高數(shù) 對(duì)面積的曲面積分

1、19.3 曲面積分曲面積分9.3.1 對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）9.3.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系9.3.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類曲面積分）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類曲面積分）2oxyz引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求曲線形構(gòu)件質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk “分割，近似，求和，取極限” 的方法,求質(zhì)量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 9.3.1 對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面

2、積分）3定義定義9.3.1 設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面, ,“乘積乘積和式極限和式極限” ” kkkkSf ),( nk 10lim 都存在都存在, ,的的曲面積分曲面積分 Szyxfd),(其中其中 叫做被積叫做被積 是定義在是定義在 上的一上的一 個(gè)有界個(gè)有界函數(shù)函數(shù), ,記作記作或或第一類曲面積分第一類曲面積分。若對(duì)若對(duì) 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點(diǎn)任意取點(diǎn), , 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) 在曲面在曲面 上上對(duì)面積對(duì)面積函數(shù)函數(shù), , 叫做積分曲面叫做積分曲面,dS,dS叫做曲面面積元素。叫做曲面面積元素。),(zyxf),(zyxf),(zyxf4( , ,

3、 )dMx y zS 據(jù)此定義據(jù)此定義, , 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為注：注：12,、則有：則有： Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成兩片光滑曲例如分成兩片光滑曲面面dSS 5則對(duì)面積的曲面積分存在。則對(duì)面積的曲面積分存在。),(zyxf若若在光滑曲面在光滑曲面 上上連續(xù)連續(xù), , 積分的存在性積分的存在性: : 6-與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似（1 1）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)（2 2）關(guān)于積分曲面的可加性）關(guān)于積分曲面的可加性（3 3）關(guān)于被

4、積函數(shù)的不等式性質(zhì)）關(guān)于被積函數(shù)的不等式性質(zhì)（4 4）估值定理）估值定理（5 5）積分中值定理）積分中值定理對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)7( , , ), ,x y zx y z 設(shè)設(shè)曲曲面面 的的面面密密度度為為，質(zhì)質(zhì)心心補(bǔ)補(bǔ)充充坐坐標(biāo)標(biāo)為為( ( ) )，則則：( , , )( , , )xx y z dSxx y z dS 0( , , )=x y z若若，則則：xdSxdS ydSydS zdSzdS ( , , )( , , )yx y z dSyx y z dS ( , , )( , , )zx y z dSzx y z dS dSA 而而其其中中分分母母為為積積分

5、分曲曲面面面面積積。8oxyz定理定理 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(:在在 上連續(xù)上連續(xù), ,存在存在, , 且有且有( , ,)x yDf x y ( , , )f x y z dS ),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則則曲面積分曲面積分證明證明 由定義知由定義知kkkkSf ),( nk 10lim yxD),(kkkyxk)(),(zyxf( , , )f x y z dS ( , , )f x y z dS 9 kS22()1( , )( , )d dkx yxyzx yzx yxy y

6、xkkkykkxzz)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 22( , ,)1( , )( , )d dx yxyDf x yzx yzx yx y ),(yxz ),(,(kkkkzf ),(,(kkkkzf ( , , )df x y zS 而而( ( 光滑光滑) )10說(shuō)明說(shuō)明 1）計(jì)算方法可概括為計(jì)算方法可概括為“一代、二換、三投影，一代、二換、三投影，曲面積分化為二重積分曲面積分化為二重積分”?！耙淮淮睂⒋氡环e函數(shù)，將代入被積函數(shù)， 得；得；“二換二換”將將dS

7、dS換成相應(yīng)的曲面面積元素的表達(dá)式：換成相應(yīng)的曲面面積元素的表達(dá)式： 如，則如，則dxdyzzdSyx221 “三投影三投影”認(rèn)清在平面上的投影區(qū)域，認(rèn)清在平面上的投影區(qū)域，二重積分是在區(qū)域上進(jìn)行的。二重積分是在區(qū)域上進(jìn)行的。 ),(zyxf),(,(yxzyxf),(yxzz ),(:yxzz xoyxyDxyD11如：球面、柱面的面積元素如：球面、柱面的面積元素2sin,dSRd d ( , )dSh x y ds zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(或或可有類似的公式可有類似的公式. .2)如果曲面方程為如果曲面方程為yzzxDD此此時(shí)時(shí)投投影影區(qū)區(qū)域域分分別

8、別為為和和3)若曲面為參數(shù)方程若曲面為參數(shù)方程, , 只要求出在參數(shù)意義下只要求出在參數(shù)意義下d dS S 的表達(dá)式的表達(dá)式, ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分。二重積分。dSRd dz 12回顧回顧 球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素 為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球?yàn)榱税讶胤e分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)平面面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)平面r r= =常數(shù)，常數(shù)， = =常數(shù)，常數(shù)，= =常常數(shù)把積分區(qū)域數(shù)把積分區(qū)域分成許多小閉區(qū)域?？紤]由分成許多小閉區(qū)域。考慮由r r， , ,各取得微小增量各取得微小增量drdr，

9、，dd所成的六面體的體積所成的六面體的體積（如圖）。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)六面體看作（如圖）。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)六面體看作長(zhǎng)方形，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為長(zhǎng)方形，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為 ，緯線方向的寬，緯線方向的寬為為 ，向徑方向的高為，向徑方向的高為drdr，于是得，于是得 d rd drsin,sin2 ddrdrdv 這就是這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素球面坐標(biāo)系中的體積元素。 ddx xy yz zr rdrdrr rO Odrsindsinrdd13yxD例例1 1 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部. .解解yx

10、Dyxyxaz ),( ,:2222222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa dSz 20da0)ln(2122222haraahaaln2222d dx yDax yaxy 22022dhararr2aoxzyha14思考思考若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z z = =h h 截截出的上下兩部分出的上下兩部分, ,) (d zS) (d zS0hln4aa 則則hhoxzy15奇偶函數(shù)在對(duì)稱曲面上的積分性質(zhì)奇偶函數(shù)在對(duì)稱曲面上的積分性質(zhì)1,zox 、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則1( , , )02( , , )f

11、x y z dSfyf x y z dSfy 關(guān)于 是奇函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)關(guān)于 是偶函數(shù)關(guān)于 是偶函數(shù)1其中是 的右半部分其中是 的右半部分162,yoz 、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則1( , , )02( , , )f x y z dSff x y z dSf 關(guān)于x是奇函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)關(guān)于x是偶函數(shù)關(guān)于x是偶函數(shù)1其中是 的前半部分其中是 的前半部分3,xoy 、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則、若積分曲面 是關(guān)于面是對(duì)稱的 則1( , , )02( , , )f x y z dSff x y z dSf 關(guān)于z是奇函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù)

12、關(guān)于z是偶函數(shù)1其中是 的上半部分其中是 的上半部分17例例2解解5yxo18()xyz dS 故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy （或直接由對(duì)稱性）（或直接由對(duì)稱性）5yxo19例例3 計(jì)算計(jì)算,d Szyx其中其中 是由平面是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. . ozyx111解解 設(shè)設(shè)上的部分上的部分, , 則則4321, 4Sdzyx,yxz: 14 1010 xxy:D)y,x(yx xyd)yx(y1011203 1 zy

13、x與與, 0, 0, 0 zyx 103xdx1 zyx4321Szyxd 原式原式 = = 分別表示分別表示 在平面在平面 20例例4 4 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 ： 被柱面被柱面 割下的有限部分。割下的有限部分。 dS)zxyzxy(22yxz 解解 dxdyzzdSyx221 dxdydxdyyxyyxx21222222 )0(222 aaxyx xyDdxdy)yxxyxyxy(I22222y ya a2 2a aO Ox x21 xyDdxdyyxx222042012 2cos(2 cos )4ad 454204 28 2cos8 215 3ada 2 cos2022cosadd 4

14、15264a 說(shuō)明說(shuō)明 也可往也可往yOzyOz或或zOxzOx平面投影而計(jì)算此曲面積分，平面投影而計(jì)算此曲面積分，但投影區(qū)域的表示及二重積分的計(jì)算都較復(fù)雜。但投影區(qū)域的表示及二重積分的計(jì)算都較復(fù)雜。 y ya a2 2a aO Ox x22xozy例例5 設(shè)設(shè)2222:azyx ),(zyxf計(jì)算計(jì)算( , , )If x y z dS 解解 錐面錐面22yxz 的的222yxaz .,2222122azayx 1 設(shè)設(shè) ,),(22122ayxyxDyx ,22yx ，022yxz 當(dāng)當(dāng)22yxz 當(dāng)當(dāng)與上半球面與上半球面交線為交線為為上半球面夾于錐面間的部分為上半球面夾于錐面間的部分,

15、, 它在它在 xoyxoy 面上的面上的投影域?yàn)橥队坝驗(yàn)?yxD則則 122()IxydS 23 yxDyx)(22 dd202222021 aaa)258(614 a 222yxaa yxddxozy1yxD思考思考 若例若例3 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為 ),(zyxf,22yx ，022yxz 當(dāng)當(dāng)22yxz 當(dāng)當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何計(jì)算結(jié)果如何 ? ? 122()IxydS 24,)( dSzyx)0()(:2222 aazyax解解 關(guān)于關(guān)于xOyxOy平面對(duì)稱，所以平面對(duì)稱，所以 0 zdS關(guān)于關(guān)于zOxzOx平面對(duì)稱，所以平面對(duì)稱，所以 0 ydS所以所以 xdS 34 aI 例例6

16、求求_x A24aa x利用重心公式利用重心公式 Sxd SdA25例例7 計(jì)算計(jì)算,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知 SzSySxddd222 SzSySxddd SzyxId)(32222 Szyxd)(34Sxd4 Sxd4 48)3(4142 解解 顯然球心為顯然球心為, )1 , 1 , 1(半徑為半徑為3 x利用重心公式利用重心公式 Sxd Sd).(22zyxz 26例例8 8 求半徑為求半徑為R R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心。的重心。解解 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz ),( ,222利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)利用

17、對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而而 z 2223RRR 用球面坐標(biāo)系用球面坐標(biāo)系coszR 2dsinddSR Sd Szd 20032dcossindR22R 27例例9 計(jì)算計(jì)算),(dRzSI .:2222Rzyx 解解 取球面坐標(biāo)系取球面坐標(biāo)系, , 則則,cos:Rz I0d(cos)2cosRRR RRR ln22dsinddSR 20sindcosRR 20d28zzd例例10 計(jì)算計(jì)算,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之間的圓柱面之間的圓柱面222xyR分析分析 若將曲面分為前后若將曲面分為前后( (或左右或左右) )zRSd2d 則則 HzRzRI022d2

18、 RHarctan2 Hzz ,0oHxyz解解 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片兩片, , 則計(jì)算較繁。則計(jì)算較繁。 29oyxzL例例11 11 求橢圓柱面求橢圓柱面19522 yx位于位于xoyxoy面上方及平面面上方及平面 z = yz = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的側(cè)面積的側(cè)面積 S S 。 解解 )0(sin3,cos5: ttytxL取取dSS szLd tt cosdcos45302 sd5ln4159 zszSdd ttttdcos9sin5sin3220 syLd 30內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 定義定義: : Szyxfd),(iiiiSf ),( ni 10lim 2. 2. 計(jì)算計(jì)算: : 設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz 則則 Szyxfd),( yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他兩種情況類似曲面的其他兩種情況類似) )