2022年上海市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何（附答案解析）

1、2022年上海市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何1 .如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，底面A8CO為正方形，外，底面A8CD,PA=AB,E為P8的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.(I)求證：平面4EF_L平面PBC：(II)求二面角P-DC-E的余弦值.2 .如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面A8CD為矩形，SAD為等腰直角三角形，SA=SO=2近，AB=2,F是BC的中點，二面角S-AD-8的大小等于120。.(1)在AZ)匕是否存在點E,使得平面SEFL平面ABCD,若存在，求出點E的位置:若不存在，請說明理由；(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.3 .如圖，三棱錐E-BC。中，EC。為正二

2、角形，平面£。_1_平面8CO,BC=DC=*BD=2,M,N分別是線段和8。的中點.(I)求點C到平面BDE的距離；(II)求直線EN與平面MCE所成角的正弦值.4 .如圖，在三棱柱48C-4BC1中，平面AMCC，平面ABC,ABC和AiAC都是正三角形，。是A8的中點(1)求證：BCi平面4CC：(2)求直線AB與平面。CG所成角的正切值.5 .如圖，在等腰直角三角形AOP中，已知A=*,AD=3,B,C分別是AP,OP上的點,E是CO的中點，且BCAD現(xiàn)將尸8c沿8C折起，使得點尸在平面ABC。上的射影為點4.(1)若B,C分別是AP、OP的中點，求證：平面以C_L平面PCD

3、(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCO所成角的余弦值是直線PB與平面見E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的長；若不存在，請說明理由.6 .在直三棱柱ABC-481cl中，ZBAC=90°,AC=4B=A4=2,設(shè)點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：AAi平面PMN；(ID若。為AAi上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.A M B一17 .在多面體ABCCM向中，四邊形ABB14為菱形，BC/BC,BC=BC,AiCi=AA,ABLBiC,ZBiBA=60°,平面A8B14_L平面ABC.(1)在棱AB上

4、是否存在點O,使得AB_L平面BiOC?若存在，請給予證明；若不存在,請說明理由.(2)求二面角C-AC-B的正弦值.瓦/7AC8 .在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面用O_L底面A8CD,PA=AD=DC=6,AC=6近,AB=3,CD平面B4B,ZB4D=6O°.(I)求證：平面PCC平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如圖，己知四棱錐5-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAOL平面ABCD,M,N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SA±SD,P,Q為側(cè)棱SD上的三等分點(點P靠近點S).(1)求證：PN平面MQC；(2)求多面體MPQCN的體

5、積.10 .如圖，四邊形M48c中，ABC是等腰直角三角形，AC1BC,4c是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將4c向上折疊到QAC的位置，使點。在平面ABC內(nèi)的射影在AB上，再將MAC向下折疊到EAC的位置，使平面平面A8C,形成幾何體DABCE.(1)點尸在BC上，若。尸平面E4C,求點尸的位置;(2)求宜線A8與平面EBC所成角的余弦值.11 .如圖，直三棱柱BC尸中，。為EH的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AFLBH；(II)求平面ADC與平面ABC所成角的余弦值.12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CO是菱形，N8A£>=120

6、°,平面A8C£),AE/CF.(1)求證：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求該幾何體的表面積.13 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，必。是等邊三角形，平面平面ABCD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AO=28C=4,ZBAD=60°.(I)若E為以的中點，求證：BE平面PCQ；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四邊形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE/CF,且。EO=3.CF=4,ZDCF=且平面A8CQ_L平面CQEF.(I)求證：AC,平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.15

7、 .如圖，已知四棱錐P-4BCD中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=®ZADC=60°.(1)求證：BPLCD-,(2)若8P=&,求直線PC與平面RIC所成角的正弦值.16 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，用。是等邊三角形，平面出。_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E為抬的中點，求證：BE平面PCD；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.17 .如圖，在直三棱柱ABC-4iBiCi中，AB=BC=AAi,AB1.BC,。為A8的中點，E為BC上一點，滿足CE=2EB

8、.(1)求證：AiC平面BiDE；(2)求二面角Bi-AtC-Ci的余弦值.18 .已知在平行四邊形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE/CF,且。EO=3,CF=4,ZDCF=且平面48CQ_L平面CQEF.(I)求證：ACJ_平面CDEF；(Il)求四棱錐F-ABC。的體積.19 .如圖所示，在四棱錐E-ABCC中，四邊形4BCC是直角梯形，AB=4E=BC=%£)=1,BC/AD,AEJ_平面ABC。，NBAD=90°,N為。E的中點.(1)求證：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-D的余弦值.20 .如圖，在多面體48coEF中，四邊形ABC。

9、、四邊形4CFE均為菱形，ZBAD=ZEAC=120°.(1)求證：平面平面ACFEx(2)若8E=DE,求二面角C-8F-E的余弦值.21 .如圖所示，在三棱錐ABCC中，AB=BC=BD=2,AD=23,NCBA=NCBD=多點E,尸分別為AC,8。的中點.(1)求證：平面4C£)_L平面BCE；(II)求四面體CCEF的體積.22 .如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點功作平面a交A4i于E點，交BBi于F點,使得A1E=1,BF=1.(1)求證：AC平面a；(II)求點。到平面a的距離.23 .己知ABC,AB=BC,NC8A=60°,沿著邊C8把AABC進

10、行翻折，使平面ABC與平面DBC垂直，Q8C可由aABC翻折得到.回答下列問題.(I)直線AC與平面A8D所成角的余弦值；(II)二面角A-80-C的余弦值.24 .如圖，四棱錐P-A8C。，底面四邊形ABC。為梯形，且滿足AO=1,AB=CO=3,BC=4且AOBC,設(shè)平面陽£與平面P8C的交線為/.(I)求/與平面PDC所成的角；(II)已知9=1,求平面朋5與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.25 .如圖，在三棱臺ABC-A'B'C'中，已知平面ABB'A'，平面ABC,AC±BC,ZCBA=£四邊形AM'4&

11、#39;是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分別為AB,A'6C'的中點.(1)求證：£F±AC；(2)求直線E尸與平面ACC'A'所成角的正弦值.26 .如圖，A8C為正三角形，半圓。以線段8c為直徑，。是船上的動點(不包括點8,C),平面ABC1平面BCD(1)是否存在點£>,使得BO_LAC?若存在，求出點。的位置；若不存在，請說明理由.(2)若NC8O=30°,求二面角O-A。-C的余弦值.27 .如圖，ZXA8C是正三角形，D,E,F分別是線段A8,BC,AC的中點，現(xiàn)將A

12、OF和CEF分別沿著OF,EF折起，使得A,C兩點在尸點重合，得到四棱錐尸-8EFD.(1)證明：平面PBF_L平面BEFDx(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為4,求三棱錐尸-尸8E的體積.28 .如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABC。為正方形，以。為等邊三角形，平面理。_L平面PCD.(I)證明：直線CD,平面公。；(H)若48=2,。為線段P8的中點，求三棱錐Q-FCD的體積.29 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AD=24B=2,PM=號,點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.(1)證明：8尸，平面PCD；(II)求點A到平面PCD的距離.30

13、.如圖，在四棱錐產(chǎn)T8C。中，已知附_L平面A8CD,且四邊形ABC。為直角梯形，ZTTABC=ZBAD=,AD=2,AB=BC=.(1)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積為1時，求異面直線AC與PD所成角的大?。?2)求證：C£>_L平面用C.ZCBD=,31 .如圖所不，在三棱錐A-BCD中，AB=BC=BD=2,4。=26，ZCBA點，產(chǎn)分別為AD,8。的中點.(I)求證：EF平面A8C；(II)求平面3CE與平面ACF所成銳二面角的余弦值.32 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AO=2A8,點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.(I)證

14、明：。上平面/。；(II)若PM=AD,求直線用與8所成角的余弦值.33 .如圖，在三棱錐尸-4BC中，肉，底面4?C,A8C是邊長為2的正三角形，側(cè)棱PB7T與底面所成的角為4(1)求三棱錐P-ABC的體積V；(2)若。為PB的中點，求異面直線以與CQ所成角的大小.34 .如圖I,在三棱柱48C-4B1G中，已知AB_LAC,AB=AC=,AAi=2,且411_1平面ABC,過4,。，B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.（1）求異面直線8。與A41所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求四棱錐8-ACG4的體積和表面積.35.如圖，在矩形A8CO中，將AC3沿

15、對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE±BE.(1)求證：平面A8EJ_平面ABC；(2)若8c=3,三棱錐8-AEC的體積為4R求點E到平面ABC的距離.36 .如圖，在直三棱柱ABC-AiBCi中，ABC是正三角形，點。在棱8囪上，且3叢3B1D,點E為31C的中點.(1)證明：平面4QE_L平面8CG81；(2)若B8i=3&,A8=2,求點C到平面AiDE的距離.37 .如圖所示，在宜三棱柱ABC-AiB。中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA=CB=CCj=2.點D,功分別是棱AC,Ai。的中點.(1)求證：D,B,Bi，Di四點共面；(2

16、)求直線BC與平面DBBD所成用的大小.38 .如圖，在四棱錐5-A8CD中，底面ABCD是等腰梯形,A8CD,CD=2AB=4,AD=事),SCD是等腰直角三角形，SC=SD,&4=3.(I)證明：平面SC£>J_平面4BCQ；(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C7-D的余弦值.39 .如圖，在矩形A8cD中，將AC。沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE±BE.(1)求證：平面ABEL平面ABC；(2)若E8=，三棱錐8-AEC的體積為學(xué)，求二面角E-AC-8的余弦值.40 .如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P,Q分別是A4

17、i，CB上一點，且4P=2以i，CQ=2QB.(1)證明：AQ平面CPB；(2)若三棱柱ABC-481cl為直三棱柱，且A4=3,BC=BA=V15,AC=2V3,求點B到平面CPB的距離.41 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PDL平面ABC。，PB與底面A8C。所成的角為45°,過AQ的平面分別與PB,PC交于點E，F(xiàn).(I)求證：EFLDCx2a/2PE(II)若二面角P-AD-E所成角的余弦值為二一，求的值.3EB42 .在四棱柱ABCD-4B1CQ1中，四邊形ABCD是平行四邊形，AAi=AC=l,ZABC=30°,BC=2,平面A

18、831Al，平面A3CD,M,N分別為AC，A3的中點.(I)求證：MN平面AiBCi；(II)若cos/AiC8=求二面角C-MN-D的余弦值.華43 .如圖所示，三棱柱ABC-4出1。中，平面ACCMi，平面ABC,AAilAC,AAi=AB=BC=2,D,Di分別為AC,4。的中點，且/8AC=30°.(I)求證：DDilBC；(JI)求二面角Bi-DA-Ci的余弦值.44 .如圖，四棱錐P-A8CO的底面為正方形，PC=PA=-PD=V5AD.E,尸分別是外,尸。的中點.(1)證明：EEL平面PCD；(II)求二面角A-CE-F的余弦值.45 .如圖，在四棱錐P-A8CO中，

19、等邊三角形以。所在平面與梯形ABC。所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=AB=VL點G為叢PAD的重心，AC與BD交于點M.(1)求證：GM平面(2)求點C到平面PBD的距離.46 .如圖，直三棱柱AiBCi-ABC中，A8=AC=1,/.BAC=A|A=4,點M為線段A|A的中點.<1）求直三棱柱AiBCi-4BC的體積：（2）求異面直線8M與81cl所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）47.如圖，已知直角梯形ABCD,BC/AD,BC=CD=2,AD-4,NBCD=90°,點E為AD的中點，現(xiàn)將三角形ABE沿BE折疊，得到四棱錐A：BCDE,其中ZA'

20、ED=120°,點M為AZ)的中點.(1)求證：47J平面EMC；(2)若點/V為8c的中點，求四面體A7WNB的體積.48.如圖，在三棱錐P-ABC中，A8C為正三角形，點D,E分別為AC,附的中點，其中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.(1)證明：平面B£)E_L平面A8C；V6(2)若點F是線段AC上異于點D的一點，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為:4求空的值.49.如圖，在四棱錐P-488中，四邊形ABCO是梯形，AB/CD,ABLBC,且以=P£>=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)證明：平面用。；(2)求直線AD與平面BBC所成

21、角的正弦值.50.在四棱錐P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8C£>是菱形，AB=2y3,NA8C=60°.(I)求證：AC±PB；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.2022年上海市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何參考答案與試題解析1.如圖，在四棱錐尸-ABCQ中，底面48CO為正方形，加，底面ABC。，PA=AB,E為PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.(I)求證：平面AERL平面PBC：(II)求二面角P-DC-E的余弦值.【解答】(I)證明：因為辦=A8,E為PB中點,所以AEJ_P8,因為南1.平面A8CC,所以以_L8C,由BCL4B,所以BCJ平面以

22、B,所以BCLAE,又AEUB,BCCPB=B,所以AE_L平面PBC,平面AEFJ-平面PBC.(II)解：法1：取用中點G,連結(jié)GE,GD,由GEA8,CD/AB,所以GECO,故GEu平面ECC,因為雨，平面ABCC,所以以J_C£),由AO_LC。，所以CO_L平面以C,所以8_LP。，GDICD,所以NPOG為二面角的平面角，在辦。中，PG=1,PD=2VLGD=V5,所以cosnPCG=邛法2：以A為原點，AB,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),E(1,0,1),設(shè)平面PCO的一個法向量為1=(xi，y

23、,zi),平面EC。的一個法向量為巾=(X2，”，Z2),£+2y2-z2=0->,八/z2.m=(0,1,2),=0所以cos。=即二面角iC-E的余弦值為誓.2 .如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面48co為矩形，S4O為等腰直角三角形，SA=SD=2V2,AB=2,尸是8c的中點，二面角S-AO-8的大小等于120°.（1）在A。上是否存在點E,使得平面SE尸上平面ABCD,若存在，求出點£的位置；若不存在，請說明理由；（2）求宜線S4與平面S8C所成角的正弦值.【解答】解：（1）在線段AC上存在點E滿足題意，且E為4。的中點.如圖，連接EF,SE,S

24、F,四邊形A8CC是矩形，.,.ABLAD,又E、5分別是A。、BC的中點，J.EF/AB,ADLEF,；SAO為等腰直角三角形，SA=SD,E為A3的中點，：.SE1AD,；SECEF=E,SE、EFu平面SEF,.AOI.平面SEF,平面A8CD,平面SEF_L平面A8CC,故AD上存在中點E,使得平面SE尸L平面ABCD.(2)由(1)知，SE±AD,EFA.AD,.NSEF為二面角S-AO-8的平面角，即/SEF=120°.以E為原點，EA、E/所在的直線分別為x、y軸，作Ez_L平面A8CD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在等腰RtZXSAO中，SA=SD=2五,

25、：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA=(2,I,-V3),SB=(2,3,一次)，SC=(-2,3,一仲,設(shè)平面SBC的法向量為屋(x,y,z),則卜刊二°,即12”+3y-夫=。，。.SC=0lx+3y-V3z=0令y=l,則x=0,z=V3,：.n=(0,1,V3),設(shè)直線SA與平面SBC所成角為e,T_.-SA-n1-3J2貝ijsin8=|cos<54n>|=|-1=|-=；l=|S4|-|n|V4+1+3X24故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為座.43 .如圖，三棱錐E-8CC中，

26、ECO為正三角形，平面ECOJ_平面BCD,BC=DC=BD=2,M,N分別是線段E。和8。的中點.(1)求點C到平面BOE的距離；(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.1tND【解答】解：(I).平面ECO_L平面BCD,且EC。為正三角形，CD=2,：.點E到平面BCD的距離為百，.BC=OC=¥bO=2,.BCO是等腰直角三角形，1:5、BCD=qBCDC=2.在8OE中，BEBD=25/2,DE=2,1 LL*Sbde=2x2xv7=V7.設(shè)C到平面BDE的距離為d,*VEBCD=VcBDE，.x依X24dx夕，解得公孥,故點C到平面BDE的距離為穿(II)以。為原點

27、，CD、CB所在的直線分別為x、y軸，作Cz,平面38,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,343廣則B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,遮)，N(1,221,0),V3 t0,),CB = (0, 2, 0), 2>t3(3 , V3 八 即尹+ N = °.2y = 0：.EN=(0,1,-V3),CM=(-,2設(shè)平面MBC的法向量為蔡=(x,y,z),則七十=°(nCB=0令x=l,則y=0,z=-V3,：.n=(1,0,-V3),設(shè)宜線EN與平面MBC所成角為0,ttENn33則sine=|cos<EN,n>

28、|=|1=。=玄EN-n皿4故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為三.44.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，平面AiACCiJ"平面ABC,ZXABC和4AC都是正三角形，。是AB的中點(1)求證：BCi平面4DC；(2)求直線AB與平面OCG所成角的正切值.【解答】(1)證明：連接ACi，交AC于E,連接OE,/四邊形44CG是平行四邊形，是AG的中點，是A8的中點，：.DE/BC,：OEu平面4OC,8cle平面AiOC,，BCi平面AiQC.(2)解：取AC的中點O,連接40,BO,ABC和44C都是正三角形，：.AOLAC,BOLAC,平面4ACCi_1平面ABC,平面

29、4AC。C平面ABC=AC,.*.40_L平面ABC,：.AOLBO,以O(shè)為原點，OB、OC、OA所在宜線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系,V31設(shè)4c=2,則A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(一,一東0),Ci(0,2, V3）,O + = y y 5-2 3 -2 +.， 艮 坦2 ， - o O=T D T 珀-g -c D n- fnfn 0)貝 3 -2z)O =>-3/.AB=（V3,1,0）,CD=（一,一2設(shè)平面OCC的法向量為九=（戈，y,令x=3,則y=V5,z=-1,：.n=（3,V3,-1）,設(shè)直線AS與平面。CCi所成的

30、角為0,則sinO=|cosV4k%>|=|y|=|,|=AB卜1nl2XV9+3+T2437TTtan0=25/3,故直線AB與平面DCC所成角的正切值為2次.5.如圖，在等腰直角三角形4OP中，已知A=*4。=3,B,C分別是AP,OP上的點,E是C。的中點，且BCA。.現(xiàn)將PBC沿BC折起，使得點P在平面A8CO上的射影為點4.P(1)若B,C分別是AP、OP的中點，求證：平面出CJ_平面PCD(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面見E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出4B的長：若不存在，請說明理由.【解答】(1)證明：點P在平面A8

31、CO上的射影為點A,；.%_L平面A8CC,：COu平面ABC。，：.PALCD,/等腰RtAOP,且C為3P的中點，：.ACLCD,'：PAHAC=A,PA,ACu平面布C,.C£人平面PAC,又CQu平面PC。，二平面布CJ_平面PCD(2)解：平面A8CZ),AD.NABP為直線PB與平面ABCD所成的角，設(shè)其大小為a,則cosa=器過點8作8MJ_AE,交AE于點、M,連接尸M,.必J"平面ABC。，：.PALBM,又AEA必=4,AE、BAc-TlSPAE,平面PAE,為直線P8與平面HIE所成的角，設(shè)其大小為。，則sin|3=翳,直線PB與平面48co所

32、成角的余弦值是直線PB與平面以E所成角的正弦值的督倍,.".cosa=|sinP，H|JAB=-BM,設(shè)AB=t(0</<3),則BM=旦，DE=cD=PD=V2626設(shè)NABM=ND4E=0,在£)£：中，由正弦定理知,DEADsinZ-DAE sinZ.AED芻3:.扁=嬴/,得sin-占。S。，JIVsin20+cos0=l,H.06(0,一),26TJ2t2-12t+36：.BM=t(6T)J2t2一+36一S又BM=-=nv26t(6-t)V2t2-12t+365Q=化簡整理得，2"3=。，解得或T(舍負),故當(dāng)A8=l時，直線P8

33、與平面ABC。所成角的余弦值是直線P8與平面fiAE所成角的正弦值的學(xué)倍.56.在直三棱柱ABC-481cl中，NBAC=90°，AC=AB=A4=2,設(shè)點M,N,尸分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：AA|平面尸MN；(II)若。為A41上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.【解答】(I)證明：.點M,N,P分別是AB,BC,BiG的中點，.PNCG，又；A4iCCi，：.AA/PN,平面尸MMPNu平面PMN,；.A4i平面PMN；(11)解：如圖，連接AN,AP,根據(jù)等體積法可知，Vp-qmn=Vq-pmn，由(I)可知，A4平面PMN,又Q為

34、上的動點，Vqpmn=Vapmn=Vp.amn，11SxAMN=2X1X1=2，111即Vp-qmn=Vq-pmn=Va-pmn=Vp-amn=x2x2=3,1若。為A4上的動點，則三棱錐P-QMN的體積定值317.在多面體ABCGA向中，四邊形AB814為菱形，BC/BC,BC=BC,AC=AA,ABLBiC,NBiBA=60°,平面ABB14_L平面ABC.(1)在棱AB上是否存在點O,使得A8L平面BiOC?若存在，請給予證明：若不存在,請說明理由.(2)求二面角Ci-AC-8的正弦值.【解答】解：(1)在棱AB上存在點O(O為棱AB的中點)，使得平面BiOC.理由如下：連接A

35、81，.,四邊形ABB14為菱形，且/BiBA=60°,.A818是等邊三角形，又。為AB的中點，.B10L4BVABlBiC,810nBlc=B”8iOu平面BQC,BiCu平面B|OC,；.A8_L平面BOC.(2)由(1)知，ABJ平面BiOC,：.AB±OC,又平面ABBiAiJ_平面ABC,平面ABBAC平面ABC=AB,.OC_L平面OCLBO,以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB,OC,OBi所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點E,連接4E.CE,由題意知幾何體ABC-AiBiE是三棱柱，取A向中點。，連接OE,貝ijOCqOEUW&G，設(shè)A4=2,則

36、O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B(0,0,V3),Ai(-2,0,V3),>>>>>>>：.OCr=OB1+B14+41cl=OB1+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-I,0,0)+2(0,1,0)=(-2,2,V3),>»ACi(-2,2,V3),AC=(1,1,0),ACX=(-1,2,V3),設(shè)平面ACC的法向量根=(x,y,z),1TTm-4C=x+y=0,取x=,得/=_m-4cl=-%+2y+V3z=0平面ABC的一個法向量£=(0,0,1),設(shè)二面角Ci-AC-B的平面角為e,則

37、cos0=m'n> >|時|71|5/3=而'sin0=，二面角Ci-AC-B的正弦值為58.在四棱錐P-ABCC中，側(cè)面以。，底面A8C£>,PA=AD=DC6,AC=6歷,48=3,CD平面以8,ZB4D=60°.(I)求證：平面PCOJ_平面尸BC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)證明：；AO=OC=6,AC=6五,.,.ADr+DAC1,：.ADA.DC, .,側(cè)面MD_L底面ABCD,側(cè)面以0n底面ABCD=AD,.C£)_L平面J4。，.£)£=平面£),J.CDL

38、PD,取PC和。C的中點分別為M和M連接MN,BM,則MNP。，:.CD1MN,平面以8,C。平面A8CO,平面F8C平面ABCD=AB,J.CD/AB,:AB=ND=3,：.四邊形ABND為平行四邊形，：.BN/AD,:.CDLBN, ：BNCMN=N,；.CDJ-平面BMN,'：8Mu平面BMN,：.CDIBM, .。，平面以。，且見u平面。，：.AB±PA,即%B為直角三角形，PB=V62+32=375,"：PB=BC,且M是PC的中點，J.PC1BM, PCCCD=C,:.BMJL平面PCD,平面PBC,.I平面PCO_L平面PBC.(II)在以。中，VM=

39、AD=6,ZB4D=60°,以。為等邊三角形，PD=6,取A。的中點O,連接尸O,：.POLAD,且PO=76?-32=3代,;平面以3J_平面A8CC,平面B4OC平面A8CC=AO,.PO_L平面A8CO,過點P作PHLBC,交BC于點H,連接0H,則即為三面角P-8C-。的平面角，：PD=CD=6,CDLPD,為等腰直角三角形，,由(I)知尸B=BC=3b，M為PC的中點，：.BMLPC,在RtZXBA/C中，BM=ylBC2-MC2=J(3V5)2-(3V2)2=3次,11在PBC中，S»bc=*xBMxPC=專PH-BC,解得PH=等，Mil/nunP03網(wǎng)10則

40、sinZPHO=而=遜=丁'RtZP”O(jiān)中，為銳角，:.cosNPHO=*；qV6J二面角P-8C-O的余弦值為.49.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SA3J_平面ABCD,M,N分別為棱A。，8c的中點，SA=SD,SALSD,P,。為側(cè)棱SO上的三等分點(點P靠近點S).(1)求證：尸N平面MQC；(2)求多面體MPQCN的體積.f)BNC【解答】證明：（1）如圖，連接N。交CM于點R,連接QA,在正方形4BCO中，N分別為AC,8c的中點，四邊形MNCD為矩形,得R為N。的中點，又。為尸。的中點，.,.PNQR,：QRu平面MQC,PNC平面MQC,

41、；.PN平面MQC：解：（2）連接SAL為A£>的中點，SA=SD,SALSD,：.SM±AD,且5"=夕。=1,又平面S4O_L平面ABCD,平面SAOC平面ABCD=AD,121122*Vp-mnc=qSmncXgSM=3X2XX2X3X1=9- .平面SAC_L平面ABC。，平面SAOC平面A8CD=A£>,CDVAD,；.CO_L平面SAD.又在RtZXSMO中，SD=y2SM=V2,SP=PQ=QD,.1 Spqm=3S>smd，111ill1 ,C-PQM=3S&pqmXCD=可X可S&smd乂。=可乂4乂乂

42、1乂1乂2=3._211.多面體MPQCN的體積V=VP.MNC+Vc-pqm=9+9=3-BNC10.如圖，四邊形M48C中，ABC是等腰直角三角形，AC±BC,MAC是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將MAC向上折疊到OAC的位置，使點。在平面48c內(nèi)的射影在A8上，再將MAC向下折疊到EAC的位置，使平面EAC_L平面ABC,形成幾何體DABCE.(1)點F在BC上,若QF平面E4C,求點F的位置；(2)求直線A8與平面E8C所成角的余弦值.【解答】解：(1)點尸為BC的中點，理由如下：設(shè)點O在平面A8C內(nèi)的射影為O,連接0。，OC,'：AD=CD,：.OA=OC,.

43、在RtZXABC中，。為AB的中點，取AC的中點，連接EH,由題意知E_L4C,又平面E4CJ_平面4BC,平面E4CCI平面A8C=AC,平面ABC,由題意知OO_L平面ABC,.,.DO/EH,二。0平面E4C,取BC的中點F,連接OF,則。尸AC,又OFC平面EAC,ACu平面E4C,，0F平面E4C,'DOnOF=O,二平面OOF平面E4C,OFu平面DOF,：.OF平面EAC.(2)連接0”,由(1)可知OF,OH,0。兩兩垂直，以0為坐標(biāo)原點，OF,OH,0。所在宜線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則8(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-V3

44、),C(1,1,0),>»»：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,一百)，設(shè)平面EBC的法向量1=(a,b,c),fT>BC-n=2b=0，取a=g,則£=(遮，0,-1),-n=-a+26V3c=0設(shè)直線與平面E3C所成的角為。，則、桁。=吟=恚邛|-|n|2,2X2.直線AB與平面EBC所成角的余弦值為cose=J1一(乎)2=半.11.如圖，直三棱柱8CF-A”E中，。為E”的中點，AB=BF,BF1.CF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AFLBH；(II)求平面AOC與平面ABC所成角的余弦值.【解答】解：（I

45、）證明：由三棱柱8C77-A/E是直三棱柱，得CT7，？/7,VBF1CF,BFCEF=F,；.CF_L平面48FE,'：CF/HE,平面ABFE,：.HE±AF,"：AB=BF,ABLBF,.平行四邊形A8FE是正方形，：.AF±BE,又HECBE=E,二4尸_1_平面平面，EB,：.AFLBH.(II)以E為坐標(biāo)原點，EA,EF,EH為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,在RlZOHC中，為E”的中點，11：.DE=jEH=jCF=1,則A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),AD=(-2,0,

46、1),AB=(0,2,0),設(shè)平面ABC的法向量益=(x,y,z),'TT則7呼=-2尤+2y=o,取I得薪=(,o,),m-AB=2y=0設(shè)平面AOC的法向量蔡=(a,b,c),AC=-2a+2b+2c=0t取0=2,得旌(1,-1,2),AD=-2a+c=0>cos <m，T-Tr-t、m-n3v3Tl>=r=-7=f,|m|n|/2Xy/62由圖知平面ADC和平面ABC所成角為鈍角,二平面ADC與平面ABC所成角的余弦值為-苧.X12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是菱形，ZBAD=120°,4E_L平面ABC。，AE/CF.(1)求證：。尸平

47、面ABE；(2)若AO=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.【解答】解：(1)證明：因為AECF,CFC平面ABE,所以C尸平面A8E,因為四邊形A8C。是菱形，所以CD/AB,由于CZX平面ABE,所以CQ平面ABE,又CFCCD=C,所以平面CCF平面ABE,又OFu平面CDF,所以。尸平面A8E.(2)由AECR知4,C,F,E四點共面，連接AC,于是該幾何體是由兩個相同的四棱錐B-4CFE,O-ACFE構(gòu)成的，由題意知,Saabe=x2x2=2.S4ABe=x2x2xsin60°=V3,Sbcf=x2x1=1,在BEF中，EF=V5,BE=22,BF=遍,Sbef=x2&g

48、t;/2xV3=V6,所以該幾何體的表面積為2X(Saab£+Saabc+Sabcf+SaB£F)=6+2>/3+2V6.13 .如圖，在四棱錐P-A8co中，勿。是等邊三角形，平面限OJ_平面ABCO,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AO=2BC=4,NBAD=60°.(I)若E為以的中點，求證：BE平面尸8；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.1【解答】解：(I)證明：如圖，取PD的中點F,連接EF,CF,則EF/AD,S.EF=AD,1由條件可知，BC/AD,.BC=AD,J.EF/BC,EF=BC,四邊形8CEF為平行四邊形，J.BE/CF

49、,又平面PCD,Cku平面PCD,.BE平面PCD；(H)如圖，取AD的中點O,連接OB,OP,則OB=OP=273,由條件可得OA,OB,OP三條直線兩兩垂直，故以點。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A,OB,。尸所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(一2,20,0),。(一2,0,0),»T：.PC=(-2,2百，-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,2百，0),設(shè)平面PBC的一個法向量為/=(a,b,c),貝"；=-2£1+280-2代0=°,則BC=-2a=0可取薪=(0,1,1),同理可

50、得平面PCD的一個法向量為蔡=(-V3,0,1),>設(shè)二面角8-PC-。的大小為。，則cosVrA,n>=-=-fJ=|m|n|&x2.sme=Ji(乎)2=孚.14 .已知在平行四邊形ABCQ中，AO=2,AB=遍，ZADC=如圖，DE/CF,且OE=3,CF=4,ZDCF=且平面48CD_L平面CQEF.(I)求證：ACJ_平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.B【解答】解：(I )證明：在平行四邊形ABCC中，CD = 4B = g, AD = 2,乙4DC = J, o由余弦定理可得 AC1=AD1+CD1 - 2AD-CD-cosZADC= 4 +

51、3 - 2x2xgx空=1,:.ac2+cd1=ad2,：.AC±CD,又；平面ABCCJ_平面CDEF,平面ABC。平面CDEF=CD, ACu平面ABCD,.ACJ"平面 CDEF：(II)如圖以點C為坐標(biāo)原點，CD, CF, CA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點C(0, 0, 0), 4(0, 0, 1), D(V3, 0, 0), E(V5, 3,0),TT設(shè)平面AZ)E的一個法向量為m = (a, b, c), DE = (0» 3,>0), DA = (-V3, 0, 1),X°+c = 0'則可取/=(1

52、，°，回，TT設(shè)平面ACE的一個法向量為n = (x, y, z), AC = (0, 0,-1), CE = (V3, 3, 0),則3b = °，則可“=(b，- 1，0),設(shè)平面ADE與平面ACE所成的二面角為0,則cos。=孚當(dāng)=離=卓，|m|n|2x2415 .如圖，已知四棱錐P-ABCD中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,ZADC=60°.(1)求證：BP±CD；(2)若BP=求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.【解答】(1)證明：取BP的中點E,連接CE、DE、BD,VBC=PC,.'.CELBP,&#

53、39;：AD=2BC=2,ZADC=60°,：.CD=l,BD=V3,又尸。=b，C.DELBP,:CECDE=E,CE、£>Eu平面CDE,."P，平面COE,:CDu平面CDE,:.BP工CD.(2)解：過C作CF±AD于F,連接PF,'AD/BC,：.CFLBC,"：BP=>/2,BC=PC=,：.BC2+PC2=BP1,BPBCLPC,XCFHPC=C,CF、PCu平面PCH平面PCF,.A。！,平面PCF,平面以O(shè),二平面力。_L平面PC巴過點C作CG_L尸產(chǎn)于點G,.平面以0c平面PCF=PF,；.CG_L平面以

54、£),.NCP廠即為直線PC與平面玄。所成的角,在RtZXCOF中，ZCDF=60°,CD=1,：.CF=DF=L在RtZXPQF中，PD=V3,DF=|,：.PF=.pp2_i4-在尸C尸中，由余弦定理知，cosZCPF=Tprpc=看，2X1X孚J11：.sinZCPF=V1-cos2z.CPF=等，故直線PC與平面PAD所成的角的正弦值為叵.1116 .如圖，在四棱錐尸-4BCD中，外。是等邊三角形，平面外。1_平面ABCD,底面A8CZ)是直角梯形，AD/BC,已知AO=28C=4,ZBAD=60°.(I)若E為以的中點，求證：8E平面PCZ)；(II)求

55、四棱錐P-ABCD的體積.【解答】證明：(I)如圖，取尸。的中點F,連接EF,CF,則EF/W,且EF=*4£>,由已知可得BC皿且BC=y。，.即8c且E尸=BC,得四邊形8CE尸為平行四邊形，則8E”,又8EC平面尸CO,CFu平面PCD,；.8£；平面PCD；解：(II)如圖，取AO的中點O,連接PO,OB,OC,平面以。_L平面ABCD,陽是等邊三角形，；.PO_L平面ABCD,得產(chǎn)。=28，0B=23,又.底面4BCQ是宜角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,-Sabcd=1x(2+4)x2V3=6V3,1,V四棱鼾_abcd=qS梯形abcdXP°=百X6V3x2值=12.17 .如圖，在直三棱柱48C-AiBiCi中，AB=BC=AAi，ABLBC,。為48的中點，E為BC上一點，滿足CE=2EB.(1)求證：AiC平面BiDE；(2)求二面角«i-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)連接48交BiO于點凡連接EF,：.AAiFBisABFD,又。為AB的中點，.BFBD1"A1FA1B12,:CE=2E