第三章復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類

1、2022-4-8第三章1復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類(P35)第三章第三章基本內(nèi)容：函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)、 羅朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)分類基本運(yùn)算：將給定函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)級(jí)數(shù)理論是分析復(fù)變函數(shù)的有力工具，它不但在理論上有意義，而且有很重要的實(shí)用價(jià)值，故本章也是復(fù)變函數(shù)論的重要內(nèi)容之一 簡介2022-4-8第三章31 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念 2 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 3 絕對(duì)收斂性的判別法絕對(duì)收斂性的判別法 3.1復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)和解析函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)和解析函數(shù)級(jí)數(shù)202

2、2-4-8第三章41 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念 )()()()(211zwzwzwzwkkk),(i),()(yxvyxuzwkkknkknzwzS1)()()(limzSnn，前n項(xiàng)和 在某點(diǎn)z存在，則稱（3.1）在z點(diǎn)收斂收斂，該極限稱為級(jí)數(shù)在z點(diǎn)的和，否則稱為在z點(diǎn)發(fā)散發(fā)散. 其中（3.1）（3.2）若級(jí)數(shù)2022-4-8第三章51)(kkyw11),(i),(kkkkyxvyxu0)(limzwnn 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件（3.3）2022-4-8第三章6任意給定一個(gè)小的正數(shù)任意給定一個(gè)小的正數(shù) 0，總存在充分大的正整數(shù)，總存在充分大的正

3、整數(shù)N，當(dāng)當(dāng)nN時(shí)對(duì)于任何自然數(shù)時(shí)對(duì)于任何自然數(shù)P，恒有，恒有柯西判據(jù)柯西判據(jù)：收斂的充要條件)()(zSzSnpnpkknzw1)(絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂： 1)(kkzw若 在z點(diǎn)收斂，則 1)(kkzw在該點(diǎn)絕對(duì)收斂 一致收斂一致收斂：設(shè))(zwk(k=1,2,)定義在域D(或曲線l)上,若對(duì)任意給定 0存在與z無關(guān)的正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí),對(duì)任何自然數(shù)P,(3.4)恒成立，稱級(jí)數(shù)（3.1）在D(或 l)上一致收斂 2022-4-8第三章7定理一定理一：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，一定是收斂級(jí)數(shù) 定理二定理二：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積也是絕對(duì)收斂的，乘積的和等于 和的乘積(且與排列次序無關(guān))11)(),(kkkk

4、zfFzgG11)()(kllkzfzgGF1,)()(lklkzfzg定理三定理三： )(zwk), 3 , 2 , 1( k在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且 1)(kkzw在D內(nèi)一致收斂級(jí)數(shù)和在D內(nèi)也是連續(xù)的.2 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)2022-4-8第三章8定理四定理四： 若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在曲線l上連續(xù)，且 1)(kkzw則級(jí)數(shù)和S(z)在l上也是連續(xù)的，且可在l上逐項(xiàng)積分，即在l上一致收斂，lkklzzwzzS1d)(d)(1d)(klkzzw定理五定理五： 若在區(qū)域D內(nèi)滿足 kkazw)(實(shí)常數(shù) ), 2 , 1( k且 1kka收斂，則 1)(kkzw在

5、D內(nèi)是絕對(duì)且一致收斂的.2022-4-8第三章9魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯(Weierstrass)定理定理:若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在閉區(qū)域 D上是單值解析的， 1)(kkzw在l上是一致收斂的，則() 1)(kkzw在 D上一致收斂； ()級(jí)數(shù)和S(z)在D內(nèi)是解析的 ()在D內(nèi)有 = 1)()(dd)(kknnnzwzzS= 1)()(knkzw(n=1,2,),且該級(jí)數(shù)在D內(nèi)任何閉區(qū)域上都一致收斂.2022-4-8第三章10(1)達(dá)朗貝爾(dAlembert)判別法： 如果(至少當(dāng)k充分大時(shí)) kkww1發(fā)散則絕對(duì)收斂則是常數(shù)11 1)( )( 1kkkkwzwqq(

6、2)柯西(Cauchy)判別法如果(至少當(dāng)k充分大時(shí)) kkw發(fā)散則絕對(duì)收斂則是常數(shù)11)( 1)( )( 1kkkkzwzwqq3 絕對(duì)收斂性的判別法絕對(duì)收斂性的判別法2022-4-8第三章11(3)高斯判別法：如果(至少當(dāng)k充分大時(shí)) )1(11kokwwkk(其中是常數(shù)） 當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù) 1)(kkzw絕對(duì)收斂，而當(dāng)1時(shí)， 1)(kkzw發(fā)散.各判據(jù)依次增強(qiáng)，其復(fù)雜程度依次增加.可逐項(xiàng)項(xiàng)求導(dǎo)解析且一致收斂的級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分連續(xù)的一致收斂級(jí)數(shù)可絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積仍解析、絕對(duì)且一致收斂級(jí)數(shù)，可進(jìn)行四則運(yùn)算、逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo) 2022-4-8第三章121 冪級(jí)數(shù)的斂散性冪級(jí)數(shù)的斂散性 2

7、冪級(jí)數(shù)的收斂圓冪級(jí)數(shù)的收斂圓3.2 冪級(jí)數(shù)的收斂性2022-4-8第三章13以b為中心的冪級(jí)數(shù) 0)(kkkbza阿貝爾阿貝爾(Abel)定理定理：若 0)(kkkbza在 0zz 數(shù)在圓域 bzbz0內(nèi)絕對(duì)收斂，而且在該圓域內(nèi)的任何閉)(0bzbz解析). 1 冪級(jí)數(shù)的斂散性冪級(jí)數(shù)的斂散性收斂，則該級(jí) 域上一致收斂.即在 絕對(duì)且一致收斂(連續(xù)、2022-4-8第三章14證明：在 0z收斂的必要條件 0)(lim0kkkbza存在正數(shù)M， 使得 Mbzakk )(0(k=0,1,2,),在區(qū)域 C(: bzbz0) 上有 kkkkkbzbzbzabza00)()(kbzM0，而 幾何級(jí)數(shù) 00

8、kkbz是收斂的，則由3.1定理五 00)(kkkzza在 c上是絕對(duì)且一致收斂的.10bz2022-4-8第三章15推論一推論一:若 0)(kkkbza在 1zz 發(fā)散，則該級(jí)數(shù)在圓 bzbz1外處處發(fā)散.利用Abel定理采用反證法證明.推論二推論二:對(duì)于冪級(jí)數(shù) 0)(kkkbza, 必存在一個(gè)R0,使得在圓 Rbz內(nèi)處處收斂，而在圓外處處發(fā)散.2022-4-8第三章16收斂圓收斂圓： Rbz，R為收斂半徑，在該圓內(nèi) 0)(kkkbza處處絕對(duì)且一致收斂，在圓外處處發(fā)散.定定 理理:在收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù) 0)(kkkbza可逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)任意次，收斂半徑不變 2 冪級(jí)數(shù)的收斂圓冪級(jí)數(shù)的收斂圓20

9、22-4-8第三章17證：每一項(xiàng)是冪函數(shù)都解析，必連續(xù)，而級(jí)數(shù)在收斂圓 內(nèi)絕對(duì)且一致收斂可逐項(xiàng)積分或求導(dǎo).反證法證收斂半徑不變：RRRR導(dǎo)積積導(dǎo)積RR積RR RR積類似可證 導(dǎo)RR 收斂性的強(qiáng)弱 逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂性變?nèi)踔痦?xiàng)積分，收斂性變強(qiáng)收斂半徑：運(yùn)用達(dá)朗貝爾或Cauchy判別法1limnnnaaRnnna1lim或 .積分或求導(dǎo)雖不改變收斂半徑，但改變2022-4-8第三章18冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)，本節(jié)討論在圓內(nèi)解析的函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的問題 1 解析函數(shù)的解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)3.3 解析函數(shù)的解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開

10、級(jí)數(shù)展開(P40)2022-4-8第三章19定理定理：若f(z)在 1 解析函數(shù)的解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Rbz內(nèi)是解析的，則f(z) 在該圓域內(nèi)可展開為絕對(duì)且一致收斂的冪級(jí)數(shù) 0)()(kkkbzazf!)()(kbfakk， 且此展開是唯一的 2022-4-8第三章20證：一致收斂是指在閉域內(nèi)，故對(duì)任何 RR 1，證明級(jí)數(shù)在 1Rbz上是絕對(duì)收斂 對(duì)如圖 1:1RbzCRRRR11( )， 應(yīng)用Cauchy公式 1d)(i21)(RCzfzf對(duì)于 1Rbz上任一點(diǎn)z,注意到 111RRbbz，則)()(11bzbzbbzb11101)()(kkkbbz是絕對(duì)且一致收斂的，可逐項(xiàng)積分，

11、代回上式，得 2022-4-8第三章21kkCkbzbfzfR)( d)()(i21)(011kkkbzkbf)(!)(0)(已證得展開式，其絕對(duì)一致收斂性和展開唯一性的論證見書P41-42 2022-4-8第三章22a）按定理計(jì)算 !)()(kbfakkb）據(jù)展開的唯一性及冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂(且解析)的性質(zhì)，可利用 z11等函數(shù)的展開式，通過級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、逐項(xiàng)積分、求 導(dǎo)、函數(shù)復(fù)合或宗量代換等.1.1展開方法展開方法：、ez、sinz、cosz等初等初2022-4-8第三章23： a）按定理R=展開中心b到與b最鄰近的奇點(diǎn)之間的距離(這是 最直觀最方便的方法，實(shí)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)理

12、論中無此結(jié)果)； b）或求得展開式后，據(jù) 1limkkkaaRkkka1lim或 求. 1.2收斂半徑收斂半徑2022-4-8第三章24a）確定b是f(z)的解析點(diǎn)，與b最鄰近的奇點(diǎn)收斂半徑 b）按定理 !)()(kbfakk，或?qū)⒋归_的f(z)通過代換、 四則運(yùn)算、 求導(dǎo)、積分、函數(shù)復(fù)合或宗量代換等同展開式已知的 z11、 ) 1( 110zzzkk)( !10zzkekkz)( )!12() 1(sin012zzkzkkk)( )!2() 1(cos02zzkzkkk、 、 1.3一般步驟一般步驟ez、sinz、cosz聯(lián)系起來等2022-4-8第三章25例1證明 2121zzzzeee

13、證： )( !12022zzlellz絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相乘)!1)(!1(020121llkkzzzlzkee引入指標(biāo)n=k+l作為新級(jí)數(shù)的編號(hào)，則 0021)!(!1nnkknkknzzk0021)!( !1nnkknkzzknknn021!)(nnnzz21zze)( !11011zzkekkz2022-4-8第三章26例2證明 zzezsinicosi證： 0i!)i (knznze01202)!12()i ()!2()i (kkkkkzkz01202)!12() 1(i)!2() 1(kkkkkkzkzkzzsinicos特例： z=x(實(shí)數(shù))則 xxexsinicosi(尤拉公式)

14、2022-4-8第三章272 多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 在黎曼面上除支點(diǎn)外，其函數(shù)值是單值確定的，所以支點(diǎn)是多值函數(shù)的奇點(diǎn). 例3將 ln(1+z)在z=0的鄰域內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù) 解:在黎曼面上只有支點(diǎn)性奇點(diǎn)-1和 1ln)1ln(0zz)!1() 1()1ln(dd10nzznznn則11) 1(1ln)1ln(nnnznz), 2 , 1 , 0( 2i1ln mm2022-4-8第三章28多值函數(shù)在每一葉黎曼面上是一個(gè)單值分支，上式就是第m個(gè)單值分支的展開式，m=0通常稱為主值分支. 2022-4-8第三章29例4將 mz)1 ( (m為非整數(shù))在z=0的鄰域內(nèi)展開. 解:

15、)1ln()1 (zmmez的支點(diǎn)為-1、. mzmz1)1 (0) 1() 1()1 (dd0 nmmmzzzmnn 1!) 1() 1(1)1 (nnmmznmmmmz) 1(zkmme2i1 (k=0,1,2,) k取不同值對(duì)應(yīng)不同的單值分支. 2022-4-8第三章30 3. 函數(shù)(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考與討論題：1. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，該級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂，在0)(kkkbzaRbzRbz)(Rbz內(nèi)上一致收斂，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng) 是解析的，所以，可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分，且不改變收 斂半徑；在共同收斂區(qū)域上的冪級(jí)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算.你 認(rèn)為呢？2. 為什么Taylor

16、級(jí)數(shù)的收斂半徑等于展開中心到被展開函數(shù)的 最近的奇點(diǎn)的距離？4. Taylor展開的條件是什么？將函數(shù)以b為中心進(jìn)行 Taylor展開和在z=b的鄰域內(nèi)進(jìn)行Taylor展開有無區(qū)別？作業(yè)：p55：3.1 (1)、(3)，3.2 (1)，3.4 (1)，3.5內(nèi)的Taylor展開式.Rz 2022-4-8第三章311 Laurent級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 Laurent定理定理 3.4 解析函數(shù)的洛朗解析函數(shù)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2022-4-8第三章3201)()()(kkkkkkkkkbzabzabza 負(fù)冪部分-主要部分 正冪部分-解析部分在 1Rbz上收斂令 bz 1，則負(fù)冪部分1nnn

17、a211Rbz收斂 2Rbz上收斂 若 21RR ，則Laurent級(jí)數(shù)發(fā)散 若 21RR ，則Laurent級(jí)數(shù)在 12RbzR上收斂Laurent級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在2022-4-8第三章33若f(z)在 12RbzR內(nèi)單值解析，則f(z)在該環(huán)域內(nèi)可展開為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)kkkbzazf)()(lkkbfad)()(i211， （l是環(huán)域內(nèi)繞b一周的任意閉曲線）該展開是唯一的. 運(yùn)用復(fù)通域上的Cauchy公式證明，證法類似Taylor定理的證明.1)含有含有(z-b)的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)，但b不一定是奇點(diǎn)：為奇點(diǎn)時(shí)當(dāng)上不一定有奇點(diǎn)或上必有奇點(diǎn)，或，bRRRbzRRbz022121Laurent定理

18、定理2022-4-8第三章342) !)()(kbfakkl內(nèi)必有被積函數(shù)的奇點(diǎn)，故Cauchy導(dǎo)數(shù)公式不再成立.特例：R2=0時(shí)，b為奇點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)； 02R即使b為解析點(diǎn)， k取負(fù)值時(shí)的導(dǎo)數(shù)也無意義. 3) 環(huán)域的特例環(huán)域的特例 02R10RbzbzRR21,， ， 4) 展開方法展開方法：按定理計(jì)算回路積分求展開系數(shù)； 依據(jù)Laurent級(jí)數(shù) 在環(huán)域內(nèi)絕對(duì)且一致收斂性、展開的唯一性展開.2022-4-8第三章35按定理展成Taylor級(jí)數(shù) !)()(kbfakk與實(shí)函冪級(jí)數(shù)展開相似 Laurent級(jí)數(shù) lkkbfad)()(i211較復(fù)雜 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域上是絕對(duì)一致收斂且解析的性質(zhì)，則

19、可運(yùn)用根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域上是絕對(duì)一致收斂且解析的性質(zhì)，則可運(yùn)用z11、ez、sinz、cosz 等的展開式和冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、等的展開式和冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、 逐項(xiàng)求導(dǎo)、 逐項(xiàng)積分、變量代換及函數(shù)的復(fù)合展開 教材中介紹的幾種展開方法的名稱只能作為參考 3.5 3.5 泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開的泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開的幾種常用方法幾種常用方法(P47)2022-4-8第三章36(1)利用利用 011kkzz1z()例1 211z在 z1上 222111111zzz02211112kkzzz0221kkz) 1( z2022-4-8第三章37例2 ) 1(1zz21 :1izDizD2:2, ).(解

20、:先部分分式111)1(1zzzz) i(i11zzii11i1zz01) i() i(nnnz11) i(ikkkz) 1i(z) i(i1111zz0101)2i( ) i() i1 () 1(ii111i1)2i1i1i( ) i() i1 () 1(i1i11i11nkkknkkkzzzzzzzz1D2Di1-1xyoD12022-4-8第三章38010111)i2( ) i() i1() i()2i1 ( ) i(i)1 () 1() i(i) 1(1kkkkkkkkkkkzzzzzzz2022-4-8第三章39(2)利用利用ez、sinz、cosz 等的展開式等的展開式如 011!

21、1kkzzke代換) 01(zz(3)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分例3 3) 1() 1(zzz)1 ( z解:原式= 332) 1() 1(zzzz1121dd) 1(1223zzz011111111kkzzzz)1(z2022-4-8第三章4003)2)(1(21kkzkk) 1(z02013)2)(1()2)(1(21) 1() 1(kkkkzkkzkkzzz n=k+1 n=k+2 21) 1() 1(21nnnnznnznn121) 1() 1(21nnnnznznnnn) 1(z2022-4-8第三章41(4)級(jí)數(shù)相乘或相除級(jí)數(shù)相乘或相除例4 cotz)0 (z34

22、5131sincoscotzzzzzzP49 運(yùn)用級(jí)數(shù)乘法或待定系數(shù)法據(jù)cotz是奇函數(shù)并可知最低冪項(xiàng)為z-1 ，故設(shè) 0121cotllzbz代入 zzzcossincot2022-4-8第三章4202)!2() 1(mmmmz)()!12() 1(012012lllnnnzbzn002)!122() 1(mmllmlmlmbzmllllmbm0)!122() 1()!2(1), 2 , 1 , 0( m依次令 , 2 , 1 , 0210bbbm2022-4-8第三章43(5)其它展開法其它展開法 例如： 5ii5)i 2(sinzzeezzzzzzzeeeeeei5i 3iii 3i55

23、10105i321i 210i 25i 2161iii 3i 3i5i5zzzzzzeeeeeezzzsin103sin55sin161將最右端各項(xiàng)展開，即得 z5sin的展開式. 總之：就是將待展開函數(shù)通過四則運(yùn)算、積分、求導(dǎo)、宗量代換就是將待展開函數(shù)通過四則運(yùn)算、積分、求導(dǎo)、宗量代換 函數(shù)復(fù)合等方式與展開式已知的函數(shù)聯(lián)系起來，再運(yùn)用級(jí)函數(shù)復(fù)合等方式與展開式已知的函數(shù)聯(lián)系起來，再運(yùn)用級(jí) 數(shù)的上述運(yùn)算將其展開數(shù)的上述運(yùn)算將其展開.2022-4-8第三章44僅討論單值函數(shù)或多值函數(shù)單值分支的奇點(diǎn). 設(shè)b為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則3.6 孤立奇點(diǎn)的分類和特性孤立奇點(diǎn)的分類和特性(P50)kkkbza

24、zf)()(10Rbz()（3.5.1） 2022-4-8第三章45b是f(z)的奇點(diǎn)，但展開式中無(z-b)的負(fù)冪項(xiàng)0)()(kkkbzazf)0(1Rbz0)(limazfbz例如：z=0是 zzsin的可去奇點(diǎn) 1sinlim)0( )!12() 1(! 5! 311sin00242zzzzkzzzzzkkk但f(z)仍不能在 1Rbz展開成泰勒級(jí)數(shù)， z=b是f(z)的奇點(diǎn)，若 )( )(lim)( )()(0bzzfbzzfzFz經(jīng)過補(bǔ)充定義可去奇點(diǎn)b成為F(z)的解析點(diǎn)(1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)2022-4-8第三章46mkkkbzazf)()()0(1Rbz0, 1mam，則b是f(z)的m階極點(diǎn)，m=1時(shí)為單極點(diǎn). )(lim0zfz，則b是f(z)極點(diǎn)，其