概率統(tǒng)計浙大版

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2012.9.19一、隨機變量概念的產(chǎn)生一、隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.1 隨機變量隨機變量 1、有些、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一（本身就是一個數(shù)）個數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 四月份哈爾濱的最高溫度；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進入一號樓的人數(shù)；每天進入一號樓的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、在

2、有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就也就是說，是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化把試驗結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運正如裁判員在運動場上不叫運動動場上不叫運動員的名字而叫號員的名字而叫號碼一樣，二者建碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)立了一種對應(yīng)關(guān)系系. 這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值實值單值函數(shù)單值函數(shù).e.X(e)sR這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！數(shù)不一樣?。?）它隨試驗結(jié)果的不同

3、而取不同的值，因而在）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間稱這種定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù)X= X(e)為為隨隨量量機機變變簡記為簡記為 r.v. 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母 x, y,

4、z, w, n等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示 有了隨機變量有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就可隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達以通過隨機變量的關(guān)系式表達.二、引入隨機變量的意義二、引入隨機變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X 1X= 0 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件重大事件. 引入隨機變量

5、后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為為對隨機變量及其取值規(guī)律對隨機變量及其取值規(guī)律的研究的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機變量及其隨機變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律我們將研究兩類隨機變量：我們將研究兩類隨機變量： 如如“取到次品的個數(shù)取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等.隨隨機機變變量量離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量例如，例如，“電視機的壽命電視機的壽命”，實際中，實際中常遇到的常遇到的“測量誤差測量誤差”等等.三、隨機變量的分類三、隨機變量的分類 這兩種

6、類型的隨機變量因為都是隨機變量，這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不取值方式不同同，又有其各自的特點，又有其各自的特點.隨隨機機變變量量連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量離散型隨機變量學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法. 全部可能取值無窮多，不能一一列舉，充滿一個區(qū)間 所有取值可以逐個一一列舉 解：分析解：分析例例1 一報童賣報，每份一報童賣報，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報館每天給報童報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不份報，并規(guī)定他不得

7、把賣不出的報紙退回出的報紙退回. 設(shè)設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.當當 0.15 X0 是常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記作X( ).例8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進某種商品m件,求滿足P X m 0.95 的最小的m .進貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P X m 0.

8、95 的最小的m.查泊松分布表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即068. 0!595kkke于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件或, 2 , 1 , 0,!)1 (limkkeppCkknnknknn泊松定理泊松定理設(shè) 0 是常數(shù)，n 是正整數(shù)， ，則有npn 定理的條件意味著當 n 很大時，pn 必定很小。 因此，泊松定理表明，以 n, p 為參數(shù)的二項分布當 n 很大、p 很小時趨于參數(shù) =np 的泊松分布，即!e)1 (kppCkknkkn一一. 一一袋袋中中有有 4 只只乒乒乓乓球球，編編號號為為 1、2、3、4、在在其其中中同同時時取取三三只

9、只，以以 X 表表示示取取出出的的三三只只球球中中的的最最大大號號碼碼，寫寫出出隨隨機機變變量量 X 的的分分布布律律二二. . 有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4 4杯。杯。如果從中挑如果從中挑 4 4 杯，能將甲種酒全部挑出，算是試驗成功杯，能將甲種酒全部挑出，算是試驗成功一次。一次。1 1）某人隨機地去猜，他成功一次的概率是多少？）某人隨機地去猜，他成功一次的概率是多少？2 2）某人聲稱他能通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗）某人聲稱他能通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗 10 10 次，成功次，成功 3 3次。試推斷他是猜對的還是確有區(qū)分能力

10、次。試推斷他是猜對的還是確有區(qū)分能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的）（設(shè)各次試驗是相互獨立的）解：解：4 , 3 XX的所有可能取值為：的所有可能取值為：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 解：設(shè) A 表示“成功一次”，由題意可得701)(4844CCAP 設(shè) X 表示“某人隨機地去猜 10 次，成功區(qū)分兩種酒的次數(shù)”。則 所以00003. 0)7011 ()701() 3(73310CXP一、分布函數(shù)的定義 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的,(x概率.xoxXX 設(shè) X 是一個 r.v，稱)()(xXPxF)(x為 X 的分布

11、函數(shù) , 記作 F (x) .第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)(1) 在分布函數(shù)的定義中, X是隨機變量, x是參變量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.(3) 對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi)的概率為：P x1X x2 因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機變量.xxXPxF),()(xoxXX當 x0 時， X x = ， 故 F(x) =0例

12、例1 設(shè) 隨機變量 X 的分布律為當 0 x 1 時， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解0 x12x x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布函數(shù) F (x) .當 1 x 2 時， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121當 x 2 時， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 x故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF31211202161OOO1)(xF的分布函數(shù)圖xy設(shè)離散型 r .v X 的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,

13、3, F(x) = P(X x) = xxkkp即F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和.x則其分布函數(shù)二、分布函數(shù)的性質(zhì) ,上上是是一一個個不不減減函函數(shù)數(shù)在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即對對 21F xF x 1x2xox 120P xXx 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 r.v 的分布函數(shù)的充分必要條件.(3) F(x) 右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 試說明F(x)能否是某

14、個r.v 的分布函數(shù).例2 設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).,2不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者0)(lim)(xFFx例. 以下幾個函數(shù)那些是分布函數(shù)？)(11)()2(1)20(sin)0(0)()21(1)210(31)0(0)()(1)0(sin)0(0)()0(2)02(21)2(0)(254321xxxFxxxxxFxxxxxFxxxxxFxxxxF 解 設(shè) F(x) 為 X 的分布函數(shù)，當 x a 時，F(xiàn)(x) =1 例例3 在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個

15、質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設(shè)這個質(zhì)點落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，試求 X 的分布函數(shù).當 0 x a 時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a0,0( ),01,xxF xxaaxa 故 這就是在區(qū)間 0，a上服從均勻分布的連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù).解：解：2 , 1 , 0 XX的所有可能取值為：的所有可能取值為：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522

16、113CCC 351 F(x) = P(X x)0 XP3522 1 XP3512 2 XP351 ,0時時當當 x)(xXPxF 0 ,10時時當當 x)(xXPxF 0 XP3522 ,21時時當當 x)(xXPxF 0 XP1 XP3534 ,2時時當當 x1)( xF故 2, 121,353410,35220, 0)(xxxxxF第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度u連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義u概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)u三種重要的連續(xù)型隨機變量三種重要的連續(xù)型隨機變量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿

17、一個區(qū)所有可能取值充滿一個區(qū)間間, 對這種類型的隨機變量對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機不能象離散型隨機變量那樣變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式以指定它取每個值概率的方式, 去給去給出其概率分布出其概率分布, 而是通過給出所謂而是通過給出所謂“概率密度函概率密度函數(shù)數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法方法.如果如果 X為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, 稱稱 f (x) 為為 X 的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù)，簡稱為，簡稱為概率密度概率密度 .一、一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義

18、 xF xf t dt 有有,使得對任意使得對任意實數(shù)實數(shù) , x 對于隨機變量對于隨機變量 X , 如果存在非負可積函數(shù)如果存在非負可積函數(shù) f (x) , ,x P Xx 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù)R二、概率密度的性質(zhì)二、概率密度的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面積為面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r .v X 的的概率密度的充要條件概率密度的充要條件利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機點落在某個定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率對于任意實數(shù)對于任意實數(shù) x1 , x

19、2 , (x1 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN :具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf事實上事實上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1,2xt 令令則有則有 dxxfdtet202 122 曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對稱；軸對稱； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt xexfx,21)(222)( 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大

20、值；x 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標；的兩個拐點的橫坐標； 5 22()2223(),2x xfxex 當當x 時，時，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. . 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分

21、布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF xedtx 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當當和和不同時，是不同的正態(tài)分布。不同時，是不同的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布. .其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布3 221,2txxedtx 221,2x xex )(x )(x 的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 212

22、12122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實上事實上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 1 標準正態(tài)分布的重要性標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布正態(tài)分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 則則若若2212uxutedu .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令則有則有 duexZPxu 2221 x 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標準正態(tài)分布的分布函

23、數(shù)制只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當當 x 0 時時, (x)的值的值.4),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 則則由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，由標

24、準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%. .當當XN(0,1)(0,1)時，時，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 準則準則5將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , 6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以認為，可以認為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). .這在統(tǒng)計學(xué)上稱作這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3