任意角和弧度制(共2課時(shí))

1、角角1.1.角的定義角的定義 角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形. .A AOB B始邊始邊終邊終邊頂點(diǎn)頂點(diǎn)角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是可以度量其大小的可以度量其大小的. .在平面幾何中，角的在平面幾何中，角的取值范圍如何？取值范圍如何？ 003600但在實(shí)但在實(shí)際問(wèn)題際問(wèn)題中還會(huì)中還會(huì)遇到其遇到其他角他角探究一：角的形成結(jié)果；探究一：角的形成結(jié)果；在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線

2、繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度所形成的角，與按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度所形成的角，與按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度所度所形成的角是否相等？形成的角是否相等？如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽(tīng)到常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體108010800 0”、“轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體126012600 0”這樣這樣的解說(shuō)因此，僅有的解說(shuō)因此，僅有0 0360360范圍內(nèi)的角范圍內(nèi)的角是不夠的是不夠的角的形成過(guò)

3、程角的形成過(guò)程規(guī)定：規(guī)定：按按逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角正角，按，按順時(shí)針順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做角叫做負(fù)角負(fù)角如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角零角. . .角的方向角的方向度量一個(gè)角的大小，既要考慮度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)方向，又要，又要考慮考慮旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到角的范圍就擴(kuò)展到：任意大小任意大小.B B2 2A AB B1 1O O 對(duì)于對(duì)于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？圖的

4、要點(diǎn)嗎？ 000660,150,210畫(huà)圖表示一個(gè)大小一定的角畫(huà)圖表示一個(gè)大小一定的角:(1)先畫(huà)一條射線作為角的始邊，先畫(huà)一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，(3)再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，(4)畫(huà)出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注畫(huà)出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.問(wèn)題問(wèn)題1： 鐘表經(jīng)過(guò)鐘表經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針與分針各小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) (填度填度). 問(wèn)題：如果你的手表慢了問(wèn)題：如果你的手表慢了2020分鐘，或分鐘，或快了快了1.251.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘

5、分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .探究二：探究二：象限角象限角 思考思考1 1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們?yōu)榱诉M(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合點(diǎn)與原點(diǎn)重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負(fù)半軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy象限角象限角：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第

6、軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，或稱這個(gè)角為任何象限，或稱這個(gè)角為軸線角軸線角.那么下列各角：那么下列各角：-50，405，210, -200，450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo問(wèn)題：?jiǎn)栴}：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限象限角只能反映角的終邊所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能

7、反映角的大小. 問(wèn)題問(wèn)題2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于是否都是銳角？小于90的角是銳角嗎？的角是銳角嗎？ 思考：思考：在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，135135角的角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是定是135135嗎？嗎？xyo探究三：探究三：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？32392xyo o3280003603232800036032392與與32角終邊相同的角有多少個(gè)？

8、角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與這些角與32角在數(shù)量上相差多少？角在數(shù)量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考2 2：所有與所有與3232角終邊相同的角，角終邊相同的角，連同連同3232角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ S=|=S=|=k360k360，kZkZ，即任，即任一與一與終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和與整數(shù)個(gè)周角的和. .思考思考3 3：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的終邊相同的角，連同角角，連同角在內(nèi)所構(gòu)成的集合在內(nèi)所構(gòu)成的集合S S可以怎可以怎樣表示

9、？樣表示？ Zkk,3603200 129 1294848，第二象限角，第二象限角. . 300 300，-60-60. .例題分析例例1在在0360范圍內(nèi)，找出與范圍內(nèi)，找出與95012角終邊相同的角，角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角并判定它是第幾象限角. 例例2求與求與3900終邊相同的最小正角和最大負(fù)角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角. 例2: 寫(xiě)出終邊在Y軸上的角的集合 分析:首先寫(xiě)出在Y軸的正半軸上的角的集合,然后寫(xiě)出在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合解答:終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為終邊在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合為001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyo

10、xyo 所以,終邊在Y軸上的角的集合為12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180 ,nnZ xyo鞏固與提高 寫(xiě)出終邊在X軸上的角的集合 寫(xiě)出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900 xyoxyo,360zkk,36090zkk小結(jié)小結(jié)1:1:終邊在軸線上的角的集合終邊在軸線上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000例例4用集合

11、的形式表示象限角用集合的形式表示象限角第一象限的角表示為第一象限的角表示為第二象限的角表示為第二象限的角表示為第三象限的角表示為第三象限的角表示為第四象限的角表示為第四象限的角表示為 |k 360 k 360 +90 ，（，（k Z） |k 360 +90 k 360 +180 ，（，（k Z） |k360+180k360+270，（kZ） |k360+270k360+360，（kZ） 或|k36090k360，（kZ） 小結(jié)小結(jié)2 2：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|k360S=|k3600 090900 0

12、k360k3600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k360k3600 01801800 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k360k3600 02702700 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k360k3600 0k360k3600 0，kZ.kZ.小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值角的概念推廣后，角的大小可以任意取值. . 把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，對(duì)于一個(gè)把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，對(duì)于一個(gè)給定的角，都有唯一的一條

13、終邊與之對(duì)應(yīng)，給定的角，都有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義. .2.2.終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，在終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，在0 0360360范范圍內(nèi)與已知角圍內(nèi)與已知角終邊相同的角有且只有一個(gè)終邊相同的角有且只有一個(gè). . 用用除以除以360360，若所得的商為，若所得的商為k k，余數(shù)為，余數(shù)為（必須是正數(shù)），則必須是正數(shù)），則即為所找的角即為所找的角. . 弧度制弧度制一）問(wèn)題的提出 1、度量角的方法度分秒制把圓周角分為360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角.2、在同一個(gè)圓中，圓心角的大小與它所對(duì)的弧長(zhǎng)一一對(duì)應(yīng). 當(dāng)半徑不同時(shí)

14、，同樣大的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)不相等. /0024446 .35計(jì)計(jì)算算：/0/024443635080半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長(zhǎng)L弧長(zhǎng)與半徑的比值當(dāng)當(dāng)n=300時(shí)時(shí)練習(xí)練習(xí):當(dāng)當(dāng)n=600時(shí)呢時(shí)呢?可以計(jì)算弧長(zhǎng)可以計(jì)算弧長(zhǎng)L=180rn6632236663rL3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比是常數(shù).Rl642-2-4-6-8-10-10-551015終邊終邊始邊始邊半徑弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)半徑136.632.094.982.38O拖動(dòng)點(diǎn)增減角的大小拖動(dòng)點(diǎn)增減角的大小A642-2-4-6-8-10-10-551015終邊終邊始邊始邊半徑弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)半徑136.633

15、.418.142.38O拖動(dòng)點(diǎn)增減角的大小拖動(dòng)點(diǎn)增減角的大小A稱這個(gè)常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長(zhǎng)來(lái)定義角的大小呢?二、1弧度角的定義弧度角的定義我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。弧度的角。1弧度弧度單位符號(hào)是 rad,讀作弧度弧度把角度單位與長(zhǎng)度單位統(tǒng)一起來(lái).三）弧度數(shù)1、在單位圓中，當(dāng)圓心角為周角時(shí)，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2，所以周角的弧度數(shù)為2，周角是2rad 的角.2、任意一個(gè)003600的角的弧度數(shù)必然適合不等式 0 x2.3、任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正實(shí)數(shù)； 任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)； 零角的弧度數(shù)是0. 弧度制下的角與實(shí)數(shù)之間的

16、關(guān)系是怎樣的呢?Rl4、用弧度來(lái)度量角，實(shí)際用弧度來(lái)度量角，實(shí)際上上角的集合角的集合 與與實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R角的集合角的集合正角正角零角零角負(fù)角負(fù)角正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)零零負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)弧度數(shù)角度制與弧度制的換算角度制與弧度制的換算 用用“弧度弧度”與與“度度”去度量每一個(gè)去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算的結(jié)果，二者就可以相互換算 若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，2360rad2360因此 rad2360因?yàn)?1度角等于多少弧度？度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？弧度角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度度把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵180把化成度把化成度例2rad5414418054rad54解：角度弧度0601201352704265230寫(xiě)