全等三角形的提高拓展經(jīng)典題(教師版)

1、BC全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)： 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角 的角平分線相等，面積相等.尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊.(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角.(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角.(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵

2、.全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(4)角角邊定理(AAS):兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用： 運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過 程中，注意有時會添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個角的和、差

3、、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ).例題精講板塊一、截長補(bǔ)短【例1】 已知.ABC中，/A=60,BD、CE分別平分.ABC和.ACB,BD、CE交于點(diǎn)O，試 判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.DD【例2】 如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一 點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作ZDMN =60冬，射線MN與ZDBA外角 的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN _DM且與ZABC外角的平分線交于點(diǎn)N,MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，ZFAD =ZFAE.求證：BE + DF =AE

4、.【例4】 以ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊JABD、厶ACE,連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)0.求 證：0A平分ZDOE.BC【例引如圖所示，.ABC是邊長為1的正三角形，CBDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂 點(diǎn)作一個60。的NMDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求 心AMN的周長.【例6】 五邊形ABCDE中，AB =AE,BC+ DE=CD，/ABC+/AED = 180求證：AD平分/CDE板塊、全等與角度【例 7 7】如圖，在ABC中，.BAC =60,AD是.BAC的平分線，且AC二AB BD，求.ABC的度數(shù)【例 8 8】在等腰ABC中，AB =AC，頂角A =20，在邊

5、AB上取點(diǎn)D，使AD = BC, 求.BDC .ACBC【例 9 9】如圖所示，在ABC中，AC=BC,. C =20，又M在AC上，N在BC上，且滿足.BAN =50 , ABM =60，求.NMB .【例10】在四邊形ABCD中,的度數(shù),G00已知AB =AC,/ABD =60，也ADB=76，厶BDC =28，求ZDBC【例11】如圖所示，在四邊形求ZACD的度數(shù)ABCD中， .DA【例12】在正厶ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，使DA=DB，在：ABC外取一點(diǎn)BE =BA，求.BED.E，使/DBE ZDBC，且【例13】如圖所示，在UABC中，.BAC =. BCA=44,M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得.

6、MCA = 30,.MAC =16，求/BMC的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典50題1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又AD是整數(shù),則AD=512.已知：D是AB中點(diǎn)，/ACB=90，求證：CD AB23.已知：BC=DE，/B=/E,ZC=/D,F是CD中點(diǎn)，求證：/ 證明：連接BF和EF。因?yàn)锽C=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF （邊角邊）。所以BF=EF,/CBF=/DE

7、F。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。 所以 /EBF=/BEF。 又因?yàn)?/ABC=/AED。所以 /ABE=/AEB。 所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以 /BAF=/EAF (/1 =/2)。（含答ACBC F D4.已知：/1 =/2,CD=DE,EF/AB，求證:證明：過E點(diǎn)，作EG/AC，交AD延長線于G則/DEG=/DCA，/DGE=/2又CD=DE/ ADC 6 GDE(AAS) EG=AC/ EF/AB/DFE=/1/仁/2/DFE

8、=/DGEEF=EGEF=AC5.已知：AD平分/BAC，AC=AB+BD，求證：/B=2/C證明：在AC上截取AE=AB，連接ED/ AD平分/BAC/EAD=/BAD又AE=AB，AD=AD/ AED 6 ABD(SAS)/AED=/B，DE=DB/ AC=AB+BDAC=AE+CECE=DE/C=ZEDC/AED=/C+ZEDC=2/C/B=2ZC12.如圖，四邊形ABCD中，AB/DC，BE、CE分別平分ZABC、/BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明：在BC上截取BF=BA,連接EF.ZABE=ZFBE,BE=BE,貝U ABE也FBE(SAS),ZEFB=ZA;AB

9、平行于CD,則:ZA+ZD=180又ZEFB+ZEFC=180，則ZEFC=ZD;又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故FCE也DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.EF=ACABBD13已知：AB/ED，/EAB=/BDE,AF=CD,EF=BC，求證：/F=/C AB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以：/C=/F14.已知：AB=CD，/A=/D，求證：/B=/C證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E,（當(dāng)ADBC時，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD

10、所以：BE=CE （等量加等量，或等量減等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是/BAC平分線AD上一點(diǎn)，ACAB，求證：PC-PBAC-AB作B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B（因?yàn)锳D是角BAC的平分線，B在線段AC上（在AC中間，因?yàn)锳B較短）因 為PCPB +B C,PGPB B C,而BC=AC-AB=AC-AB,所 以PC-PBDE。當(dāng)/AEB越小，則DE越小。證明：過D作AE平行線與AC交于F,連接FB由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形，且DFB為等腰三角 形。RTABAE中，/AEB為銳角，即/AEB90/ DF/AEFDB=/AEB45RTAAFB中，ZFBA=90 -ZDBF 45ABAF49、（10分）如圖，已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求證: 先證明ABCBDC的出角ABC=角DCB在證明ABEDCE得出AE=DE47、（10分）如圖，已知/仁/2,Z3=Z4,求證:AB=CD/ AB=CECEDEAF=DEAE=DE.BEC50.如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，/ACB=90 ,AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,求證：/ADC=Z BDE.證明：作CG平分/ACB交AD于G/ ACB=90/