Mandelbrot集集.例例3. Mandelbrot 集合集合 幾何畫板演示幾何畫板演示22FFGxyx2FFGx yy校校本本課課程程例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法 一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】 1.在平面上以原點為中心，建立一個矩形在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域；作為觀察區(qū)域；2.在線段在線段AD上取一

11、點上取一點E，點擊，點擊“編輯編輯”，“操作類按鈕操作類按鈕”，“動畫動畫”，使得，使得E點點 能夠在能夠在AD上運動；上運動；3.作作E點關于點關于y軸的對稱點軸的對稱點E，然后連接，然后連接EE，在，在EE上取一點上取一點G，度量，度量 xG，yG； 4.在平面上取一點在平面上取一點F，度量，度量 xF，yF，計算，計算 ， ， 順次選擇這兩個度量結果，單擊順次選擇這兩個度量結果，單擊“繪圖繪圖”，“繪制點繪制點”，得到點，得到點H； 5.新建參數新建參數n=100，選擇點，選擇點F和參數和參數n，作深度迭代，作深度迭代，FH； 6.選擇迭代像，單擊選擇迭代像，單擊“變換變換”，“終點終點

12、”，得到迭代終點，得到迭代終點I，度量，度量I的橫、縱坐標，的橫、縱坐標， 并計算并計算xI/yI ，選擇這三個結果和點，選擇這三個結果和點G，單擊，單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數參數”， 得到得到 G； 7.選中選中G，單擊，單擊“作圖作圖”，“軌跡軌跡”，隱藏線段，隱藏線段EE，選擇剛才的軌跡，按右鍵，選擇剛才的軌跡，按右鍵 追蹤軌跡，把追蹤軌跡，把 F點移至原點，點擊動畫按鈕點移至原點，點擊動畫按鈕.例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法22222233()GGFGGxyxxy2222233()GGFGGx yyxy幾何畫板演示幾何畫板演示校校本本課課程程分形欣賞分形欣賞u 搖曳的蕨葉搖曳的蕨葉u 花籃簇花籃簇u 蝴蝶蝴蝶u 烏龜與