八年級數(shù)學(xué)下冊1.4角平分線第1課時試題資料庫素材(新版)北師大版

1、角平分線AP0BBD= C呂BD=2CDB第 i 課時可分別求出上圖中其余各AD 是 Rt ABC 的角平分線。求證1= 2BC二CB解：20例 3.已知：如圖分析：根據(jù)已知條件可求出/ BAC 的度數(shù)，再由 AD 是厶 ABC 的角平分線 角的度數(shù)，再證明結(jié)論就容易了。C=90ZB=30AOB= 40 ，則/ A0&:BDC 三 CEB( ASA)BD= CE試題資料庫：證明：人 ABC 中TAB= AC/ABC=ZACB.又 BD CE 分別平分/ ABC 和/ ACB在；BDC 與；CEB 中圖 12證明：由/ C=90,ZB=30,知/ BAC=60。因人。是4ABC 的角平分

2、線，故/ BAD/ CAD=30。則/ B=ZBAD 可知 AD=BD在 ADC 中,/ DAC=30 , / C=90,貝 U AD=2CD 故 BD=2CD引申：該題中，若條件不變，如上圖，從D 點向 AB 作垂線交 AB 于點 E,請問： AD 專 ADC 是否成立？ BD=2DE 是否成立？不難看出，因為 人。是4ABC 的角平分線，由角平分線的性質(zhì)可知DE=DC 則厶 ADE 與厶 ADC 全等的條件可輕松找到，BD=2DE 顯然也成立。這是在特殊角三角形的情況下考慮的，若推廣到一般三角形的情況，解答該題的主要依據(jù)“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”依然是一個重要的解題條件。例

3、 4.已知：如下圖， ABC 的外角/ CBD 和/ BCE 的平分線相交于點 F。求證：點 F 在/ DAE 的平分線上。分析：該題圖比較簡單，單從上圖中很難看出應(yīng)該怎么證明結(jié)論。但問題既然涉及角平分線，我們 很容易想到定理“在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”，所以不妨過點 F 分別作 BD, BC, CE 的垂線段，這樣就找到了解決問題的切入點。證明：如上圖，過點 F 分別作 BD BC, CE 的垂線段 FG FH, FMI因 BF 是/ CBD 的平分線，所以 FG=FH 同理 FH=FM 則 FG=FM因點 F 在/ DAE 內(nèi)，且點 F 到 AD, AE

4、 的距離相等，故點 F 在/ DAE 的平分線上。引申：該題中，若條件不變，請問：/ A 與/ BFC 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請同學(xué)們進(jìn)一步探索。例 5.已知： 如圖 1 所示， / ABC / ACB 的平分線交于 F,過 F作 DE/BC,交 AB 于 D,交 AC于 E,求 證：（1） BD+EC=DE(2)若將已知改為過一內(nèi)角和一外角平分線交點作平行線，如圖 在怎樣的關(guān)系。證明：(1)vDE/BC,./ 仁/2,/ 仁/3 BD=DF 同理 FE=EC BD+EC=DF+FE=DE(2)DE=BD- CE(3)DE=BD+CE例 6.如圖所示， ABC 的邊 BC 的中垂線 DF 交厶 B

5、AC 的外角平分線AD 于 D, F 為垂足，DEIAB 于 E,且ABAC 求證：BE AC=AE證明：過 D 作 DNLAC 垂足為 N,連結(jié) DB DC 貝 U DN=DE DB=DC又 DEI AB DN ACRt DBE = Rt DCNBE =CN又 AD = AD , DE =DN2 所示，那么 DB EC 和 DE 之間還存(3)若將已知改為過兩個外角平分線交點作平行線如圖那么 DB CE DE 之間還存在什么關(guān)系。3 所示,E4.Rt DEA三Rt DNAAN二AEBE二AC AN二AC AEBE - AC二AE例 7.已知：如圖所示 PA PC 分別是 ABC 外角/ MA

6、C 和/ NCA 平分線，它們交于 P, PD 丄 BM 于 D, PF 丄 BN于 F，求證：BP 為/ MBN 勺平分線。證明：過 P 作 PE 丄 AC 于 E/ PA PC 分別是/ MAC與/ NCA 的平分線且 PD 丄 BM, PF 丄 BN PD=PE PF=PE PD=PF又 PD 丄 BM PF 丄 BN點 P 在/ MBN 的平分線上即 BP 為/ MBN 的平分線例 8.如圖 DE 是 ABC 的 AB 邊的垂直平分線，分別交 AB BC 于 D E, AE 平分BAC，若B = 30, 求/ C 的度數(shù)。解答：/ DE 是 AB 的垂直平分線 EA=EB/ABE=Z1

7、 . B =30.1 =30又 AE 平分/ BAC2=Z1= 30即/ BAC=60./C=180 -ZB-ZBAC=90例 9.如圖 BD 是：ABC 的角平分線， DE/BC交 AB 于 E。求證：厶 BED 是等腰三角形。證明：/ BD 是厶 ABC 的角平分線 ZEBD=ZDBC EB= ED,即.：BED 是等腰三角形例 10.已知：P 是ZAOB 內(nèi)一點，PDL OAPE 丄 OB D, E 分別是垂足，且 PD= PE 則點 P 在ZAOB 的 平分線上，請說明理由。分析：“點在線上”的另一種說法是“線經(jīng)過點”。直接說明點 P 在ZAOB 的平分線上不易說明，可/ PD 丄 O

8、A PE 丄 OB/ PD= PE, OP= OP Rt PDO Rt PEO( HL)ZDOP=ZEOP 艮卩 P 點在ZAOB 的平分線上。歸納：在直接說明某個問題有困難時，我們常常把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化成可以直接說明的問題來解決。例如：請說明 三角形的三個角的平分線剛好相交于一點。我們知道兩直線相交只有一個交點，于是兩個角的平分線 CD BE 相交于點 O,想說明第三個角的平分線也剛好經(jīng)過O 點不易，因此可轉(zhuǎn)化為“連結(jié) OA 說明 AO 平分ZCAB,即說明ZOAB=ZOAC 就相當(dāng)于說明了第三個角的平分線與前兩個角的平 分線相交于一點。 DE/BCZEDB=ZDBCZEBD=ZEDB解：作射線

9、 OP以反過來先過 P 作射線 OP 說明 OP 平分ZAOB 這樣就相當(dāng)于說明了點 P 在角的平分線上。此時問題就 轉(zhuǎn)化為說明ZDO=ZEOP ZPDO=ZPEO= 906D例 11.如下圖，等腰直角 ABC 中，AB= AC, BD 平分/ ABC, DEIBC 于 E。試說明：AB= BE分析：AB BE 分別屬于兩個直角三角形，要說明它們相等，只要能夠說明它們所在的直角三角形全等即可。解：等腰直角 ABC 中,/A= 90, AB= AC/ DEI BC, BD 平分/ ABC DA= DE (角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等)/A=ZDEB= 90,DA= DE, BD= BD

10、Rt ADB Rt EDB( HL) AB= BE=變式：說明上題中 AB+AD= BG 你能說明嗎？學(xué)習(xí)小結(jié)：這節(jié)內(nèi)容要注意兩點：一是勾股定理與其逆定理表述上的區(qū)別；二是判定直角三角形全等時若使用 HL, 一定要強(qiáng)調(diào)直角三角形，若仍用SAS ASA AAS 或 SSS 來判定直角三角形全等，則不需要強(qiáng)調(diào)直角三角形。例 12.如圖 1,在 Rt ABC 中，/ BAC=90，/ B=30,ZC=60, AT 平分/ BAC AHL BC,垂足為 H, 貝廿/ TAH=_。解析：因 AHL BC,所以/ TAH=90-ZATH2由三角形外角性質(zhì)可知，/ ATHK B+ZBAT/BAT=1ZBAC

11、2=1(180-ZBZC)21=901(ZB+ZC)2ZATH=ZB+90 1(ZB+ZC)2 ZTAH=90ZB90+1(ZB+ZC)2=1(ZC-ZB)21想一想，如果ZBAC 是銳角或者鈍角，那么ZTAH=i(ZC-ZB)還成立嗎？自己動手做做看。22.過三角形角平分線所在直線上任一點向第三邊作垂線，角平分線與垂線的夾角等于三角形另外兩 角差的絕對值的一半。例 13 如圖 2,在厶 ABC 中，ZBZC, AQ 平分ZBAC AQ 交 BC 于點 Q 點 T 是 AQ 延長線上的一點,1丄 BC 于點 H,試說明ZHTAd(ZC-ZB)。2解析：過點 A 作 AH丄 BC,貝 U AH7

12、/TH。1由上題的結(jié)論，可得ZQAH=(ZC-ZB)21故ZHTAd(ZCZB)例 14. 如圖 1 , OC 平分NAOB, P 是 OC 上一點，D 是 OA 上一點，E 是 OB 上一點，且 PD=PE 求證:THHTA=/ AQH8PDO PEO =180。分析：要證.PDO PEO =180,. PDO、. PEO在圖形的不同位置，又無平行線使它們聯(lián) 系起來，但若考慮設(shè)法把其中的一個角轉(zhuǎn)化為另一個角的鄰補角，問題便可以解決。由于OC 是角平分線，故可過 P 點作兩邊的垂線，構(gòu)造出兩個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可。證明：過點 P 作PM_OA，PN_OB，垂足分別為 M N因

13、 OC 是角平分線，PM_OA，PN_OB，故 PM=PN由 PD=PE PM=PN 得RtAPMD三RUPNE MDP = NEP貝PEO二MDP，而.MDP . PDO =1802 PDO+NPEO = 180點撥：遇到角平分線問題，我們可以過角平分線上的一點向這個角的兩邊引垂線，以便充分運用角 平分線定理。例 15.如圖 2,在ABC中，.BAC的平分線與 BC 邊的垂直平分線相交于點 P。過點 P 作 AB、AC（或 延長線）的垂線，垂足分別是 M No 求證：BM=CN分析：要證 BM=CN 由圖形特征可構(gòu)造以 BM CN 為邊的兩個三角形，并證明這兩個三角形全等。考 慮N BAC的平分線與 BC 邊的垂直平分線相交于點 P